# Resimli Soru 13-02-2026 08:53:31

**URL:** <https://sorumatik.co/t/resimli-soru-13-02-2026-0831/623478>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Şubat 13, 2026, 5:53öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-13-02-2026-0831/623478 "2026-02-13T05:53:42Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Mert47](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/m/f05b48/32.png) [@Mert47](https://sorumatik.co/u/Mert47)\
**Post date:** [Şubat 13, 2026, 5:53öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-13-02-2026-0831/623478/1 "2026-02-13T05:53:42Z")

</div>

![Screenshot_2026-02-13-08-53-14-196_com.android.chrome](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/a/3/a3642b2d7fc50d56aac359ae5c3dad6d4710af39.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Şubat 13, 2026, 5:54öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-13-02-2026-0831/623478/2 "2026-02-13T05:54:19Z")

</div>

## **Verilen sistemin gerçek x değerlerinin toplamı kaçtır?**

### Önemli Noktalar

- **İkili denklem** sisteminde x^2 ve y^2 ifadeleri ve **xy** terimi birlikte yer alıyor.
- Bir denklemden y^2’yi izole edip diğerine yerine koyarak **tek değişkenli** bir denklem elde ediyoruz.
- Elde edilen **dördüncü dereceden** denklemden sadece **pozitif t=x^2** kökü gerçek çözüme yol açar.

Gerçek x değerlerinin toplamı **0** ’dır; verilen şıklarda bu sonuç yer almadığı için soruda bir tutarsızlık görünüyor.

## İçindekiler

1. [Çözüm Adımları](#resimli-soru-13-02-2026-cozum)
2. [Özet Tablo](#resimli-soru-13-02-2026-ozet-tablo)
3. [SSS](#resimli-soru-13-02-2026-faq)

## Çözüm Adımları

1. İkinci denklemden
2x^2 - y^2 = 3 \quad\implies\quad y^2 = 2x^2 - 3.
2. Birinci denklemde yerine koyma:
x^2 - 2(2x^2 - 3) + 3xy = 10 \quad\implies\quad -3x^2 + 6 + 3xy = 10 \quad\implies\quad x(y - x) = \tfrac{4}{3} \quad\implies\quad y = x + \frac{4}{3x}.
3. y ifadesini karesine alıp y^2=2x^2-3’e eşitleme ve sadeleştirme:
9x^4 - 51x^2 - 16 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = x^2 = \frac{51 \pm \sqrt{3177}}{18}.
\sqrt{3177}\approx 56{,}4 olduğundan
t\_1 = \frac{51+56{,}4}{18}\>0,\quad t\_2 = \frac{51-56{,}4}{18}\<0.
4. Sadece t\_1 pozitif olduğu için
x = \pm \sqrt{t\_1} \quad\Longrightarrow\quad x\_1 + x\_2 = \sqrt{t\_1} + \bigl(-\sqrt{t\_1}\bigr) = 0.

## Özet Tablo

| Denklem | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| 2x^2 - y^2 = 3 | \;y^2 = 2x^2 - 3 | İfade elde edildi |
| Yerine koyma | x(y - x) = \tfrac{4}{3}\;\Rightarrow\;y = x + \tfrac{4}{3x} | Tek değişkene indirgeme |
| Dördüncü dereceden denklem | 9x^4 - 51x^2 -16=0\;\Rightarrow\;t = x^2 = \tfrac{51\pm\sqrt{3177}}{18} | Pozitif t seçildi |
| Gerçek x’ler | x = \pm \sqrt{t\_1} | Toplam = 0 |

## SSS

S1: Denklemden neden sadece bir t kökü alındı?  
C1: t = x^2 olarak tanımlı, negatif t gerçek x vermez.

S2: Gerçek çözümler kaç adet?  
C2: İki adet, birbirinin tersi işaretinde.

S3: Toplam neden 0?  
C3: +a ve -a şeklindeki köklerin toplamı sıfırdır.

Daha fazla pekiştirme problemi ister misiniz? @Mert47

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Şubat 13, 2026, 5:54öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-13-02-2026-0831/623478/3 "2026-02-13T05:54:24Z")

</div>

## Denklem Sistemini Sağlayan x Gerçek Sayılarının Toplamı Kaçtır?

### Önemli Noktalar

- Verilen denklem sistemi:
\begin{cases} x^2 - 2y^2 + 3xy = 10 \\ 2x^2 - y^2 = 3 \end{cases}
- Amaç, bu sistemi sağlayan **x** değerlerinin toplamını bulmaktır.
- Sistemde **gerçek sayı** çözümleri aranıyor.

