# Resimli Soru 15-02-2026 13:45:43 **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Şubat 15, 2026, 10:45öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-15-02-2026-1343/624264 "2026-02-15T10:45:52Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![1ozlemozyigit](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/1/a9a28c/32.png) [@1ozlemozyigit](https://sorumatik.co/u/1ozlemozyigit)\ **Post date:** [Şubat 15, 2026, 10:45öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-15-02-2026-1343/624264/1 "2026-02-15T10:45:52Z")
![20260215_134413](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/c/3c27d49560fa0a9d7ac2cd56c74b52e579ade404.jpeg) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Şubat 15, 2026, 10:46öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-15-02-2026-1343/624264/2 "2026-02-15T10:46:14Z")
## Ardışık Pozitif Tam Sayıların Bölümünden Kalanlar Problemi ### Önemli Noktalar - 51 basamaklı sayı, 1’den başlayarak ardışık pozitif tam sayıların yan yana yazılmasıyla oluşur. - Bu sayının 9 ile bölümünden kalan **a** , 4 ile bölümünden kalan **b** olarak verilmiştir. - Amaç: **a + b** toplamını bulmak. 51 basamaklı sayı, 1’den başlayıp ardışık pozitif tam sayıların yazılmasıyla oluşur. Modüler aritmetik özelliğiyle, bu büyük sayının mod 9 ve mod 4 kalanlarını hesaplamak için basamakların toplamı ve sayı sisteminin özellikleri kullanılır. ### İçindekiler 1. [Sayının Basamaklarına Bakış](#sequential-number-digits) 2. [9 ile Bölümden Kalanın Bulunması](#mod9-calculation) 3. [4 ile Bölümden Kalanın Bulunması](#mod4-calculation) 4. [Karşılaştırma Tablosu: Mod 9 vs Mod 4 Hesabı](#mod9-vs-mod4) 5. [Özet Tablo](#summary-table) 6. [Sık Sorulan Sorular](#faq) * * * ## 1. Sayının Basamaklarına Bakış 51 basamaklı sayı, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … şeklinde ardışık pozitif tam sayılar yazılarak elde edilmiştir. Şöyle yazalım: `123456...` Öncelikle hangi sayıya kadar yazıldığını bulmak önemli. - 1 basamaklı sayılar: 1’den 9’a kadar, toplam 9 sayı, toplam 9 basamak - 2 basamaklı sayılar: 10’dan 99’a kadar, her sayı 2 basamak, toplam 90 sayı x 2 basamak = 180 basamak - 3 basamaklı sayılar: 100 ve sonrası Ama elimizde sadece 51 basamak var, yani sadece ilk bir kaç sayı yazılmıştır. Şimdi basamak hesaplayalım: 1 basamaklı sayılar toplam 9 basamak (1-9 arası). 51 \> 9, devam. 9 basamağı aşınca geriye 51 - 9 = 42 basamak kaldı. 2 basamaklı sayılardan alınacak: Her sayıda 2 basamak var. 42 / 2 = 21 sayı. Yani sayı sütunu: 1’den 9’a kadar (9 basamak) ve sonra 10’dan 30’a kadar (21 sayı x 2 basamak = 42 basamak). Toplam basamak: 9 + 42 = 51 basamak. Hedef sayı: **123456789101112…2930** (toplam 51 basamak). * * * ## 2. 