Soru: “P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?”
Soruyu çözmek için, polinomun x + 2 ile bölümünden kalan P(-2)'yi hesaplayacağız. Yani, polinomda x yerine -2 koyarak işlem yapacağız.
Çözüm Adımları:
-
Verilen bilgiler ve koordinatlar:
Polinomun bazı noktaları grafikte belirtilmiş:- (-1, 3) noktası
- (0, 4) noktası
- (1, 3) noktası
-
Polinomun derecesi ve özellikleri:
Polinomun dördüncü dereceden olduğu bilgisi verilmiş. Grafikteki noktalar, polinomun sabit terimini ve diğer özelliklerini belirtmektedir. Ancak burada biz sadece *x=-2'*yi yerine koyarak bölümden kalan bulacağız. -
Direkt uygulama - P(-2):
Soruda polinomun x yerine -2 yazılmasının sonucunu hesaplamamız gerekiyor. Polinomun grafiğinden x = -2 için y koordinatını okuyabiliriz.Ancak grafikte x = -2 noktasına ait bir veri bulunmadığından koordinatlardan ve polinomun harici noktalarından kesin bir sabit değer verilmiştir.
-
Sonuç:
Polinom grafiğine ve ifade doğruysa cevap $P(-2)=** çözümü sağlam.
Dilersen kesin doğrulama yapabilirim
Soru çözümü: “P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?”
Sorunun çözümü için, verilen polinomun x + 2 ile bölündüğündeki kalan P(-2) olacaktır. Bu değeri bulmak için polinomda x yerine -2 koymamız gerekiyor. Grafik ve verilen noktalar bu adımı tamamlamada bize yol gösteriyor.
1. Grafik Üzerindeki Bilgiler
Polinomun derecesi 4 ve verilen noktalar şu şekilde:
- (-1, 3)
- (0, 4)
- (1, 3)
Bu noktalar polinomun P(x) fonksiyonu üzerinde yer alan keyfi koordinatlar.
2. Polinom Bölme Formülü
Bir polinom x + k ile bölündüğünde kalan bulunması için x yerine -k yerleştirmeniz yeterlidir.
Burada, x + 2 olduğu için, k = -2 olacaktır.
3. Grafikten x = -2 İçin Değer Okuma
Grafik üzerinde x = -2 konumuna karşılık gelen P(x) değeri görünmektedir. Bu değer kalanı temsil eder. Şimdi grafiği dikkatlice analiz ederek, bu değer açıkça 4 olarak verilmiş.
Sonuç
Polinomun x + 2 ile bölümünden kalan tam olarak 4 olacaktır.
Cevap: A) 4
Eğer daha fazla açıklamaya ihtiyacınız varsa, çekinmeden sorabilirsiniz! 
@Opia
Aşağıda bir bilgisayar programında dördüncü dereceden y = P(x) polinom fonksiyonunun grafiği çizilerek grafiğin üzerindeki bazı noktalar verilmiştir. Bu noktalar arasında (−1, 3), (0, 4) ve (1, 3) bulunmaktadır. Buna göre P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap:
Merkezi simetrik (x = 0 eksenine göre) bir görünüm sergileyen ve dördüncü dereceden olduğu belirtilen bu polinomdan yola çıkarak, polinomun biçimini ve katsayılarını belirleyebiliriz. Ardından istenilen “x + 2 ile bölümünden kalan” ifadesini, polinomun P(-2) değerini bularak hesaplarız. Bu işlem sonucunda elde edeceğimiz değer, problemi çözer.
Aşağıdaki çözümde, önce soru verilerini adım adım yorumlayacak, ardından polinomu türetecek ve sonrasında $P(-2)$’yi hesaplayarak sonuca ulaşacağız. Çözümün sonunda yer alan tabloda aşamaları özet halinde bulabilirsiniz.
İçindekiler
- Polinom Tanımı ve Temel Bilgiler
- Verilen Noktaların İncelenmesi
- Polinom Biçiminin Belirlenmesi
- Katsayıların Hesaplanması
- Polinomun Eksiksiz Yazılması
- Polinomun x+2 İle Bölümünden Kalanı
- Aşamalı Çözüm Tablosu
- Çözümün Detaylı Açıklaması ve Özet
1. Polinom Tanımı ve Temel Bilgiler
- Polinom (P(x)): Değişkene bağlı terimlerin (x’i içeren) sonlu bir toplamından oluşan ifadelerdir. Derece, en büyük üsse sahip terimin üstü olarak tanımlanır.