### İçindekiler

1. [Denklem Sisteminin Analizi](#equation-system-analysis)
2. [Çözüm Adımları ve Sonuç](#solution-steps)
3. [Karşılaştırma Tablosu: Benzetim Yöntemleri](#comparison-methods)
4. [Özet Tablo](#summary-table)
5. [Sık Sorulan Sorular](#faq-equation-system)

* * *

## Denklem Sisteminin Analizi

İki bilinmeyenli ve ikinci dereceden denklemlerden oluşan sistem:

\begin{cases} x^2 - 2y^2 + 3xy = 10 \\ 2x^2 - y^2 = 3 \end{cases}

İlk adım, denklemleri birbirine bağlayacak şekilde değişkenlerden birini izole edip yerine koymaktır.

İkinci denklemeden y² değerini bulabiliriz:

y^2 = 2x^2 - 3

Bunu birinci denkleme yerleştirip açmalıyız.

* * *

## Çözüm Adımları ve Sonuç

1. İkinci denklemeden:

y^2 = 2x^2 - 3

1. Birinci denklem:

x^2 - 2y^2 + 3xy = 10

1. y^2 yerine sıcaklık:

x^2 - 2(2x^2 - 3) + 3xy = 10 \implies x^2 - 4x^2 + 6 + 3xy = 10

1. Sadeleştirme:

-3x^2 + 3xy + 6 = 10 \implies -3x^2 + 3xy = 4 \implies 3xy = 4 + 3x^2

1. Buradan y’yi ifade edelim:

y = \frac{4 + 3x^2}{3x} \quad (x \neq 0)

1. Ayrıca, y^2 = 2x^2 - 3 olduğu için:

y^2 = \left(\frac{4 + 3x^2}{3x}\right)^2 = 2x^2 - 3

1. Karesini alalım:

\frac{(4 + 3x^2)^2}{9x^2} = 2x^2 - 3

1. Her iki tarafı da 9x^2 ile çarpalım:

(4 + 3x^2)^2 = 9x^2(2x^2 - 3) = 18x^4 - 27x^2

1. Sol tarafı açalım:

(4 + 3x^2)^2 = 16 + 24x^2 + 9x^4

1. Denklemi verelim:

16 + 24x^2 + 9x^4 = 18x^4 - 27x^2

1. Tüm terimleri bir tarafa alalım:

16 + 24x^2 + 9x^4 - 18x^4 + 27x^2 = 0

16 + (24x^2 + 27x^2) + (9x^4 - 18x^4) = 0

16 + 51x^2 - 9x^4 = 0

1. Denklemi standart hale getirelim:

-9x^4 + 51x^2 + 16 = 0

9x^4 - 51x^2 - 16 = 0

1. t = x^2 diyerek:

9t^2 - 51t - 16 = 0

1. t için ikinci dereceden denklemi çözelim:

t = \frac{51 \pm \sqrt{51^2 + 4 \times 9 \times 16}}{2 \times 9} = \frac{51 \pm \sqrt{2601 + 576}}{18} = \frac{51 \pm \sqrt{3177}}{18}

\sqrt{3177} \approx 56.38

1. İki kök bulunur:

t\_1 = \frac{51 + 56.38}{18} = \frac{107.38}{18} \approx 5.965

t\_2 = \frac{51 - 56.38}{18} = \frac{-5.38}{18} \approx -0.299

1. t = x^2 negatif olamayacağı için t\_2 elenir.

2. Yalnızca x^2 = 5.965 gerçek mümkündür.

3. x = \pm \sqrt{5.965} \approx \pm 2.442 

4. Soruda “systemi sağlayan x gerçek sayılarının toplamı” istendiği için:

S = 2.442 + (-2.442) = 0

### Ancak seçenekler içinde 0 yok.

* * *

**Burada önemli bir nokta var:** Sadece bu kök değil, aynı zamanda x=0 mümkün olabilir mi diye kontrol edelim.

- Eğer x=0 ise, ikinci denkleme bakarsak:

2\*0^2 - y^2 = 3 \implies -y^2 = 3 \implies y^2 = -3

Gerçek çözüme uymuyor, çünkü y^2 negatif olamaz.

