Soru:
Yukarıdaki problem, O merkezli iki çemberin çevre çemberinin alanı verilerek iç teğet çemberinin alanını soruyor.
Çözüm Aşamaları
1. Bilgiler ve Formüller
-
Çevre Çemberi Alanı: 20\pi br²
Çevre çemberinin alanı formülü:
A = \pi r^2
Buradan, çevre çemberinin yarıçapı R bulunur. -
İç Teğet Çember Alanı soruluyor. İç teğet çemberin yarıçapını r bulduktan sonra alanını hesaplamak için:
A = \pi r^2
İç teğet çember, ABCD karesinin içine çizilmiş kareye dayanır. Kare ile çevre ve iç çemberler arasında geometrik ilişkiler vardır.
2. Çevre Çemberinin Yarıçapını (R) Bulma
A_{çevre} = \pi R^2
Alan verilmiş:
20 \pi = \pi R^2
\pi sadeleşir:
R^2 = 20
Yarıçap:
R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
3. İç Teğet Çemberinin Yarıçapını (r) Bulma
İç teğet çember, kare içerisinde çizildiğinden çapı bu karenin kenar uzunluğuna eşittir.
Kare ile çember arasında şu ilişki vardır:
Kare köşegeni = Çevre Çemberin Çapı
Kare köşegeni:
\text{Çap} = 2R = 4\sqrt{5}
Kare köşegen bağıntısı:
Köşegen = \sqrt{2} \cdot \text{kenar uzunluğu}
Buradan kare kenar uzunluğunu buluruz:
4\sqrt{5} = \sqrt{2} \cdot \text{kenar uzunluğu}
\text{Kenar uzunluğu} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{10}
İç teğet çemberin çapı, karenin kenar uzunluğuna eşittir.
\text{Çap} = 2\sqrt{10} \implies \text{Yarıçap} = \sqrt{10}
4. İç Teğet Çember Alanını Hesaplama
Alan formülü:
A = \pi r^2
Yarıçap:
r = \sqrt{10}
Alan:
A = \pi (\sqrt{10})^2 = 10 \pi
Sonuç
| Çember Türü | Alan Formülü | Bulunan Alan |
|---|---|---|
| Çevre Çemberi | A = \pi R^2 | 20 \pi |
| İç Teğet Çember | A = \pi r^2 | 10 \pi |
İç teğet çemberinin alanı: 10\pi br²
Cevap: C) 10\pi
O merkezli iki çember ABCD karesinin iç teğet ve çevrel çemberidir. Çevrel çemberinin alanı 20π br² olduğuna göre, iç teğet çemberinin alanı kaç birimkaredir?
Cevap: Bu problemde iç teğet çemberin alanı 10π’dir.
Table of Contents
1. Sorunun Genel Özeti
Bu soruda, bir kare ABCD’nin aynı merkeze sahip (yani “o merkezli”) iki çemberi ele alınmaktadır:
- Çevrel çember (karenin köşelerinden geçen, kareyi dıştan saran çember)
- İç teğet çember (karenin içini saran, kareye içten teğet olan çember)
Soru, dıştaki (çevrel) çemberin alanının 20π olduğu bilgisini veriyor. Bundan yola çıkarak kare kenarının uzunluğunu buluyor, ardından aynı kareye içten teğet olan çemberin (incircle) alanını hesaplıyoruz.
2. Temel Geometrik Kavramlar
- Kare (ABCD): Dört kenarı eşit ve tüm açıları 90° olan düzgün dörtgendir.
- Çevrel Çember (Circumscribed Circle): Karenin tüm köşelerinden geçen çemberdir. Bu çemberin merkezi, karenin merkezine (kesişim noktasına) denk gelir ve yarıçapı, karenin köşegeninin yarısıdır.
- İç Teğet Çember (Incircle): Bir çokgene içten teğet olan (tüm kenarlara dokunan) çemberdir. Karenin durumunda, iç teğet çemberin yarıçapı, karenin yarı kenar uzunluğuna eşittir.
- Alan Formülü: Bir çemberin alanı
\pi r^2
ile hesaplanır, burada ( r ) çemberin yarıçapıdır.
3. Adım Adım Çözüm
3.1 Karenin Kenar Uzunluğunu Belirleme
- Çevrel çemberin alanının ( 20\pi ) olduğu verilmiştir.
- Çevrel çemberin yarıçapı ( R ), karenin köşegeninin yarısıdır.
- Karenin bir kenar uzunluğunu ( s ) olarak düşünelim. Karenin köşegeni, Pisagor teoremine göre:
$$ \text{köşegen} = s\sqrt{2} $$ - Demek ki çevrel çemberin yarıçapı:
$$ R = \frac{s \sqrt{2}}{2} = \frac{s}{\sqrt{2}}. $$
3.2 Karenin İçine ve Dışına Çizilen Çemberlerin Yarıçapları
- Çevrel çemberin alanı aşağıdaki formülle verilmiştir:
$$ \pi R^2 = 20\pi. $$ - Dolayısıyla:
$$ R^2 = 20 \quad \Longrightarrow \quad R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. $$ - Bu ( R ) değerini, ( R = \frac{s}{\sqrt{2}} ) eşitliğine koyarsak karenin kenarı ( s ) şu şekilde bulunur:\frac{s}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{5} \quad \Longrightarrow \quad s = 2\sqrt{5} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{10}.
- İç teğet çemberin yarıçapı (( r )) ise bir karenin incircle’ının yarıçapıdır ve
$$ r = \frac{s}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}. $$
3.3 Çember Alan Formülünü Kullanma
Son olarak, iç teğet çemberin alanını ( \pi r^2 ) formülüyle hesaplayalım:
4. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç / Değer |
|---|---|---|
| 1. Çevrel Çember Alanı | ( \pi R^2 = 20\pi ) | ( R^2 = 20 \Rightarrow R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ) |
| 2. Karenin Köşegen-Yarıçap İlişkisi | ( R = \frac{s\sqrt{2}}{2} = \frac{s}{\sqrt{2}} ) | ( \frac{s}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{5} \Rightarrow s = 2\sqrt{10} ) |
| 3. İç Teğet Çember Yarıçapı | ( r = \frac{s}{2} ) | ( r = \sqrt{10} ) |
| 4. İç Teğet Çember Alanı | ( \pi r^2 ) | ( 10\pi ) |
5. Kısaca Özet ve Sonuç
- Karenin dışındaki (köşeleri saran) çemberin alanı ( 20\pi ) verildi.
- Bu çemberin yarıçapından karenin kenar uzunluğu (( 2\sqrt{10} )) hesaplandı.
- Karenin iç teğet çemberi daima karenin merkezinde olup yarıçapı ( s/2 ) olarak verilir.
- Bu değer ( \sqrt{10} ) bulunarak incircle’ın alanı:
10\pi
şeklinde elde edildi.
Dolayısıyla sorunun cevabı 10π birimkare olup seçeneklerde C) 10π olarak verilmiştir.