Helikopterin aydınlattığı bölgenin uzunluğu (x) nedir?
Cevap:
Soruda, bir helikopterin yerde oluşturduğu aydınlatma bölgesinin (x) uzunluğu sorulmaktadır. Verilen bilgiler:
- Projeksiyondan yere ışığın yaptığı açılar: 52° ve 61°
- Projeksiyonun yere uzaklığı: 36 birim
- Verilen trigonometrik değerler: \tan 61^\circ = 1.8 ve \cot 52^\circ = 0.8
Problemin Anlaşılması ve Şekil İncelemesi
Helikopterden yere doğru gelen ışık 2 farklı açı yaparak yere düşmektedir. Bu iki ışının yere düşme noktaları arasındaki mesafe x uzunluğudur.
İki açı arasında ayrılan bu mesafe şöyle bulunabilir:
Helikopterden yere ışığın düştüğü iki nokta arasında olan yatay mesafeyi bulmalıyız.
Adım Adım Çözüm
1. Düşey uzaklık: h = 36 birim
2. Işığın düştüğü noktaların yatay uzaklıklarını bulalım:
Şekilde, düşey kenar projeksiyonun yüksekliği, taban ise yatay uzaklıktır.
-
\tan 61^\circ = \frac{h}{d_1} \implies d_1 = \frac{h}{\tan 61^\circ}
-
\cot 52^\circ = \frac{d_2}{h} \implies d_2 = h \cdot \cot 52^\circ
Burada d_1 ve d_2 ışığın yere düştüğü iki noktanın helikoptere olan yatay uzaklıklarıdır.
3. d_1 ve d_2 değerlerini hesaplayalım:
-
d_1 = \frac{36}{1.8} = 20
-
d_2 = 36 \times 0.8 = 28.8
4. Aydınlatılan bölge uzunluğu x:
İki yatay mesafe arasındaki farktır.
Sonuç
Helikopterin ışığının yerde aydınlattığı bölgenin uzunluğu (x) = 8.8 birimdir.
Özet Tablosu
| Değişken | Anlamı | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|---|
| h | Işık kaynağının yerden yüksekliği | Verilen | 36 birim |
| \tan 61^\circ | 61° açısının tanjant değeri | Verilen | 1.8 |
| \cot 52^\circ | 52° açısının kotanjant değeri | Verilen | 0.8 |
| d_1 | 61° açısı ile oluşan taban uzunluğu | \frac{36}{1.8} | 20 birim |
| d_2 | 52° açısı ile oluşan taban uzunluğu | 36 \times 0.8 | 28.8 birim |
| x | Işığın aydınlattığı bölgenin uzunluğu | d_2 - d_1 | 8.8 birim |
Bu şekilde sorunun cevabı kolayca bulunabilir.
Helikopterin projektörünün yere yaptığı açılar 52° ve 61° ise; yükseklik 36 birim verildiğine göre zeminde aydınlanan kısım (x) kaç birimdir?
Cevap:
İçindekiler
1. Problemin Özeti
Helikopterdeki projektör zemine iki ışın gönderiyor; bu ışınların zemine yaptıkları açılar sırasıyla 61° ve 52°. Projektörün yerden yüksekliği 36 birim. Işığın zeminde aydınlattığı toplam uzunluk x bulunacak. Verilen yardımcı değerler: \tan61^\circ = 1{,}8 ve \cot52^\circ = 0{,}8 .
2. Geometrik Kurulum ve Formüller
Işının düştüğü noktalar ile projektörün yere izdüşümü arasındaki yatay uzaklıklar şu şekilde ifade edilir:
- Bir ışının zemine yaptığı açı \theta ise, yükseklik h ve yatay uzaklık d için
\tan\theta = \frac{h}{d}\quad\Rightarrow\quad d=\frac{h}{\tan\theta}=h\cot\theta.
Dolayısıyla iki ışının yere temas noktalarına olan yatay uzaklıkları:
- Sol taraf için d_1 = h\cot61^\circ,
- Sağ taraf için d_2 = h\cot52^\circ.
Toplam aydınlanan uzunluk (x) bu iki uzaklığın toplamıdır:
x = d_1 + d_2 = h\big(\cot61^\circ + \cot52^\circ\big).
3. Adım Adım Çözüm
Verilenleri yerine koyuyoruz (yükseklik h=36):
-
\cot61^\circ = \dfrac{1}{\tan61^\circ} = \dfrac{1}{1{,}8} = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}555\ldots
-
\cot52^\circ verilmiş: 0{,}8 = \dfrac{4}{5}.
-
Toplam:
x = 36\Big(\cot61^\circ + \cot52^\circ\Big) = 36\Big(\tfrac{5}{9} + 0{,}8\Big) = 36\Big(\tfrac{5}{9} + \tfrac{4}{5}\Big).
Ortak payda ile:
\tfrac{5}{9} + \tfrac{4}{5} = \tfrac{25+36}{45} = \tfrac{61}{45}.
Böylece
x = 36\cdot \tfrac{61}{45} = \tfrac{36}{45}\cdot 61 = \tfrac{4}{5}\cdot 61 = \tfrac{244}{5} = 48{,}8.
4. Sonuç ve Kontrol
- Sol uzaklık: d_1 = 36\cot61^\circ = 36\cdot\frac{5}{9} = 20 (birim).
- Sağ uzaklık: d_2 = 36\cot52^\circ = 36\cdot0{,}8 = 28{,}8 (birim).
- Toplam aydınlanan kısım: x = d_1 + d_2 = 20 + 28{,}8 = 48{,}8 (birim).
Kesirli kesin ifade: x=\dfrac{244}{5}.
Özet tablo:
| Değer | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| d_1 (sol) | 36\cot61^\circ = 36\cdot\frac{1}{\tan61^\circ} = 36\cdot\frac{1}{1{,}8} | 20 |
| d_2 (sağ) | 36\cot52^\circ = 36\cdot0{,}8 | 28{,}8 |
| x (toplam) | d_1+d_2 | 48{,}8 veya \dfrac{244}{5} |
Cevap: x = 48,8 birim (ya da 244/5 birim).