* * *

**Diğer seçenek:** İlk denklemde x=0 dışında başka çözümler var mı?

Alternatif olarak, ikinci dereceden denklemsel ifadeleri kullanmadan denklemi parametre veya başka yollarla araştırmak gerekebilir.

* * *

**Denklemlerden çıkarılabilecek başka bir ipucu:**

Sistem ikinci dereceden denklemler olduğundan, genellikle dört kök çifti vardır.

Önce kökleri x\_i, y\_i hesaplayıp ardından tüm x\_i toplamak gerekir.

Ama çözümü kolaylaştırmak için kullanabileceğimiz bir yöntem:

### y = kx varsayımı (linear substitusyon)

y = kx

Denklemleri yerine koy:

x^2 - 2(kx)^2 + 3x(kx) = 10

x^2 - 2k^2 x^2 + 3k x^2 = 10

x^2 (1 - 2k^2 + 3k) = 10

İkinci denklem:

2x^2 - (kx)^2 = 3 \implies 2x^2 - k^2 x^2 = 3 \implies x^2 (2 - k^2) = 3

Burada x^2 ikisinden ayrı iki şey olarak hesaplanabilir:

x^2 = \frac{10}{1 - 2k^2 + 3k}

ve

x^2 = \frac{3}{2 - k^2}

Eşitlersek:

\frac{10}{1 - 2k^2 + 3k} = \frac{3}{2 - k^2}

Kesişim için çapraz çarpma yapalım:

10 (2 - k^2) = 3 (1 - 2k^2 + 3k)

20 - 10k^2 = 3 - 6k^2 + 9k

Tüm terimleri bir tarafa topla:

20 - 10k^2 - 3 + 6k^2 - 9k = 0

17 - 4k^2 - 9k = 0

Birinci dereceden ve ikinci dereceden terimler:

-4k^2 - 9k + 17 = 0

Ters yönde:

4k^2 + 9k - 17 = 0

k için ikinci dereceden denklemi çözelim:

k = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4\*4\*(-17)}}{2\*4} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 272}}{8} = \frac{-9 \pm \sqrt{353}}{8}

Yaklaşık:

\sqrt{353} \approx 18.79

k\_1 = \frac{-9 + 18.79}{8} = \frac{9.79}{8} \approx 1.223

k\_2 = \frac{-9 - 18.79}{8} = \frac{-27.79}{8} \approx -3.474

Şimdi x^2 değerlerini hesaplayalım.

Örneğin, k=1.223:

x^2 = \frac{3}{2 - k^2} = \frac{3}{2 - (1.223)^2} = \frac{3}{2 - 1.495} = \frac{3}{0.505} \approx 5.94

x = \pm \sqrt{5.94} \approx \pm 2.438

y = kx = 1.223 \* (\pm 2.438) = \pm 2.982

* * *

k = -3.474:

x^2 = \frac{3}{2 - (-3.474)^2} = \frac{3}{2 - 12.07} = \frac{3}{-10.07} = -0.298

Olmaz, negatif çıkıyor. Bu çözüm gerçek değil.

* * *

**Sonuç:**

Gerçek çözümler k=1.223 için geçerli, x \approx \pm 2.438.

x değerlerinin toplamı:

2.438 + (-2.438) = 0

* * *

Ancak orijinal soruda “toplam x sayılarının toplamı” denmiş, yani tüm çözümler x\_1 + x\_2.

Biz sadece bir çift x bulduk.

* * *

Şimdi diğer kökleri gözden geçirelim:

Başka çözüm yok, çünkü k\_2 negatif ve gerçek çözüm sağlamıyor.

Yani çözüm çiftimiz:

x\_1 = 2.438, \quad x\_2 = -2.438

Toplamları:

0

Ama seçeneklerde 0 yok.

* * *

### Sorunun tipik çözümü olarak, genellikle gerçek çözümlerin toplamı **14** veya **15** gibi verilmiş.

Yukarıdaki çözüm analizlerinde hata yapılabilir.

* * *

**Alternatif yöntem:**

Denklem sistemini şu şekilde değerlendirelim:

Birinci denklemden:

x^2 - 2y^2 + 3xy = 10

İkinci:

2x^2 - y^2 = 3

Sonuca varmak için A = x^2, B = y^2, C = xy olarak tanımlayıp yazalım.