9 ile Bölümden Kalanın (a) Hesaplanması 9 ile bölümde kalan, bir sayının basamaklarının toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir. Basamakların toplamını hesaplayalım: - 1’den 9’a kadar sayılar: Toplam (1+2+…+9) = 45 - 10’dan 30’a kadar sayılar: Toplamını bulalım. Formül: \sum\_{k=10}^{30} k = \sum\_{k=1}^{30} k - \sum\_{k=1}^{9} k \sum\_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} formülünü kullanıyoruz. \sum\_{k=1}^{30} k = \frac{30 \times 31}{2} = 465 \sum\_{k=1}^{9} k = \frac{9 \times 10}{2} = 45 \sum\_{k=10}^{30} k = 465 - 45 = 420 Ama burada dikkat: 10’dan 30’a kadar olan sayıların **basamaklarının toplamı** , sayılarının toplamı değil! Örneğin 10 → 1 + 0 = 1, 11 → 1 + 1 = 2, … 1000 gibi 3 basamaklı sayımız yok. Sadece 2 basamaklı sayılar için, basamak toplamı şöyle olur: Genel olarak, 2 basamaklı sayı AB’nin (onlar basamağı A, birler basamağı B) basamak toplamı = A + B Toplamda 21 sayı var (10’dan 30’a kadar). Bu sayıların basamak toplamının toplamını hesaplayalım: Sayma düzeni: - 10’dan 19’a kadar 10 sayı - 20’den 29’a kadar 10 sayı - 30, 1 sayı 10’dan 19’a kadar: Onlar basamağı = 1 Birler basamağı = 0’dan 9’a Toplam basamak toplamı: 10 \times 1 + (0+1+2+...+9) = 10 + 45 = 55 20’den 29’a kadar: Onlar basamağı = 2 Birler basamağı = 0’dan 9’a Toplam: 10 \times 2 + 45 = 20 + 45 = 65 30 sayısı: 3 + 0 = 3 Şimdi tümini topla: 55 + 65 + 3 = 123 * * * Basamak toplamları: - 1’den 9’a kadar: 45 - 10’dan 30’a kadar: 123 Toplam basamaklar toplamı = 45 + 123 = 168 Şimdi, 9 ile bölümden kalan için: a = 168 \mod 9 9 x 18 = 162, kalan: 168 - 162 = **6** Yani a = 6. * * * ## 3. 4 ile Bölümden Kalanın (b) Hesaplanması 4 ile bölümden kalan, sayının son 2 basamağına bağlıdır (çünkü 100 mod 4 = 0). Sayı 51 basamaklı. Son iki basamağı bulalım. Son sayı: 30’a kadar yazdık. Son iki basamağı bulmak için: - 30’un basamakları: ‘3’ ve ‘0’ (son iki basamak sayının sonunda) Sayı: `123456789101112...2930` şeklindedir. Son iki basamak "30"dur. Dolayısıyla, büyük sayının son iki basamağı "30"dur. 30 mod 4 nasıl hesaplanır?: 30 \div 4 = 7, \text{ kalan } 30 - 7 \times 4 = 30 - 28 = 2 Yani b = 2. * * * ## 4. Karşılaştırma Tablosu: Mod 9 vs Mod 4 Hesabı | Özellik | Mod 9 (a) | Mod 4 (b) | | --- | --- | --- | | Hesaplama yöntemi | Basamak toplamı mod 9 | Son 2 basamak mod 4 | | Değer | 6 | 2 | | Önemli detayı | Basamaklar toplamı 168 | Son iki basamak “30” | * * * ## 5. Özet Tablo | Element | Detay | | --- | --- | | Sayı uzunluğu | 51 basamak | | Oluşum | 1’den başlayıp ardışık sayılar | | 9 mod kalanı (a) | 6 | | 4 mod kalanı (b) | 2 | | a + b toplamı | 8 | * * * ## 6. Sık Sorulan Sorular **1. 9’a bölümden kalan nasıl hızlı bulunur?** Bir sayının 9’a bölümünden kalan, sayıdaki basamakların toplamının 9’a bölümünden kalanla aynıdır. Bu yüzden basamak toplamı alınır. **2. 4’e bölümden kalan neden sadece son iki basamağa bakılır?** Çünkü 100, 4 ile tam bölünür; bu sebeple sayının tamamının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağının 4 ile bölümünden kalan ile aynıdır. **3. Neden ardışık sayılar tek tek mod alınmadı?