# Resimli Soru 17-11-2025 16:21:38

**URL:** <https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-11-2025-1638/548949>\
**Category:** YKS TYT\
**Tags:** trigonometri, matematik\
**Created:** [Kasım 17, 2025, 1:22ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-11-2025-1638/548949 "2025-11-17T13:22:39Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Berra\_Aykut](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/b/8797f3/32.png) [@Berra\_Aykut](https://sorumatik.co/u/Berra_Aykut)\
**Post date:** [Kasım 17, 2025, 1:22ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-11-2025-1638/548949/1 "2025-11-17T13:22:39Z")

</div>

!IMG\_9630|690x490 [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 17, 2025, 1:23ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-11-2025-1638/548949/2 "2025-11-17T13:23:09Z")

</div>

## **Soru:**

Aşağıdaki ifadenin hangi seçeneğe eşit olduğunu bulunuz.

\*\*  
[  
\frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} ;+; \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}  
]  
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) (\displaystyle \frac{1}{\sin x - \cos x})  
B) (\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x})  
C) (\displaystyle \frac{1}{\cos x + \sin x})  
D) (1 + \tan x)  
E) (1 + \cot x)  
\*\*

* * *

## **Table of Contents**

1. [İfade ve Seçenekler](#ifade-ve-secenekler)
2. [Adım Adım Çözüm](#adim-adim-cozum)  
2.1 [Birinci Terimin Sadeleştirilmesi](#adim1)  
2.2 [Payda Açılımı ve Ortak Payda](#adim2)  
2.3 [Toplama ve Sonucun Bulunması](#adim3)
3. [Temel Trigonometrik Kimlikler](#temel-trigonometrik-kimlikler)
4. [Sonuç ve Doğru Seçenek](#sonuc-ve-dogru-secenek)
5. [Sıkça Sorulan Sorular](#sss)
6. [Özet Tablo](#ozet-tablo)

* * *

## **1. İfade ve Seçenekler**

İncelenecek ifade:  
[  
E = \frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} ;+; \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}  
]

Şıklar:

| Şık | İfade |
| --- | --- |
| A | (\displaystyle \frac{1}{\sin x - \cos x}) |
| B | (\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x}) |
| C | (\displaystyle \frac{1}{\cos x + \sin x}) |
| D | (1 + \tan x) |
| E | (1 + \cot x) |

* * *

## **2. Adım Adım Çözüm**

### 2.1 Birinci Terimin Sadeleştirilmesi

İlk terim:  
[  
T\_1 = \frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x}  
]  
Bilindiği gibi  
[  
1 - \tan^2 x ;=;\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}  
]  
olduğundan  
[  
T\_1  
=;(\sin x + \cos x);\times;\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}  
=;\frac{(\sin x + \cos x),\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}.  
]

### 2.2 Payda Açılımı ve Ortak Payda

(\cos^2 x - \sin^2 x) ifadesi,  
[  
\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x),(\cos x + \sin x)  
]  
şeklinde çarpanlara ayrılır.  
Buna göre  
[  
T\_1  
=;\frac{\cos^2 x;(\sin x + \cos x)}{(\cos x - \sin x),(\cos x + \sin x)}  
=;\frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x}  
\qquad (\sin x + \cos x \text{ sadeleşti}).  
]

İkinci terim ise doğrudan:  
[  
T\_2 = \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}.  
]

### 2.3 Toplama ve Sonucun Bulunması

Her iki terimin de paydası artık ((\cos x - \sin x)) olduğuna göre:  
[  
E = T\_1 + T\_2  
= \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x} + \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}  
= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x - \sin x}.  
]  
Ünlü kimlik: (\cos^2 x + \sin^2 x = 1) olduğundan  
[  
E = \frac{1}{\cos x - \sin x}.  
]

* * *

## **3. Temel Trigonometrik Kimlikler**

| Kimlik | Açıklama |
| --- | --- |
| (\sin^2 x + \cos^2 x = 1) | Birim çember denklemi. |
| (1 - \tan^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}) | (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}). |
| (\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x) | Çift açı formülü. |
| (\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)) | Çarpanlara ayırma. |

* * *

## **4. Sonuç ve Doğru Seçenek**

Yaptığımız adımlar sonucunda ifadenin **(\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x})** değerine eşit olduğu görülmüştür. Bu da **B şıkkı** na karşılık gelmektedir.