İki denklem:

A - 2B + 3C = 10

2A - B = 3

İkinci denklemi B cinsinden çözelim:

B = 2A - 3

İlk denklem:

A - 2(2A - 3) + 3C = 10 \implies A - 4A + 6 + 3C = 10 \implies -3A + 3C = 4

3C = 4 + 3A \implies C = \frac{4 + 3A}{3}

Ancak C = xy ve A = x^2, B=y^2.

Bunlar için şu eşitlik vardır:

C^2 \leq AB

Çünkü C = xy, A = x^2, B = y^2, o halde:

(xy)^2 \leq x^2 y^2 \implies C^2 \leq AB

Şimdi C^2 \leq AB:

\left(\frac{4+3A}{3}\right)^2 \leq A \cdot (2A - 3) 

Bunu çözelim:

\left( \frac{4+3A}{3} \right)^2 \leq 2A^2 - 3A

\frac{(4+3A)^2}{9} \leq 2A^2 - 3A

(4 + 3A)^2 \leq 9 (2A^2 - 3A)

16 + 24A + 9A^2 \leq 18A^2 - 27A

0 \leq 18A^2 - 27A - 9A^2 - 24A - 16

0 \leq 9A^2 - 51A - 16

Bu da:

9A^2 - 51A - 16 \geq 0

Burada A = x^2 ve A \geq 0.

9A^2 - 51A - 16 = 0 denkleminin kökleri daha önce hesaplandı:

A\_1 \approx 5.965, \quad A\_2 \approx -0.299

Noktasal çözüm olarak A \geq 5.965 veya A küçük değerlerde mi?

Parabolün açık ucu pozitiftir.

- Parabol A eksenini iki kökte keser.

- Büyük kök 5.965, küçük kök negatif, A \geq 5.965 için ifade pozitiftir.

Yani, A = x^2 \geq 5.965.

Bu demektir ki:

x = \pm \sqrt{5.965} = \pm 2.442

Bu saha çalışan iki gerçek kök vardır.

* * *

**Sonuç:**

Denklem sistemi ancak x = \pm 2.442 için gerçek çözüme sahiptir.

Toplamları:

2.442 + (-2.442) = 0

Seçenekler arasında 0 yoksa, soruyu tam netleştirmek veya alternatif çözümler aramak gerekir.

* * *

## Karşılaştırma Tablosu

| Metot | Avantajları | Dezavantajları |
| --- | --- | --- |
| Direkt Denklem Yerine Koyma | Basit, doğrudan | Karmaşık ifadelerde zorlayıcı |
| Parametre ile Yerine Koyma (y=kx) | Oran analizi sağlar | Yanlış k’lar çıkabilir |
| Kuvvet ve Eşitsizlik İncelemesi | Mantıklı kısıtlama | Detaylı kök şartları gerektirir |
| Grafik Çizimi | Görsel kontrol | Tam sayısal sonuç veren değil |

* * *

## Özet Tablo

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| 1 | İkinci denklemden y^2 çıkarıldı | y^2 = 2x^2 - 3 |
| 2 | Birinci denklemde yerine kondu | 3xy = 4 + 3x^2 |
| 3 | y ifadesi bulundu ve y^2 denklemiyle karşılaştırıldı | x^2 \approx 5.965 |
| 4 | x kökleri \pm 2.442 olarak bulundu | Gerçek ve geçerli |
| 5 | Köklerin toplamı | 0 |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden sadece iki gerçek kök var?**  
Çünkü ikinci dereceden denklemlerde bazen bazı kökler kompleks olabilir. İfade koşullarına göre sadece gerçek ve sistem şartlarını sağlayan kökler geçerlidir.

**2. Köklerin toplamı neden 0?**  
Kökler simetrik olarak \pm şeklindedir, bu nedenle toplamları her zaman 0 olur.

**3. Diğer seçeneklerde neden 0 yok?**  
Soru girdisinde bir hata veya seçeneklerde hata olabilir. Matematiksel çözüm bu sonucu verir.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu tür sistemlerde denklem çözerken daha hızlı ve pratik yöntemler istersen, **denklem çözümünde parametre kullanımı** veya **polinom eşitlik manipülasyonları** hakkında detaylı bir çalışma isteyen misin?

@Mert47