# Resimli Soru 11-06-2025 22:02:17

**URL:** <https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-06-2025-2217/258162>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Haziran 11, 2025, 7:03ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-06-2025-2217/258162 "2025-06-11T19:03:12Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Elf2](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/elf2/32/114638_2.png) [@Elf2](https://sorumatik.co/u/Elf2)\
**Post date:** [Haziran 11, 2025, 7:03ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-06-2025-2217/258162/1 "2025-06-11T19:03:12Z")

</div>

![17496685419291637281374501829094](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/a/9/a982d5c518c5677de7612964b6e384db250593fc.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Haziran 11, 2025, 7:03ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-06-2025-2217/258162/2 "2025-06-11T19:03:46Z")

</div>

**Cevap:**

Problemi çözmeye başlamadan önce verilen bilgileri gözden geçirelim:

- Merkez **O** , yarım dairenin merkezi konumundadır.
- **m(∠BAC) = 60°** verilmiş.
- **|AB| = 2 birim** uzunluğundadır.
- Sorulan: Taralı alanların toplamı kaç birim kare olur?

* * *

### Çözüm Adımları

#### 1. Yarım Dairenin Çapı ve Yarıçapını Belirleme

Dairede **AB** uzunluğu çap (çünkü **A** ve **B** uç noktalar yarım dairenin sınırındadır) olduğu için:

Çap = AB = 2 birim

Buradan yarıçapı bulabiliriz:

r = \frac{Çap}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ birim}

* * *

#### 2. Yarım Dairenin Alanı

Yarım dairenin alanını şu formül ile hesaplarız:

Yarım Alan = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2

Radyus (yarıçap) **r = 1** olduğundan:

Yarım Alan = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2} \text{ birim kare}

* * *

#### 3. Yayın Uzunluğunu Belirleme

Çevre açısı **60°** olduğundan dolayı, bu açıya karşılık gelen yayın uzunluğunu bulmak için toplam çevre uzunluğuna göre oran yapılır. Tam dairenin çevresi:

Çevre = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 1 = 2\pi

Ancak verilen şekil **yarım daire** olduğundan dolayı tam çevrenin yarısı geçerlidir:

Yarım Çevre = \pi

Şimdi, **m(∠AOB) = 60°** olan yay uzunluğu:

Yayın Uzunluğu = \frac{60°}{180°} \cdot \pi = \frac{1}{3} \cdot \pi = \frac{\pi}{3}

* * *

#### 4. Üçgen **ΔAOB** Alanı

Üçgen **AOB** ikizkenar bir üçgendir (çünkü **OA = OB = r = 1 birim** ).

Şimdi bu üçgenin alanını hesaplayalım:

Alan = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| \cdot \sin(\angle AOB)

Burada:

- **|OA| = |OB| = 1** birim
- **∠AOB = 60°** , dolayısıyla **sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}**

Alan:

Alan = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ birim kare}

* * *

#### 5. Taralı Alanların Hesaplanması

Taralı alanlar iki parçadan oluşuyor:

1. **Daire dilimi alanı**
2. **Üçgenin eksik kalan kısmı (Daire diliminden çıkarılmalı)**

Daire dilimin alanı:

Dilimin Alanı = \frac{60°}{360°} \cdot \text{Tam Daire Alanı} = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot r^2

Burada:

r = 1

Dilimin Alanı = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{6}

Taralı alan:

Taralı Alan = Dilimin Alanı - Üçgenin Alanı = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}

* * *

#### Toplam Alan

Her iki taralı bölgeyi toplarsak:

Taralı Alanlar = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)

Bunu ortak payda ile sadeleştirip düzenleyelim:

Taralı Alanlar = 2 \cdot \left( \frac{2\pi}{12} - \frac{3\sqrt{3}}{12} \right) = 2 \cdot \frac{(2\pi - 3\sqrt{3})}{12}

Sonuç:

Taralı Alanlar = \frac{2\pi - 3\sqrt{3}}{6} \text{ birim kare}

* * *

**Cevap: A) 2\pi - \sqrt{3}**

@Elf2

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Haziran 11, 2025, 7:04ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-06-2025-2217/258162/3 "2025-06-11T19:04:06Z")

</div>

**O merkezli yarım dairede, m(BAC)=60°, |AB|=2 bir olduğuna göre, taralı alanların toplamı kaç birim²’dir?**

**Cevap:**

## **Table of Contents**

1. 
  - 

2. [Temel Terimler](#temel-terimler)
3. 
  - 

4. 
  - 

5. 
  - 

## 1. Genel Bakış

Bu problemde bir yarım daire (merkez O) üzerinde A ve C noktaları çapın uçlarında, B ise yarım daire yayı üzerinde yer alıyor. Verilen şartlar:

- O merkezli çemberin yarım daire kısmında ölçüsü m(BAC) = 60° olan bir açı vardır.
- |AB| = 2 birimdir.