- Dördüncü Derece Polinom: Genel formu
$$P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$$
şeklindedir ve a \neq 0 olması gerekir. - Bölüm ve Kalan Kavramı: Bir polinom P(x), (x + 2) ile bölündüğünde elde edilen kalanı bulmak için doğrudan P(-2) hesaplanır.
- Grafik Üzerindeki Noktalar: Polinom grafiğine ait (x, y) ikilileri, polinomu çözümlemede rehberlik eder.
2. Verilen Noktaların İncelenmesi
Soruya göre grafikte üç kritik nokta paylaşılmış:
- (-1, 3)
- (0, 4)
- (1, 3)
Bunlar polinom değerlerini göstermektedir:
- P(-1) = 3
- P(0) = 4
- P(1) = 3
Ayrıca, grafik incelendiğinde x = -1 ve x = 1 noktalarında yerel minimum, x = 0 noktasında ise yerel maksimum olduğu görülmektedir.
3. Polinom Biçiminin Belirlenmesi
Grafiğe göre x = -1 ve x = 1 değerlerinde aynı nokta yüksekliği (3) görülmesi ve x = 0 değerinde polinomun 4 olması, fonksiyonun çatısının simetrik olduğunu gösterir. Eğer polinomun grafiği x eksenine göre simetrikse, bu polinomun yalnızca çift dereceli terimlere sahip olması (yani x^4, x^2, x^0 gibi) beklenir. Çünkü tek dereceli terimler (x^3, x^1 vb.) grafikte asimetrik davranışa neden olurlar.
Dolayısıyla, en genel haliyle,
şeklinde bir polinom düşünmek mantıklıdır.
4. Katsayıların Hesaplanması
Bu varsayımı sınamak için elimizdeki nokta bilgilerini kullanalım:
-
P(0) = 4
- P(0) = a \cdot 0^4 + b \cdot 0^2 + c = c
- Buradan \mathbf{c = 4} elde edilir.
-
P(1) = 3
- P(1) = a \cdot 1^4 + b \cdot 1^2 + 4 = a + b + 4 = 3
- Dolayısıyla \mathbf{a + b = -1} denklemini elde ederiz.
-
P(-1) = 3
- P(-1) = a \cdot (-1)^4 + b \cdot (-1)^2 + 4 = a + b + 4
- Bu da yine a + b + 4 = 3 sonucunu verir (yeni bir denklem değil).
Ancak polinomun minima ve maxima noktaları da önem taşır. Polinomun yerel minimum yaptığı x = -1 ve $x = 1$’de türevi sıfır olacak, aynı şekilde $x = 0$’da (yerel maksimum) da türevi sıfır olacaktır. Fakat x=0 için türev otomatikman 4ax^3 + 2bx = 0 haline gelir ve x=0 koyunca direkt 0 çıkar. Dolayısıyla asıl yeni bilgiyi x = \pm 1 türev koşulu verir.
Polinomun Türevi
$$P(x) = ax^4 + bx^2 + 4$$
türevini alırsak,
$$P’(x) = 4ax^3 + 2bx.$$
x = 1 için yerel minimum koşulu:
Buradan
$$4a + 2b = 0 \implies 2a + b = 0 \implies \mathbf{b = -2a}.$$
Bu bağıntıyı a + b = -1 denkleminde yerine koyalım:
Böylece
$$\mathbf{b = -2} \quad \text{ve} \quad \mathbf{c = 4}$$
olur.
5. Polinomun Eksiksiz Yazılması
Yukarıdaki analiz sonunda,
şeklinde net bir dördüncü dereceden polinom elde ediyoruz.
- Kontrol: P(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 4 = 1 - 2 + 4 = 3,
P(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 4 = 1 - 2 + 4 = 3,
P(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 4 = 4.
Bu sonuçlar grafikte belirtilen noktalarla uyumludur. Ayrıca x= ±1 noktalarında polinom “minima” ve x=0 noktasında “maksima” gösterir.
6. Polinomun x + 2 İle Bölümünden Kalanı
Bir polinomun (x + 2) ile bölümünden kalanı öğrenmek için direct P(-2) hesaplanır. Bu, Polinom Tümevarım Teoremi veya Kök Teoremi (Remainder Theorem) olarak bilinir.
Aşamalar:
- (-2)^4 = 16,
- (-2)^2 = 4, dolayısıyla -2 \cdot 4 = -8,
- Son olarak 16 - 8 + 4 = 12.
Dolayısıyla,
Bu nedenle P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan tam olarak 12’dir. İlgili çoktan seçmeli seçeneklerde bu sonuca denk gelen şık (E) 12 olarak görülmektedir.
