# Resimli Soru 11-10-2025 16:12:17

**URL:** <https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-10-2025-1617/514676>\
**Category:** 11.Sınıf Matematik\
**Created:** [Ekim 11, 2025, 1:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-10-2025-1617/514676 "2025-10-11T13:13:05Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ecrin\_Ceylo](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ecrin_ceylo/32/53998_2.png) [@Ecrin\_Ceylo](https://sorumatik.co/u/Ecrin_Ceylo)\
**Post date:** [Ekim 11, 2025, 1:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-10-2025-1617/514676/1 "2025-10-11T13:13:06Z")

</div>

![IMG_20251011_160915](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/a/0/a0de8d87c3c6a4ba7f203c30222efee05b1f7177.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Ekim 11, 2025, 1:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-10-2025-1617/514676/2 "2025-10-11T13:13:26Z")

</div>

## **Soru:**

tan x – cot x = 2√3 olduğuna göre, tan³ x + cot³ x toplamının **pozitif** değeri kaçtır?

* * *

## **Table of Contents**

1. 
  - 

2. [Çözüm Adımları](#cozum-adimlari)
3. [Özet Tablosu](#ozet-tablosu)
4. [Cevap](#cevap)

## **1. Soru Özeti**

Elimizde  
$  
\tan x - \cot x = 2\sqrt{3}  
$  
eşitliği var.  
Buna dayanarak  
$  
\tan^3 x + \cot^3 x  
$  
ifadesinin pozitif değerini bulmamız isteniyor.

## **2. Çözüm Adımları**

1. **Değişken tanımı:**  
$  
t = \tan x  
$  
olduğunda \cot x = \frac{1}{t} olur.

2. **İlk ifadenin karesi:**  
$  
t - \frac{1}{t} = 2\sqrt{3}  
$  
ifadesini karesini alalım:  
$  
\bigl(t - \tfrac{1}{t}\bigr)^2  
= t^2 + \tfrac{1}{t^2} - 2  
= (2\sqrt{3})^2  
= 12  
$  
Dolayısıyla  
$  
t^2 + \tfrac{1}{t^2}  
= 12 + 2  
= 14  
$.

3. **t + 1/t değerinin bulunması:**  
$  
\bigl(t + \tfrac{1}{t}\bigr)^2  
= t^2 + \tfrac{1}{t^2} + 2  
= 14 + 2  
= 16  
$  
Buradan  
$  
t + \tfrac{1}{t}  
= \pm 4  
$  
olur.  
Ancak t - \tfrac{1}{t}=2\sqrt{3}\>0 olduğundan t\>0 ve dolayısıyla t+\tfrac1t\>0 olacaktır.  
Bu yüzden  
$  
t + \tfrac{1}{t} = 4  
$.

4. **Küp toplamının hesaplanması:**  
Bilinen formül:  
$  
t^3 + \tfrac{1}{t^3}  
= \bigl(t + \tfrac{1}{t}\bigr)^3 ;-; 3\bigl(t + \tfrac{1}{t}\bigr)  
$.  
Buna t+\tfrac1t=4 değerini yerleştirirsek:  
$  
t^3 + \tfrac{1}{t^3}  
= 4^3 - 3\cdot4  
= 64 - 12  
= 52  
$.

## **3. Özet Tablosu**

| Adım | İfade veya Sonuç |
| --- | --- |
| Başlangıç | t - \tfrac1t = 2\sqrt3 |
| Kare alındı | t^2 + \tfrac1{t^2} = 14 |
| Toplam ifadesi | t + \tfrac1t = 4 |
| Küp toplamı | t^3 + \tfrac1{t^3} = 52 |

## **4. Cevap**

tan³ x + cot³ x toplamının **pozitif** değeri **52** ’dir.

@Ecrin_Ceylo

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ekim 11, 2025, 1:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-10-2025-1617/514676/3 "2025-10-11T13:13:27Z")

</div>

## **Soru:**

\tan x - \cot x = 2\sqrt{3} olduğuna göre, \tan^3 x + \cot^3 x toplamının pozitif değeri kaçtır?

* * *

## **Çözüm:**

Verilen ifade:

\tan x - \cot x = 2\sqrt{3}

Bizden istenen:

\tan^3 x + \cot^3 x

* * *

### 1. Adım: İfadeleri daha kolay yönetmek için

\tan x = t diyelim. Böylece \cot x = \frac{1}{t} olur.

Verilen ifade:

t - \frac{1}{t} = 2 \sqrt{3}

* * *

### 2. Adım: t - \frac{1}{t} ifadesinin karesi

Öncelikle aşağıdaki ifadeyi hesaplayalım:

\left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = (2 \sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12

Sol tarafı açalım:

\left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}

Buna göre,

t^2 + \frac{1}{t^2} - 2 = 12 \implies t^2 + \frac{1}{t^2} = 14

* * *

### 3. Adım: Aranan ifade olan \tan^3 x + \cot^3 x ifadesini yazalım

Yani,

t^3 + \frac{1}{t^3}

Bununla ilgili şöyle bir özdeşlik kullanacağız:

a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)

Burada a = t, b = \frac{1}{t}.

* * *

### 4. Adım: t + \frac{1}{t} değerini bulma

(t - \frac{1}{t})^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2} = 12 idi.

Ayrıca,

(t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}

Elimizde t^2 + \frac{1}{t^2} = 14 olduğu için,

(t + \frac{1}{t})^2 = 14 + 2 = 16

Dolayısıyla,

t + \frac{1}{t} = \pm 4

Hangi işareti alacağımızı bulmak gerek. Peki hangi işaret uygun?

* * *

### 5. Adım: İşaretlerin tutarlılığını kontrol etme

t - \frac{1}{t} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \> 0 (pozitif).

Bu durumda t ve \frac{1}{t} değerleri pozitif sayılardır (çünkü t pozitif veya negatif, ama sonuçlara göre tutarlı olması gerekir).

Şimdi, t + \frac{1}{t} pozitif ise +4, negatif ise -4.

a = t, b = \frac{1}{t} olduğunda a - b = 2\sqrt{3} pozitif, a + b pozitif olmalı.

Örneğin, t \> 0, o halde t + \frac{1}{t} \> 0.

Bu nedenle

t + \frac{1}{t} = 4

* * *

### 6. Adım: Son olarak t^3 + \frac{1}{t^3} değerini hesaplama

$

t^3 + \frac{1}{t^3} = (t + \frac{1}{t})^3 - 3 \cdot t \cdot \frac{1}{t} (t + \frac{1}{t}) = (t + \frac{1}{t})^3 - 3 (t + \frac{1}{t})

$

Bu bize:

= 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52

* * *

## **Cevap:**

**Pozitif değer** olarak,

\boxed{52}

* * *

## **Özet Tablosu**

| İfade | Değer | Açıklama |
| --- | --- | --- |
| t - \frac{1}{t} | 2\sqrt{3} | Verilen bilgilerden |
| (t - \frac{1}{t})^2 | 12 | Karesi alınarak |
| t^2 + \frac{1}{t^2} | 14 | Açılım ile bulunur |
| (t + \frac{1}{t})^2 | 16 | İki ifade toplamından |
| t + \frac{1}{t} | 4 (pozitif) | Pozitif olarak seçildi |
| t^3 + \frac{1}{t^3} | 52 | Küp toplamı formülü ile hesaplandı |

* * *

Sorunun doğru cevabı **A) 52**.

@Ecrin_Ceylo