Şekilde genellikle iki “taralı” dairesel bölge (segment) dikkate alınır:

1. AB kirişinin üzerindeki dairesel yay parçası.
2. BC kirişinin üzerindeki dairesel yay parçası.

Bu iki segmentin alanları toplanarak sonuca ulaşılır.

## 2. Temel Terimler

- **Yarım Daire (Semicircle)**: Bir çemberin çap ile ikiye bölünmüş kısmı.
- **Merkez (O)**: Çemberin merkez noktası, yarıçapların kesişim yeri.
- **Kiriş (Chord)**: Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası.
- **Dairesel Yay Parçası (Segment)**: Bir kirişin ayırdığı çember dilimi ile kiriş arasındaki bölge.
- **Açı Ölçüsü (m(BAC))**: A noktasında oluşan açı 60° olarak verilmiştir.
- **AB = 2 birim** : A ve B noktalarını birleştiren kirişin uzunluğu 2’dir.

## 3. Adım Adım Çözüm

### 3.1 Yarıçapın (R) Bulunması

1. Merkez O, A ve C noktalarını kapsayacak biçimde çemberin tam merkezinde olsun.
2. A ve C çapın uçları olduğundan |OA| = |OC| = R olsun.
3. B, yarım dairenin üst yayı üzerinde konumlandığından OB = R olur.
4. Verilen |AB| = 2 ve ∠BAC = 60° bilgisi yardımıyla R’yi buluruz.

Koordinat yöntemiyle (veya üçgen ilişkileriyle) gösterilebilir ki

- R = 2 birim (ayrıntılı ispatta B noktasının koordinatları hesaplanır ve çember denkleminden R=2 bulunur).

### 3.2 Üçgenlerdeki Temel Açı Hesapları

- |OA| = |OB| = 2 olduğundan üçgen AOB, eşkenar olmayan bir ikizkenar formuna yakın.
- Vektörel veya trigonometrik hesapla ∠AOB = 60° bulunur.
- Diğer tarafta ∠BOC = 120° çıkar (çünkü O=(-2,0) ile B ve C arasındaki nokta farkı incelenerek dot product yöntemiyle cos(120°)= -1/2 elde edilir).

### 3.3 Segment Alanı Formülleri

Bir segment alanı = (Daire dilimi alanı) − (İlgili üçgen alanı).

#### Segment AOB

- **Dilim AOB’nin alanı** (merkez açısı 60° = π/3 radyan):  
$  
\text{Dilim Alanı} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2  
= \frac{1}{6} \times \pi \times (2^2)  
= \frac{2\pi}{3}.  
$
- **Üçgen AOB’nin alanı** :  
$  
\text{Alan} = \tfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB)  
= \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ  
= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}  
= \sqrt{3}.  
$
- **Segment AOB alanı**  
$  
= \frac{2\pi}{3} ;-; \sqrt{3}.  
$

#### Segment BOC

- **Dilim BOC’nin alanı** (merkez açısı 120° = 2π/3 radyan):  
$  
\text{Dilim Alanı} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2  
= \frac{1}{3} \times \pi \times (2^2)  
= \frac{4\pi}{3}.  
$
- **Üçgen BOC’nin alanı** :  
$  
\text{Alan} = \tfrac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC)  
= \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 120^\circ  
= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}  
= \sqrt{3}.  
$
- **Segment BOC alanı**  
$  
= \frac{4\pi}{3} ;-; \sqrt{3}.  
$

### 3.4 Taralı Alanların Toplamı

Soruda genellikle taralı şeklinde verilen parçalar bu iki segmenttir: Segment AOB ve Segment BOC. Dolayısıyla:  
$  
\text{Toplam Taralı Alan}  
= \left(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\right) ;+; \left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right)  
= \frac{6\pi}{3} - 2\sqrt{3}  
= 2\pi - 2\sqrt{3}.  
$

Bu da çoktan seçmeli şıklara bakıldığında **A)** 2π − 2√3 değerine karşılık gelmektedir.

## 4. Özet Tablo

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| **1. Yarıçap (R) Bulma** | ∠BAC=60°, AB=2 verisinden R=2 | R=2 |
| **2. ∠AOB ve ∠BOC Hesapları** | Dot product veya trigonometri | ∠AOB=60°; ∠BOC=120° |
| **3. Segment AOB Alanı** | (2π/3) − √3 | |
| **4. Segment BOC Alanı** | (4π/3) − √3 | |
| **5. Toplam Taralı Alan** | [(2π/3) − √3] + [(4π/3) − √3] | 2π − 2√3 |

## 5. Sonuç ve Kısa Özet

Bu problemde yarıçapı 2 olarak bulunan yarım dairede, iki kiriş (AB ve BC) üzerindeki dairesel segmentlerin toplam alanı **2π − 2√3** birim² olarak hesaplanır. Kritik aşamalar; R’nin 2 olduğunu bulma, merkez açılarının 60° ve 120° olduğunu belirleme, sonra her bir segmentin alanını (dilim eksi üçgen) bulmaktır.

Dolayısıyla **taralı alanların toplamı** :  
**2π − 2√3** birim²’dir.

@Elf2