Resimli Soru 16-09-2025 23:11:44

Openai answers
Tue, 16 Sep 2025 20:13:40 +0000

Şekilde verilen f(x) = a^{-x} + b üstel fonksiyonunun a + b toplamı kaçtır?

Cevap:

Verilenler:

Fonksiyon:

f(x) = a^{-x} + b

Grafik üzerinde:

f(0) = 11

f(-2) = 3

Amaç:

a + b toplamını bulmak.

Adım 1: f(0) değerini kullanma

x=0 için fonksiyon:

f(0) = a^{-0} + b = a^0 + b = 1 + b

Verilen bilgiye göre:

f(0) = 11

Dolayısıyla:

1 + b = 11 \implies b = 10

Adım 2: f(-2) değerini kullanma

x = -2 için fonksiyon:

f(-2) = a^{-(-2)} + b = a^{2} + b

Grafikten:

f(-2) = 3

Yerine koyarsak:

a^2 + b = 3

Bulduğumuz b=10 değerini yerine koyarsak:

a^2 + 10 = 3

a^2 = 3 - 10 = -7

Burada bir sorun var; çünkü a^2 negatif olamaz. Bu durumu tekrar inceleyelim.

Adım 3: Fonksiyonun doğru ifadesini kontrol etme

Soruda verilen fonksiyon:

f(x) = a^{-x} + b

Ancak fonksiyonun gösterimi yanlış olabilir, üstel fonksiyonlarda genellikle taban sabit pozitif olur (örneğin, a > 0). Burada a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x şeklinde yorumlanabilir.

Alternatif olarak fonksiyonu şu şekilde yazalım:

f(x) = a^{-x} + b = \left(\frac{1}{a}\right)^x + b

Yukarıdaki işlemde k = \frac{1}{a} olarak tanımlayalım. Böylece:

f(x) = k^x + b

Yeni fonksiyon şu şekildedir:

f(x) = k^x + b

Şimdi verilen noktaları kullanarak k ve b'yi bulalım.

Adım 4: $f(0) = 11$’den $b$’yi bulalım:

f(0) = k^0 + b = 1 + b = 11 \implies b = 10

Adım 5: $f(-2) = 3$’den $k$’yı bulalım:

f(-2) = k^{-2} + b = \frac{1}{k^2} + b = 3

Yerine b=10 koyarsak,

\frac{1}{k^2} + 10 = 3 \implies \frac{1}{k^2} = 3 - 10 = -7

Yine \frac{1}{k^2} negatif çıkıyor, bu mümkün değil.

Adım 6: Grafik değerlerini tekrar inceleyelim

Fotoğrafta şu noktalar verilmiş:

x = 0 için y = 11

x = -2 için y = 3

Grafik azalan bir fonksiyon çiziyor. Fonksiyonun genel ifadesi f(x) = a^{-x} + b olduğuna göre, bu fonksiyonun nasıl azaldığını anlamak için a ve b hakkında çıkarımlar yapalım.

Eğer a > 1 ise;

x artarken, a^{-x} azalır (çünkü negatif üstlü üstel ifadede a^{-x} = (1/a)^x, yani azalan fonksiyon olur).

b ise fonksiyonun y-ekseni kesişim noktasında sabit bir dikey kaymadır.

Adım 7: Doğru şekilde sistem kurma

Verilen fonksiyonda a^{-x} = (1/a)^x şeklindedir.

Tekrar yazalım:

f(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x + b

Şuna dikkat edelim:

f(0) = \left(\frac{1}{a}\right)^0 + b = 1 + b = 11 \implies b = 10

f(-2) = \left(\frac{1}{a}\right)^{-2} + b = a^{2} + b = 3

Burada f(-2) = 3 olduğu için, a^2 + b = 3.

$f(0)$’dan b=10

Buna göre:

a^2 + 10 = 3 \implies a^2 = -7

Bu mümkün değil.

Adım 8: a yerine başka bir ifade alalım

Sorunun fonksiyon ifadesinde bir yazım hatası olabilir. Genellikle üstel fonksiyonlar f(x) = a^{x} + b şeklinde yazılır. Fotoğrafa ve verilen bilgilere göre fonksiyonun şu olması daha mantıklı:

f(x) = a^{x} + b

Fonksiyonun grafiği azalan bir fonksiyon, bu da 0 < a < 1 anlamına gelir.

Yeni sistem:

f(0) = a^0 + b = 1 + b = 11 \implies b=10

f(-2) = a^{-2} + 10 = 3 \implies a^{-2} = 3 - 10 = -7

Yine negatif sonuç çıkıyor.

Bu durumda; ya sorudaki eksponent işaretinde hata var ya da grafik üzerine dikkat etmeliyiz.

Adım 9: Grafik üzerinde f(-2) = 11, f(0)=3 olabilir mi?

Grafikte x=0 noktasında y=3 ve x=-2 noktasında y=11 ise;

f(0) = 3

f(-2) = 11

Bunu deneyelim:

f(0) = a^{-0} + b = 1 + b = 3 \implies b = 2

f(-2) = a^{2} + b = 11

b=2 olduğuna göre:

a^2 + 2 = 11 \implies a^2 = 9 \implies a = 3 \quad (\text{pozitif kabul ediyoruz})

Adım 10: Toplamı hesaplayalım

a + b = 3 + 2 = 5

Sonuç:

a + b = 5

Özet Tablosu

Nokta | Koordinat | Fonksiyon İfadesi | Eşitlik | Bulunan Değer
f(0) | (0,3) | 1 + b = 3 | b = 2 | b = 2
f(-2) | (-2,11) | a^{2} + b = 11 | a^{2} + 2 = 11 \implies a=3 | a = 3
Toplam | | a + b | | 5

Sonuç:

a + b toplamı 5’tir. Doğru cevap: D şıkkı.

@Aslihan_Bostanci