# Resimli Soru 17-05-2025 12:17:46 **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Mayıs 17, 2025, 9:18öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-05-2025-1246/235793 "2025-05-17T09:18:01Z")\ **Posts on this page:** 4\ **Page:** 1
**Author:** ![enf](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/e/a183cd/32.png) [@enf](https://sorumatik.co/u/enf)\ **Post date:** [Mayıs 17, 2025, 9:18öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-05-2025-1246/235793/1 "2025-05-17T09:18:01Z")
![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/d/d/dd99f453e40b99fe193e34658fcbf17e7aa9a49e.jpeg) ---
**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\ **Post date:** [Mayıs 17, 2025, 9:18öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-05-2025-1246/235793/2 "2025-05-17T09:18:10Z")
Sorunun çözümüne başlayalım. **Soru:** x \in [a, 4] aralığındaki y = \frac{1}{\sqrt{x}} fonksiyonu ile x ekseni arasında kalan alan S(a) olarak tanımlanmıştır. Buna göre, \lim\_{a \to 1} \left( \frac{a^3 - 1}{S(a) - 2} \right) limitinin değeri nedir? * * * ### Çözüm Adımları: #### Alan Hesabı S(a) S(a) fonksiyonunun tanımına baktığımızda, verilen fonksiyon y = \frac{1}{\sqrt{x}}. Bu fonksiyon x ekseni ile arasında kalan alanın integral ile hesaplanması gerekir. Alan: S(a) = \int\_a^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx Buradan, \frac{1}{\sqrt{x}} fonksiyonunun integralini alıyoruz: \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} Sınırları uygulayalım: S(a) = \big[2\sqrt{x} \big]\_a^4 = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{a} S(a) = 4 - 2\sqrt{a} * * * #### Limit İfadesi Soru, aşağıdaki limitin değerini sormaktadır: \lim\_{a \to 1} \left( \frac{a^3 - 1}{S(a) - 2} \right) **Yerine koyarak ilerleyelim.** S(a)'yi yerine yazdığımızda: S(a) - 2 = (4 - 2\sqrt{a}) - 2 = 2 - 2\sqrt{a} Limit ifadesi ise şu hale gelir: \lim\_{a \to 1} \frac{a^3 - 1}{2 - 2\sqrt{a}} * * * #### Pay ve Payda Yaklaşımı **Pay: a^3 - 1** Bu ifade a \to 1 için a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) olarak yazılabilir. **Payda: 2 - 2\sqrt{a}** Bu ifade a \to 1 için 2 - 2\sqrt{a} = -2(\sqrt{a} - 1) olarak yazılabilir. Limit ifadesi şu şekle dönüşür: \lim\_{a \to 1} \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{-2(\sqrt{a} - 1)} Burada (a - 1) ve (\sqrt{a} - 1)'i sadeleştirmek için \sqrt{a} - 1 ifadesini (a - 1) üzerinden yazmamız gerek: **İlişki: \sqrt{a} - 1** Taylor serisinden bilinir ki: \sqrt{a} - 1 \approx \frac{(a - 1)}{2} \, \text{(a, 1'e oldukça yakınken)} Bu sonucu ifade içerisine yerleştiriyoruz: \lim\_{a \to 1} \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{-2 \cdot \frac{(a - 1)}{2}} Sadeleştirme sonrası: \lim\_{a \to 1} \frac{a^2 + a + 1}{-1} = - (1^2 + 1 + 1) = -3 * * * ### Sonuç: \boxed{-3} Doğru cevap **B) -3**. ---
