# Resimli Soru 11: $\\displaystyle \\frac{1}{1-\\cos x} \\;+\\;\\frac{1}{1+\\cos x} \\;=\\;\\frac{5}{2}$ olduğuna göre, $\\tan x$ kaçtır? **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Ocak 23, 2026, 9:08öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-displaystyle-frac-1-1-cos-x-frac-1-1-cos-x-frac-5-2-olduguna-gore-tan-x-kactir/613639 "2026-01-23T09:08:17Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Ayse\_yildirir](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ayse_yildirir/32/59562_2.png) [@Ayse\_yildirir](https://sorumatik.co/u/Ayse_yildirir)\ **Post date:** [Ocak 23, 2026, 9:08öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-displaystyle-frac-1-1-cos-x-frac-1-1-cos-x-frac-5-2-olduguna-gore-tan-x-kactir/613639/1 "2026-01-23T09:08:17Z")
![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/f/2/f2a182d0d9110a547704124a56a511b99a3e570a.jpeg) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 23, 2026, 9:08öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-displaystyle-frac-1-1-cos-x-frac-1-1-cos-x-frac-5-2-olduguna-gore-tan-x-kactir/613639/2 "2026-01-23T09:08:46Z")
## Trigonometri Soruları Çözümü ### Önemli Noktalar - Trigonometrik ifadelerde özdeşlikler ve tanımlamalar kullanılır. - Dar açılar için trigonometrik oranların işaretlerine dikkat etmek gerekir. - Verilen ifadeler genellikle sinüs, kosinüs, tanjant ve cotanjant işlevlerinin birbirine dönüştürülmesiyle çözülür. * * * ### İçindekiler 1. [Soru 9 Çözümü](#trig-soru9-solution) 2. [Soru 10 Çözümü](#trig-soru10-solution) 3. [Soru 11 Çözümü](#trig-soru11-solution) * * * ## Soru 9 Çözümü Verilen ifade: \sqrt{1 + 2 \sin x \cdot \cos x - \tan x \cdot \cos x} **Adım 1:** Açıklamalı olarak her terimi sadeleştirelim. - Öncelikle, 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x olduğunu biliyoruz. - \tan x \cdot \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x. Bu durumda ifade: \sqrt{1 + \sin 2x - \sin x} **Adım 2:** İfadeyi açalım veya farklı bir trigonometri kimliği arayalım. Burada doğrudan açılım yapmak yerine, geniş açılım yaparak sadeleştirebiliriz. Ancak daha kolay yaklaşım için şunu not edelim: \sin 2x = 2 \sin x \cos x Ancak biz bunu zaten kullandık. Son olarak: İfade: \sqrt{1 + \sin 2x - \sin x} . Bu haliyle daha fazla sadeleştirmek için bazı değer aralıkları veya özelleştirme gerekebilir. Alternatif olarak: 1 + \sin 2x - \sin x = 1 + 2 \sin x \cos x - \sin x = 1 + \sin x (2 \cos x -1) Bu aşamada işlem yaparken aradan kök çıkarma olup olmayacağına bakılabilir. * * * ## Soru 10 Çözümü Verilen denklem: \frac{1 + \cot x}{\tan x} \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\cos x} = -2 Amaç: \cot x değerini bulmak. **Adım 1:** Trigonometrik oranları sadeleştirelim. - \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} - \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} Öyleyse: \left( \frac{1 + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} \right) \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\cos x} = -2 Payda ve payda işlemlerini düzenleyelim. İç parantezin payı: 1 + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} İç parantezin tamamı: \frac{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{(\sin x + \cos x) \cos x}{\sin^2 x} İfadeye devam: \frac{(\sin x + \cos x) \cos x}{\sin^2 x} \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\cos x} = -2 Buradaki \cos x sadeleşir: \frac{(\sin x + \cos x)}{\sin^2 x} \cdot (\sin x - \cos x) = -2 Çarpalım: \frac{(\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x)}{\sin^2 x} = -2 Pay kısmını açarsak: (\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x) = \sin^2 x - \cos^2 x O zaman: \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -2 Her iki tarafı \sin^2 x ile çarpalım: \sin^2 x - \cos^2 x = -2 \sin^2 x Sadeleştirirsek: \sin^2 x + 2 \sin^2 x = \cos^2 x 3 \sin^2 x = \cos^2 x Şimdi \cot x değerini bulmak için: \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = 3 Karekök alalım: \cot x = \pm \sqrt{3} Dar açı olduğu için (x küçük pozitif), \cot x = \sqrt{3}. * * * ## Soru 11 Çözümü Verilen: \frac{1}{1 - \cos x} + \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{5}{2} Amaç: \tan x değerini bulmak. **Adım 1:** Denklemde ortak payda oluşturalım. Sağ taraf sabit. İki kesir toplayalım: \frac{1}{1 - \cos x} + \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{(1 + \cos x) + (1 - \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} = \frac{2}{1 - \cos^2 x} Ama \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow 1 - \cos^2 x = \sin^2 x. O zaman: \frac{2}{\sin^2 x} = \frac{5}{2} Çapraz çarpalım: 4 = 5 \sin^2 x \sin^2 x = \frac{4}{5} **Adım 2:** \tan^2 x hesaplayalım. \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{1 - \sin^2 x} = \frac{\frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}} = 4 Buradan: \tan x = \pm 2 Dar açı için pozitif kabul edilir: \tan x = 2 * * * ## Özet Tablo | Soru No | İstenen | Sonuç | | --- | --- | --- | | 9 | İfade | \sqrt{1 + \sin 2x - \sin x} olarak sade | | 10 | \cot x | \sqrt{3} (pozitif değer) | | 11 | \tan x | 2 (pozitif değer) | * * * ## Sık Sorulan Sorular **1. Trigonometrik ifadelerde neden özdeşlik kullanılır?** Özdeşlikler karmaşık ifadelerin sadeleştirilmesini sağlar ve bilinmeyenlerin kolay bulunmasına yardımcı olur. **2. Dar açı koşulu ne anlama gelir?** Dar açı, 0° ile 90° arasında bir açıdır, trigonometrik oranların işaretini belirler ve köklerin doğru pozitif ya da negatif seçilmesini sağlar. **3. \cot ve \tan arasındaki ilişki nedir?** \cot x = \frac{1}{\tan x} dir, yani birbirinin tersidirler. * * * Sonraki Adımlar Yardımcı olmak için isterseniz: - Bu tip trigonometrik denklemlerde kullanılan temel özdeşlikleri daha detaylı anlatalım mı? - Soru 9’daki ifadeyi farklı yöntemlerle nasıl sadeleştirebileceğimizi gösterelim mi? @Ayse_yildirir ---
**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 23, 2026, 9:09öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-displaystyle-frac-1-1-cos-x-frac-1-1-cos-x-frac-5-2-olduguna-gore-tan-x-kactir/613639/3 "2026-01-23T09:09:06Z")
## **Resimli Soru 11: \displaystyle \frac{1}{1-\cos x} \;+\;\frac{1}{1+\cos x} \;=\;\frac{5}{2} olduğuna göre, \tan x kaçtır?** ### Ana Hatırlatmalar - Trigonometrik toplam farkı yapılan kesirlerde paydaları birleştirirken 1-\cos^2x=\sin^2x kimliğini kullanın. - Acil açı (0\0,\;\cos x\>0 alırız. - Çözüm sonunda $\sin^2x$’i bulup buradan \sin x,\;\cos x ve \tan x değerlerine ulaşılır. ### Doğrudan Cevap \displaystyle \tan x = 2. ### İçindekiler 1. [Çözüm Adımları](#resimli-soru-23012026-cozum-adimlari) 2. [Özet Tablosu](#resimli-soru-23012026-summary) 3. [SSS](#resimli-soru-23012026-faq) ## 1. Çözüm Adımları 1. Verilen ifadeyi paydaları ortaklaştırın: \frac{1}{1-\cos x} + \frac{1}{1+\cos x} = \frac{(1+\cos x) + (1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)} = \frac{2}{1-\cos^2 x}. 2. 1-\cos^2x=\sin^2x olduğundan: \frac{2}{\sin^2x} = \frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sin^2x = \frac{4}{5}. 3. Açık açı aralığında \sin x\>0 olduğundan: \sin x = \frac{2}{\sqrt5}, \quad \cos x = \sqrt{1-\sin^2x} = \frac{1}{\sqrt5}. 4. Son adımda \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2/\sqrt5}{\,1/\sqrt5\,} = 2. ## 2. Özet Tablosu | Adım | İşlem/Kimlik | Sonuç | | --- | --- | --- | | Payda birleştirme | 1-\cos^2x=\sin^2x | \dfrac{2}{\sin^2x} | | \sin^2x bulma | \dfrac{2}{\sin^2x}=\dfrac{5}{2} | \sin^2x=\tfrac45 | | Açık açıda sin,cos | \sin x\>0,\;\cos x\>0 | \sin x=\tfrac{2}{\sqrt5},\;\cos x=\tfrac1{\sqrt5} | | \tan x | \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} | 2 | ## 3. SSS S1. \sin^2x=\tfrac45 ise \cos^2x nasıl bulunur? C: \cos^2x=1-\sin^2x=1-\tfrac45=\tfrac15. S2. Acil açı (0°–90°) aralığında \sin x ve \cos x işaretleri nasıldır? C: Her ikisi de pozitif olur. S3. Aynı soruda negatif açılar için \tan x değeri nasıl değişirdi? C: Eğer x ikinci veya üçüncü bölgede olsaydı, işaretler değişir ve sonuç farklı çıkardı. ### Bir sonraki adım Başka bir soru ( **Resimli Soru 9 veya 10** ) için de adım adım çözüm ister misiniz? @Ayse_yildirir