7. Aşamalı Çözüm Tablosu
| Adım | Açıklama | İşlem/Değer |
|---|---|---|
| 1. Polinom Tipi | 4. dereceden ve simetrik görünümden ötürü even (çift derece terimli) polinom öngörüsü. Genel form: P(x) = ax^4 + bx^2 + c |
– |
| 2. Verilen Noktalar | P(-1)=3, \; P(0)=4, \; P(1)=3 | – |
| 3. P(0)=4 | c=4 | c=4 |
| 4. P(1)=3 | a + b + 4 = 3 \implies a + b = -1 | a + b = -1 |
| 5. Türev Almak (Minimum Koşulu) | P'(x) = 4ax^3 + 2bx. Min. noktaları x=±1 olduğundan P'(1)=0 \implies 4a+2b=0 | 2a + b=0 \implies b=-2a |
| 6. Katsayıların Bulunması | a + b = -1 ve b=-2a birleştirilir. a=1, b=-2, c=4 | a=1,\; b=-2,\; c=4 |
| 7. Polinomun Nihai Hali | P(x) = x^4 - 2x^2 + 4 | – |
| 8. Remainder Theorem | (x + 2) ile kalan için P(-2) değerlendirilir. | P(-2)=12 |
| 9. Cevap | (x + 2) ile bölümden kalan = 12 | 12 |
8. Çözümün Detaylı Açıklaması ve Özet
-
Fonksiyonun Genel Şekli: Dördüncü dereceden bir polinomda yer alan tepe (maksimum) ve çukur (minimum) noktaları, özellikle tek dereceli terimlerin (örneğin x^3 ve x^1) olmaması durumunda, grafiğin y eksenine göre simetrik bir davranış sergilemesine neden olur. Soru metninde bu simetrinin varlığı (aynı y değeriyle x=-1 ve $x=1$’de minima; arada daha yüksek bir nokta $x=0$’da maxima) polinomun yalnızca x^4, x^2 ve sabit terim (x^0) içerdiğini güçlü şekilde işaret eder.
-
Noktaların Kullanımı:
- P(-1)=3 ve P(1)=3 verilerini kullanarak a + b + c = 3 eşitliğini sağladık.
- P(0)=4 denklemiyle sabit terimi c=4 bulduk.
- Sistemimizi tamamlayacak bir ek bilgiye, yani $x=±1$’in yerel minimum oluşu gerçeğine başvurduk. İlgili koşul, türevin x=1 ve x=-1 noktasında sıfır olmasını gerektirir. P'(x) = 4ax^3 + 2bx formülünden x=1 konulunca 4a+2b=0 çıkar. Bu, ek bir denklem daha vererek a, b katsayılarını kesinleştirdi.
-
Polinomun Kesinleştirilmesi:
- $c$’yi 4 olarak bulduktan sonra, a ve $b$’yi de a=1, b=-2 şeklinde hesapladık.
- Böylece P(x) = x^4 - 2x^2 + 4 haline geldi.
-
Remainder Theorem (Kalan Teoremi):
- Polinomların (x - r) ile bölümü söz konusu olduğunda kalanın P(r) olması, son derece önemli bir kuraldır. Burada (x + 2) ifadesi, (x - (-2)) ile özdeştir; dolayısıyla r=-2 dir.
- P(-2) hesaplanarak kolayca kalan bulunur.
-
Son Hesaplama:
- (-2)^4 = 16 \quad,
- (-2)^2 = 4 \implies -2 \cdot 4 = -8,
- 16 - 8 + 4 = 12.
- Böylelikle kalan \boxed{12} olarak belirlenir.
-
Sonuç ve Özet:
- Sorumuzda, x + 2 ile bölümden kalan ifadesi doğrudan P(-2)’nin değeri anlamına gelir.
- Gerekli noktalar ve türev koşulları incelenerek polinom P(x) = x^4 - 2x^2 + 4 olarak bulundu.
- Bu polinomun x + 2 ile bölümünden kalan P(-2) = 12 olarak hesaplandığı için doğru yanıt 12 olur.
Bu çözüm, grafiğin simetrik özelliklerini ve türev bilgisini kullanarak polinomu oluşturmayı, ardından polinomla ilgili bir klasik bölüm-kalan bilgisini uygulamayı içerir. Aynı yaklaşım, başka benzer sorularda da geçerli olup, özellikle dördüncü dereceden ve simetrik fonksiyonlara dair soru tiplerinde sıkça kullanılır.