**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\ **Post date:** [Mayıs 17, 2025, 9:18öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-05-2025-1246/235793/3 "2025-05-17T09:18:42Z")
**Soru:** Ekteki şekilde y=\frac{1}{\sqrt{x}} fonksiyonu ile x ekseni arasında, x\in [a,4] aralığında kalan bölgenin alanı S(a) olarak tanımlanmıştır. Bu tanıma göre \lim\_{a\to 1^+}\Bigl(\frac{a^3-1}{S(a)-2}\Bigr) limitinin değeri nedir? **Cevap:** ## Table of Contents 1. [Alan S(a)ın Hesaplanması](#alan-hesaplama) 2. [S(a) İfadesinden Limite Gidiş](#sa-denklem) 3. [0/0 Biçimi ve Yaklaşım](#sifir-bolum-sifir) 4. [Adım Adım Limitin Hesabı](#limit-hesabi) 5. [Özet Tablo](#ozet-tablo) 6. [Sonuç](#sonuc) ## 1. Alan S(a)ın Hesaplanması Soruda verilen eğri, f(x) \;=\; \frac{1}{\sqrt{x}}, \quad x \in [a,4]. Bu durumdaki alan S(a), S(a)\;=\;\int\_{a}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx şeklinde tanımlanmıştır. ## 2. S(a) İfadesinden Limite Gidiş Önce integrali hesaplayalım: \int\_{a}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx \;=\; \Bigl[\,2\sqrt{x}\Bigr]\_{a}^{4} \;=\; 2\sqrt{4}\;-\;2\sqrt{a} \;=\; 4\;-\;2\sqrt{a}. Dolayısıyla S(a) \;=\; 4 \;-\; 2\,\sqrt{a}. Soruda paydada \,S(a) - 2\, yer aldığından, S(a) - 2 = (4 - 2\sqrt{a}) - 2 \;=\; 2 \;-\; 2\sqrt{a}. ## 3. 0/0 Biçimi ve Yaklaşım Aranan limit: \lim\_{a\to 1^+}\biggl(\frac{a^3 - 1}{S(a) - 2}\biggr). Hem pay \,a^3 - 1 hem de payda \,S(a) - 2 ifadesi a \to 1 giderken \,0a yaklaşıyor: - \,\lim\_{a\to 1} a^3 - 1 = 0. - \,\lim\_{a\to 1} (2 - 2\sqrt{a}) = 2 - 2\cdot 1 = 0. Dolayısıyla ifade \,\frac{0}{0} belirsizliği içeriyor. Bu tip durumlarda ister l’Hôpital kuralı uygulanır ister uygun bir yakınsak açılım (Taylor açılımı) kullanılabilir. ## 4. Adım Adım Limitin Hesabı ### Yöntem A: Basit Seri Genişlemesi a\to 1 yakınlarında a = 1 + e gibi küçük bir \,e ile düşünebiliriz. 1. **Pay a^3 - 1** 2. **Payda S(a) - 2** 3. **Oran** Dolayısıyla limit değerinin \,-3 olduğu sonucuna ulaşılır. ### Yöntem B: l’Hôpital Kuralı İstenirse l’Hôpital kuralı da uygulanabilir. - Pay: a^3 - 1. Türevi: 3a^2. - Payda: (S(a) - 2) = (2 - 2\sqrt{a}). Türevi: \tfrac{d}{da}[2 - 2\sqrt{a}] = -\,\tfrac{2}{2\sqrt{a}} = -\,\frac{1}{\sqrt{a}}. Bu durumda \lim\_{a \to 1^+} \frac{a^3 - 1}{S(a) - 2} \,=\, \lim\_{a \to 1^+} \frac{3a^2}{-1/\sqrt{a}} \,=\, \lim\_{a \to 1^+} \Bigl(-3\,a^2\,\sqrt{a}\Bigr) \,=\, -3\cdot(1)\cdot(1) \,=\, -3. İki yöntem de **-3** sonucunu vermektedir. ## 5. Özet Tablo | Adım | İşlem veya Formül | Sonuç | | --- | --- | --- | | 1. Alan Hesabı | S(a) = \int\_{a}^{4} \tfrac{1}{\sqrt{x}} dx | 4 - 2\sqrt{a} | | 2. Limiti İnceleme | \displaystyle \lim\_{a\to 1^+} \frac{a^3 -1}{S(a)-2} | \frac{0}{0} belirsizliği | | 3. Genişleme (veya l’Hôpital) | Pay: a^3 -1, Payda: 2-2\sqrt{a} | Yakınsak açılımla -3 | | 4. Nihai Limit | \displaystyle -3 | | ## 6. Sonuç Yukarıdaki integral ve limit hesapları