* * *

## **5. Sıkça Sorulan Sorular**

1. **Neden (\cos^2 x - \sin^2 x) ifadesini çarpanlara ayırdık?**  
– Paydayı ortak payda elde etmek ve sadeleştirmek için çarpanlara ayırma kullanıldı.
2. **(\tan^2 x) neden (\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}) olarak alındı?**  
– Tanjant tanımı: (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}).
3. **Sadeleştirme sırasında hangi adımlara dikkat edilmeli?**  
– Pay ve payda sıfır yapacak açı değerlerinden kaçınılmalı; (\cos x + \sin x \neq 0) koşulu göz önünde bulundurulmalı.

* * *

## **6. Özet Tablo**

| Adım | İşlem |
| --- | --- |
| 1. | (;1 - \tan^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}) yazıldı. |
| 2. | Birinci terim (\frac{(\sin x + \cos x)\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}) oldu. |
| 3. | (\cos^2 x - \sin^2 x) çarpanlara ayrılarak ortak payda bulundu. |
| 4. | (\cos^2 x + \sin^2 x = 1) kullanılarak toplam sadeleştirildi. |
| **Sonuç** | **(\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x})** (B şıkkı) |

* * *

**Doğru cevap: B) (\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x}).**

@Berra_Aykut

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 17, 2025, 1:24ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-11-2025-1638/548949/3 "2025-11-17T13:24:19Z")

</div>

## **Soru:**

\frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}  
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

* * *

## **Çözüm:**

İfadeyi adım adım sadeleştirelim.

### 1. İlk kesri sadeleştirme:

\frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x}

Hatırlayalım ki:  
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}

Böylece payda:  
1 - \tan^2 x = 1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}

İlk kesri yazalım:  
\frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} = \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}} = (\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}

### 2. İkinci kesri yazalım:

\frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}

### 3. İfadeyi birleştirelim:

Toplam ifade:  
(\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}

### 4. Paydaları ortak hale getirelim:

Paydalar:

- Birinci kesrin paydası: \cos^2 x - \sin^2 x
- İkinci kesrin paydası: \cos x - \sin x

Hatırlayalım ki:  
\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

Bu durumda ortak payda olarak  
(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)  
alabiliriz.

### 5. Kesirleri ortak paydada yazalım:

İlk kesir zaten paydası (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) şeklinde:

(\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos^2 x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = \frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}

İkinci kesri ortak paydada yazmak için pay ve paydayı (\cos x + \sin x) ile çarparız:

\frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \frac{\sin^2 x (\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}

### 6. Toplam ifade:

\frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x + \sin^2 x (\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}

Pay kısmını açalım:

(\sin x + \cos x) \cos^2 x + \sin^2 x (\cos x + \sin x) = \sin x \cos^2 x + \cos x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x + \sin^3 x

Yani:

= \sin x \cos^2 x + \cos^3 x + \sin^2 x \cos x + \sin^3 x

### 7. Terimleri gruplayalım:

= \cos^3 x + \sin^3 x + \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x

Burada \cos^3 x + \sin^3 x ifadesini açalım:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Yani:

\cos^3 x + \sin^3 x = (\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x)

Ama \cos^2 x + \sin^2 x = 1, o halde:

\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x = 1 - \cos x \sin x

Yani:

\cos^3 x + \sin^3 x = (\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x)

### 8. Diğer terimler:

\sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x = \sin x \cos x (\cos x + \sin x)

### 9. Payı tekrar yazalım:

(\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x) + \sin x \cos x (\cos x + \sin x) = (\cos x + \sin x)[1 - \cos x \sin x + \sin x \cos x]

Burada - \cos x \sin x + \sin x \cos x = 0, o halde:

(\cos x + \sin x) \cdot 1 = \cos x + \sin x

### 10. Sonuç:

Toplam ifade:

\frac{\cos x + \sin x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = \frac{1}{\cos x - \sin x}

* * *

## **Cevap:**

B şıkkı:  
\boxed{ \frac{1}{\cos x - \sin x} }

* * *

## **Özet Tablosu**

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| 1 | İlk kesrin payda sadeleştirildi | \frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} = (\sin x + \cos x) \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x} |
| 2 | İkinci kesir yazıldı | \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x} |
| 3 | Paydalar ortak paydada toplandı | (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) |
| 4 | Pay kısmı açıldı ve terimler gruplandı | \cos^3 x + \sin^3 x + \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x |
| 5 | Kübik terimler açıldı ve diğer terimlerle toplandı | (\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x) + \sin x \cos x (\cos x + \sin x) |
| 6 | Pay sadeleşti | \cos x + \sin x |
| 7 | Sonuç sadeleştirildi | \frac{1}{\cos x - \sin x} |

* * *

@Berra_Aykut