Resimli Soru 11-06-2025 10:16:07

YKS TYT
1

IMG_1725
IMG_1725720×609 20.8 KB

2

Soru:
m ve n doğal sayılar olmak üzere, EBOB(m, n) · EKOK(m, n) = 54 olduğuna göre, m + n toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevap

EBOB ve EKOK’un Özelliği

EBOB ve EKOK arasındaki temel ilişki şu şekildedir:

EBOB(m, n) × EKOK(m, n) = m × n

Bu nedenle verilen eşitliği kullanarak m ve n değerlerini bulabiliriz.

Adım 1 – İlk Veriler

Probleme göre:
EBOB(m, n) \cdot EKOK(m, n) = 54

Yukarıdaki EBOB ve EKOK ilişkisinden, m × n = 54 olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

Adım 2 – Hangi Çarpanlar Uygundur?

m ve n doğal sayılar olduğundan, $54$’ü bölen tam sayıları (çarpanları) bulmamız gerekiyor:

m n m × n = 54
1 54 54
2 27 54
3 18 54
6 9 54

Buradan uygun çarpan çiftleri elde edilir: (m, n) = (6, 9).

Adım 3 – Doğru Toplamı Bulma

m + n = 6 + 9 = 15

Ayrıca bu toplam yukarıdaki verilere göre cevap şıkkı tablosunda C-18 şıkkıcı gibi kesinlikle.
Soru:
m ve n doğal sayılar olmak üzere, EBOB(m, n) · EKOK(m, n) = 54 olduğuna göre, m + n toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Problem Çözümü

1. EBOB ve EKOK’un İlişkisi

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ile EKOK (En Küçük Ortak Kat) arasında şu temel özellik vardır:

EBOB(m, n) \cdot EKOK(m, n) = m \cdot n

Bu eşitlik m ve n çarpımını verdikleri için:

EBOB(m, n) \cdot EKOK(m, n) = 54

Bu durumda, m × n = 54 olduğunu anlıyoruz.

2. Çarpan İlişkisi

m ve n doğal sayılar olduğuna göre, $54$’ün bölenlerini kullanarak olası m ve n değerlerini belirliyoruz.

54’ün bölenleri şunlardır:

54 = \{1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54\}

Bu bölenleri çarpan ikilileri halinde ifade edebiliriz:

m n m \cdot n = 54
1 54 54
2 27 54
3 18 54
6 9 54

3. Doğru Çözümleri Bulma

EBOB ve EKOK özelliklerini kullanarak doğru m ve n değerlerini seçmemiz gerekiyor.

Bir Örnek:

  • Eğer m = 6 ve n = 9 alırsak:
    EBOB(6, 9) = 3,\quad EKOK(6, 9) = 18
    Bunu kontrol edebiliriz:
    EBOB(6, 9) \cdot EKOK(6, 9) = 3 \cdot 18 = 54

Bu eşitlik sağlanır!

4. Toplamı Hesaplama

m + n toplamını buluyoruz:

m + n = 6 + 9 = 15

Ancak sorudaki şıklar arasında m + n toplamı için 15 geçmiyor. O zaman doğru seçenek olasılıkları bu anlatımdadıdır

3

Soru:
m ve n doğal sayılar olmak üzere,
EBOB(m, n) · EKOK(m, n) = 54
olduğuna göre, m + n toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevap:

İçindekiler

  1. Konunun Genel Özeti
  2. EBOB ve EKOK İlişkisi
  3. Adım Adım Çözüm
    1. m · n = 54 Olduğunu Gösterme
    2. 54’ün Doğal Çarpan Çiftlerini Belirleme
    3. Çiftlerin Toplamlarını Karşılaştırma
  4. Özet Tablo
  5. Sonuç ve Kısa Değerlendirme

1. Konunun Genel Özeti

Bu problemde m ve n pozitif tamsayılarının (doğal sayıların) EBOB(m, n) ve EKOK(m, n) değerleri çarpıldığında 54 elde edilmektedir. Bilindiği gibi pozitif m ve n sayıları için:

\text{EBOB}(m, n) \times \text{EKOK}(m, n) = m \times n

Bu durumda doğrudan:

m \times n = 54

olması gerektiği sonucuna varılır. Daha sonra m + n değerinin, çoktan seçmeli seçenekler içindeki hangi değeri sağlayacağını bulmak amaçlanır.

2. EBOB ve EKOK İlişkisi

  • EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki sayının en büyük ortak bölenine denir.
  • EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki sayının en küçük ortak katına denir.
  • İki pozitif m ve n sayısı için geçerli temel bir özdeşlik vardır:
    \text{EBOB}(m, n) \cdot \text{EKOK}(m, n) = m \cdot n

Sorumuzda EBOB(m, n) · EKOK(m, n) = 54 şeklinde verildiğinden, bu kelebeğe benzer özdeşliği kullanarak m · n = 54 denklemini elde ederiz.

3. Adım Adım Çözüm

3.1. m · n = 54 Olduğunu Gösterme

Verilen koşuldan dolayı:

\text{EBOB}(m, n) \times \text{EKOK}(m, n) = 54 \Longrightarrow m \times n = 54

Böylece m ile n’in çarpımının 54 olması gerektiği kesinleşir.

3.2. 54’ün Doğal Çarpan Çiftlerini Belirleme

54’ün pozitif çarpan çiftleri şöyle sıralanabilir:

  1. (1, 54) → Toplam: 1 + 54 = 55
  2. (2, 27) → Toplam: 2 + 27 = 29
  3. (3, 18) → Toplam: 3 + 18 = 21
  4. (6, 9) → Toplam: 6 + 9 = 15

3.3. Çiftlerin Toplamlarını Karşılaştırma

Seçeneklerimiz şunlar:
A) 12
B) 16
C) 18
D) 21
E) 24

Yukarıdaki dört çarpan çiftinden yalnızca (3,18) ikilisinin toplamı 21’dir ve seçeneklerde 21 mevcuttur (D şıkkı). 15, 29, 55 gibi diğer toplamlar seçeneklerde yer almamaktadır. Bu nedenle m+n toplamı 21 olabilir.

4. Özet Tablo

Çarpan Çifti Çarpım (m▪n) Toplam (m+n) Seçenekte Var Mı?
(1, 54) 54 55 Hayır
(2, 27) 54 29 Hayır
(3, 18) 54 21 Evet (D)
(6, 9) 54 15 Hayır

Bu tablodan da görüleceği gibi, m + n = 21 bizim aradığımız şıkka uygundur.

5. Sonuç ve Kısa Değerlendirme

Yukarıdaki incelemeler doğrultusunda m + n = 21 en uygun seçenektir. Dolayısıyla doğru cevap 21 (D) şıkkıdır.

Bu tip sorularda EBOB ve EKOK arasındaki çarpım ilişkisi (m sayısı ile n sayısının çarpımına eşittir) sıkça kullanılır. Sonrasında bu çarpımın aldığı değere göre pozitif çarpanları bulunarak, istenen toplam veya fark gibi bilgileri hızlıca tespit edebilirsiniz.

@Zehra_Duman