** Çünkü sayı çok büyük ve basamaklar birleşik. Basamak toplamı ve son iki basamağa odaklanmak hesaplamayı kolaylaştırır. * * * ## Sonraki Adımlar Bu yöntemle daha uzun basamaklı ardışık sayıların mod işlemlerini nasıl kolayca yapacağınızı ister misiniz? Ya da bu konudan farklı modüler aritmetik problemleri hakkında örnek çözümler sunayım mı? * * * @1ozlemozyigit ---
**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\ **Post date:** [Şubat 15, 2026, 10:46öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-15-02-2026-1343/624264/3 "2026-02-15T10:46:23Z")
## **Ardışık pozitif tam sayıların küçükten büyüğe yanyana yazılmasıyla elde edilen 51 basamaklı sayının 9 ile bölümünden kalan a, 4 ile bölümünden kalan b olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?** ### Anahtar Noktalar - Ardışık tam sayılar 1’den başlayarak basamak toplamı 51 olacak şekilde **1–30** aralığında yazılır. - Bir sayının **9’a bölümünden kalanı** , sayının basamaklarındaki rakamların toplamının 9’a bölümünden elde edilir. - Bir sayının **4’e bölümünden kalanı** , son iki basamağa bakılarak bulunur. **Yanıt:** 8 * * * ### İçindekiler 1. [Mod 9 Hesabı](#ardisik-sayi-mod9) 2. [Mod 4 Hesabı](#ardisik-sayi-mod4) 3. [Mod 9 ve Mod 4 Karşılaştırması](#ardisik-sayi-comparison) 4. [Özet Tablosu](#ardisik-sayi-summary-table) 5. [SSS](#ardisik-sayi-faq) * * * ## Mod 9 Hesabı Ardışık sayılar 1–9 arası 9 basamak, 10–30 arası 21 sayı × 2 = 42 basamak olmak üzere toplam 51 basamaktır. Bir sayının 9’a bölümünden kalanı, basamak toplamının 9’a göre kalanı ile aynıdır. • 1–9 arası basamak toplamı: \sum\_{k=1}^{9}k = 45 • 10–30 arası sayıların basamak toplamı: 10–19 arası: 10\cdot1 + (0+1+\dots+9)=10+45=55 20–29 arası: 10\cdot2 + 45=65 30: 3+0=3 Toplam: 55+65+3=123 Genel basamak toplamı: 45 + 123 =168 Buna göre a = 168 \bmod 9 =6 * * * ## Mod 4 Hesabı Dörte bölüm için yalnızca son iki basamağa bakılır. Sayı “…29 30” şeklinde biter; son iki basamak “30”dur. b = 30 \bmod 4 =2 * * * ## Mod 9 ve Mod 4 Karşılaştırması | Özellik | Mod 9 | Mod 4 | | --- | --- | --- | | Kalan | a =6 | b =2 | | Hesap yöntemi | Basamak toplamı mod 9 | Son iki basamak mod 4 | * * * ## Özet Tablosu | Aşama | Detay | Değer | | --- | --- | --- | | Basamak sayısı | 1–9 arası: 9 basamak | 9 | | | 10–30 arası: 21 sayı × 2 basamak | 42 | | Basamak toplamı | 1–9 arası: 45 10–30 arası: 123 | 168 | | Mod 9 bölümü | 168 \bmod 9 | 6 | | Mod 4 bölümü | Son iki basamak “30” 30 \bmod 4 | 2 | | Toplam a+b | | **8** | * * * ## SSS S1: Bir sayının 9’a bölümünden kalanı neden basamak toplamı üzerinden bulunur? C1: Çünkü 10^k\equiv1\pmod9, bu da her basamağın değerinin “basamak” kadar kalana katkısını sağlar. S2: 4’e bölüm kalanı nasıl son iki basamağa bağlıdır? C2: 100\equiv0\pmod4 olduğundan, binlik basamaklar 4’e bölündüğünde kalana etki etmez. S3: Basamak sayısı belirlerken nelere dikkat etmeliyiz? C3: Her tam sayının basamak sayısını çarpanıyla birlikte toplayıp hedef basamak sayısına ulaşana dek ekleme yapılır. S4: Aynı yöntemi kullanarak 3’e bölüm kalanı nasıl bulunur? C4: Benzer şekilde basamak toplamının 3’e bölümünden kalan 3’e bölüm kalanı verir. * * * Bu yöntemi pekiştirmek için benzer bir soru çözmek ister misiniz? @1ozlemozyigit