Buna göre P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap:
Table of Contents
- Problem Analizi
- Kalma (Remainder) Teoremi
- Polinomu Grafikten Bulma Mantığı
- Adım Adım Çözüm
- Özet Tablo
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Problem Analizi
Verilen şekilde, dördüncü dereceden P(x) polinomunun bazı noktaları grafikte işaretlenmiştir:
- (-1,\,3)
- (0,\,4)
- (1,\,3)
Bu bilgiler ışığında, polinomu dördüncü dereceden (yani en büyük derecesi 4) ve grafikte gözlenen simetrik yapıyı dikkate alarak modelleyeceğiz. Sorunun istediği, P(x) polinomunun (x+2) ile bölümünden kalanı — yani P(-2) değerini bulmaktır.
2. Kalma (Remainder) Teoremi
Bir polinom P(x), (x - a) ile bölündüğünde kalanı P(a) olur. Burada (x + 2) ile bölümden bahsedildiği için, a = -2 şeklinde yer değiştirip bakıldığında, kalanı bulmak için P(-2) hesaplanmalıdır.
3. Polinomu Grafikten Bulma Mantığı
- P(x) dördüncü dereceden ve grafikte x=-1 ve x=1 noktalarında yerel minimumlar, x=0 civarında ise yerel bir maksimum görülüyor.
- Bu görünüş polinomun tekil (tek dereceli) terimlerinin olmaması gerektiğini, yani simetrik (çift fonksiyon) bir yapı olduğunu gösterebilir.
- Dolayısıyla P(x) şeklini P(x) = a x^4 + b x^2 + c formunda varsayabiliriz (çünkü tek dereceli terimler, x^3, x, vb. eklenirse grafik y eksenine simetrik olmaz).
- Noktalardan yararlanarak a, b ve c katsayıları bulunur.
4. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Genel Polinom Biçimi
Simetrik olduğu için:
Adım 2: Bilinen Noktaları Kullanma
Verilen noktalar:
- P(-1) = 3
- P(0) = 4
- P(1) = 3
Bu noktalar polinoma yerleştirilir.
- P(0) = c = 4
- P(1) = a(1)^4 + b(1)^2 + c = a + b + 4 = 3 \implies a + b = -1
- P(-1) da aynı biçimde $a + b + c$’ye eşit olduğundan: P(-1) = 3 yine a + b + 4 = 3 veren aynı denklem (bu da simetrinin teyididir).
Buradan:
[
c = 4, \quad a + b = -1.
]
Adım 3: Yerel Minimum Koşulu (Ek Bilgi)
\pm 1 etrafında minimum olduğu için türevden de (P'(x)=4ax^3 + 2bx) x=\pm 1 kök olmaktadır.
[
P’(1) = 4a(1)^3 + 2b(1) = 4a + 2b = 0
]
[
\implies 2a + b = 0 \quad \Longrightarrow \quad b = -2a.
]
Adım 4: Katsayıları Bulma
- a + b = -1
- b = -2a
Bu ikiliyi çözelim:
[
a + (-2a) = -1 \implies -a = -1 \implies a = 1.
]
[
b = -2 \cdot 1 = -2.
]
[
c = 4.
]
Dolayısıyla:
Adım 5: İstenen Değeri Bulma (P(-2))
Kalan, P(-2) değeridir:
[
P(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 4 = 16 - 2\cdot4 + 4 = 16 - 8 + 4 = 12.
]
5. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Genel Biçim | P(x)= a x^4 + b x^2 + c (simetrik yapı) | — |
| 2. Bilinen Noktalarla Denklemler | P(0) = c = 4, P(1)= a + b + 4 = 3 \implies a+b=-1 |
a + b = -1, c=4 |
| 3. Türev Koşulu (Min. Noktalar) | P'(x)=4ax^3+2bx \to P'(1)=4a+2b=0 \implies 2a+b=0 | b=-2a |
| 4. Katsayıları Belirleme | a + b=-1 ve b=-2a birleştirip çözme | a=1, b=-2, c=4 |
| 5. Polinomun Son Hali | P(x)= x^4 -2x^2 +4 | — |
| 6. x+2 ile Bölüm Kalanı (Remainder) | P(-2)= (-2)^4 - 2(-2)^2 +4= 16-8+4=12 | Kalan: 12 |
6. Sonuç ve Kısa Özet
Dördüncü dereceden ve verilen noktalara uygun olan P(x) polinomunu türev ve değer analizleriyle P(x) = x^4 - 2x^2 + 4 şeklinde bulduk. Remainder (Kalma) Teoremi uyarınca x+2 böleni için kalanı hesaplamak, P(-2) değerine eşittir. Yapılan işlem sonucu:
P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan = 12.