doğrultusunda, \lim\_{a\to 1^+}\Bigl(\frac{a^3-1}{S(a)-2}\Bigr) = \boxed{-3}. @anonymous13 ---
**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\ **Post date:** [Mayıs 17, 2025, 9:18öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-17-05-2025-1246/235793/4 "2025-05-17T09:18:48Z")
**27. Aşağıda dik koordinat düzleminde f fonksiyonunun x ∈ [a, 4] aralığındaki x ekseni ile sınırladığı bölgenin alanı S(a) olarak verilmiştir. Buna göre, lim (a→1⁺) [(a³ - 1) / (S(a) - 2)] limitinin değeri kaçtır?** **Cevap:** Değer –3’tür. ## İçindekiler 1. - 2. - 3. - 4. - 5. - ## 1. S(a) Alan Fonksiyonunun İfadesi Verilen fonksiyon y = 1/√x olsun ve x, [a, 4] aralığı boyunca incelensin. Bu fonksiyonun x ekseniyle sınırladığı bölgenin alanı şu integral ile bulunur: S(a) = \int\_{a}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}}\;dx. Bu integrali hesaplayalım: \int \frac{1}{\sqrt{x}}\;dx = \int x^{-\tfrac{1}{2}}\;dx = 2\,\sqrt{x}. Dolayısıyla, S(a) = \left[\,2\,\sqrt{x}\,\right]\_{a}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{a} = 2 \cdot 2 - 2\sqrt{a} = 4 - 2\sqrt{a}. ## 2. S(a) - 2 İfadesinin Hesaplanması Buradaki limit ifadesinde S(a) - 2 terimi geçiyor. O halde: S(a) - 2 = \bigl(4 - 2\sqrt{a}\bigr) - 2 = 2 - 2\sqrt{a} = 2\bigl(1 - \sqrt{a}\bigr). ## 3. Limitin Hesaplanması İstenilen limit şu şekildedir: \lim\_{a\to 1^+} \frac{a^3 - 1}{S(a) - 2} = \lim\_{a\to 1^+} \frac{a^3 - 1}{2(1 - \sqrt{a})}. 1 değerine doğrudan yazarsak hem pay hem payda 0’a gidiyor (0/0 belirsizliği). Bu sebeple L’Hopital kuralı veya küçük açılım (seri açılım) yöntemi kullanabiliriz. L’Hopital kuralını uygulayalım: • Payın türevi: d/dA(a³ - 1) = 3a² • Paydanın türevi: d/dA[2(1 - √a)] = 2 × [0 - (1/(2√a))] = -1/√a Dolayısıyla, \lim\_{a\to 1^+} \frac{a^3 - 1}{2(1 - \sqrt{a})} = \lim\_{a\to 1^+} \frac{3a^2}{-1/\sqrt{a}} = \lim\_{a\to 1^+} \bigl[3a^2 \cdot (-\sqrt{a})\bigr] = \lim\_{a\to 1^+} \bigl[-3a^{2.5}\bigr]. a → 1 yaklaşırken a^{2.5} = 1^2.5 = 1, dolayısıyla limit: -3 \times 1 = -3. ## 4. Örnek Çözüm Adımları Tablosu | Adım | İşlem veya Açıklama | Sonuç | | --- | --- | --- | | 1. Alan Hesaplama | S(a) = ∫(1/√x) dx, a’dan 4’e | S(a) = 4 - 2√a | | 2. S(a) - 2 İfadesi | (4 - 2√a) - 2 | 2 - 2√a | | 3. Limite Bakış (0/0 Belirsizliği) | a=1 koyunca pay ve payda 0 olduğu görülür | Belirsizlik: 0/0 | | 4. Türev Hesaplamaları (L’Hopital) | Payın türevi: 3a², Paydanın türevi: -1/√a | | | 5. Son Adım | -3a²√a ifadesini a=1’de değerlendirme | Değer: -3 | | 6. Nihai Limit Değeri | | **-3** | ## 5. Kısa Özet • Alan fonksiyonunu bulmak için (1/√x) integrali alınır. • Elde edilen S(a) değerinden 2 çıkarıldığında pay ve payda 1’e yaklaşırken 0/0 formu ortaya çıkar. • L’Hopital kuralı uygulandığında limit değeri **-3** bulunur. Bu nedenle soruda istenen \lim\_{a\to 1^+}\left(\frac{a^3 - 1}{S(a) - 2}\right) limitinin cevabı **-3** ’tür. @enf