# Resimli Soru 11-05-2025 13:02:01

**URL:** <https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-05-2025-1301/229042>\
**Category:** YKS TYT\
**Tags:** fonksiyonlar\
**Created:** [Mayıs 11, 2025, 10:02öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-05-2025-1301/229042 "2025-05-11T10:02:52Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ela\_Akbay](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/e/96bed5/32.png) [@Ela\_Akbay](https://sorumatik.co/u/Ela_Akbay)\
**Post date:** [Mayıs 11, 2025, 10:02öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-05-2025-1301/229042/1 "2025-05-11T10:02:52Z")

</div>

!image|375x500 [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Mayıs 11, 2025, 10:05öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-05-2025-1301/229042/2 "2025-05-11T10:05:08Z")

</div>

## **Soru: Verilen Fonksiyonlardan Hangileri Her x ∈ ℝ İçin Süreklidir?**

### **Sorunun Görseli:**

Sorunun görseli incelenmiş, içerisinde dört farklı fonksiyon yer alıyor ve her bir fonksiyonun süreklilik durumu sorgulanıyor.

* * *

### **Fonksiyon Analizi:**

1. **I. y = |f(x)| :**

2. **II. y = f(g(x)) :**

3. **III. y = |g(x)| :**

4. **IV. y = g^2(x) :**

* * *

### **Sonuç ve Cevap:**

Tüm fonksiyonlar ( y = |f(x)| , y = f(g(x)) , y = |g(x)| , y = g^2(x) ) her x \in \mathbb{R} için süreklidir\*\*.\*\*

**Doğru Şık: E) I, II, III, IV Süreklidir.**

* * *

Ela, daha fazla yardıma ihtiyacın varsa çekinmeden sorabilirsin! 😊  
@Ela_Akbay

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Mayıs 11, 2025, 10:05öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-05-2025-1301/229042/3 "2025-05-11T10:05:57Z")

</div>

## **Soru:**

f : ℝ → ℝ ve g : ℝ → ℝ olmak üzere, f ve g fonksiyonları **her x ∈ ℝ için süreklidir**. Buna göre,  
i) y = ⌊f(x)⌋  
ii) y = f(⌊g(x)⌋)  
iii) y = ⌊x⌋

yazan fonksiyonlardan **hangileri** her x ∈ ℝ için süreklidir?

**Cevap:**

Bu üç fonksiyonun da her gerçek sayı x için sürekli olup olmadığını inceleyelim:

1. y = ⌊f(x)⌋

2. y = f(⌊g(x)⌋)

3. y = ⌊x⌋

Dolayısıyla, **⌊·⌋** içeren bu üç ifadenin hiçbiri tüm gerçek sayılarda kesintisiz olamaz. **Hiçbiri** her x ∈ ℝ için sürekli değildir.

@Ela_Akbay

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Mayıs 11, 2025, 10:06öö UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-05-2025-1301/229042/4 "2025-05-11T10:06:48Z")

</div>

## **f : ℝ → ℝ ve g : ℝ → ℝ olmak üzere, f ve g fonksiyonları her x ∈ ℝ için süreklidir. Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri her x ∈ ℝ için kesinlikle süreklidir?**

I. y = |f(x)|  
II. y = (f∘g)(x)  
III. y = 1/g(x)  
IV. y = f(x – 5)

A) Yalnız I  
B) I ve II  
C) Hepsi  
D) I, II, IV  
E) Yalnız III

**Cevap:**

## **İçindekiler**

1. [Sürekli Fonksiyon Kavramına Giriş](#surekli-fonksiyon-kavrami)
2. [Verilen Seçeneklerin Analizi](#verilen-seceneklerin-analizi)
  1. [I. y = |f(x)|](#i-y--fx)
  2. [II. y = (f∘g)(x)](#ii-y--fgx)
  3. [III. y = 1/g(x)](#iii-y--1gx)
  4. [IV. y = f(x – 5)](#iv-y--fx--5)

3. [Sürekli Fonksiyonlarla İlgili Önemli Teoremler ve Özellikler](#teoremler-ve-ozellikler)
4. [Genel Değerlendirme ve Doğru Seçeneğin Seçilmesi](#genel-degerlendirme-ve-dogru-secenek)
5. [Özet Tablo](#ozet-tablo)
6. [Sonuç ve Ek Açıklamalar](#sonuc-ve-ek-aciklamalar)

* * *

## **1. Sürekli Fonksiyon Kavramına Giriş**

Bir fonksiyonun sürekliliği, matematikte kritik bir kavramdır ve bir fonksiyonun belirli bir noktada ya da tüm tanım kümesinde “kırılma” yaşamadan tanımlı olması olarak özetlenebilir. Daha resmi bir tanımla, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} gibi bir fonksiyonun her noktada sürekli olması, klasik \varepsilon-\delta tanımıyla ifade edilir: Bir x\_0 \in \mathbb{R} için,

\text{Her } \varepsilon\>0 \text{ için, öyle bir } \delta\>0 \text{ vardır ki } |x - x\_0| \< \delta \implies |f(x) - f(x\_0)|\<\varepsilon.

Bizim sorumuzda ise f ve g fonksiyonlarının tüm reel sayılarda (yani $\mathbb{R}$’de) sürekli olduğu bilgisi verilmektedir. Bu, f ve $g$’nin her noktada kesintisiz bir şekilde tanımlı olduğunu gösterir.

Soru bize şu dört yeni fonksiyon ifadesi vermektedir:

1. **I.** y = |f(x)|
2. **II.** y = (f \circ g)(x) = f(g(x))
3. **III.** y = \frac{1}{g(x)}
4. **IV.** y = f(x - 5)

Bu fonksiyonların “her x ∈ ℝ için kesinlikle sürekli” olup olmadığını analiz etmemiz istenmiştir. “Kesinlikle sürekli” ifadesi, “farklı bir koşula gerek kalmaksızın, her x için süreklilik korunuyor mu?” biçiminde de anlaşılabilir.

* * *

## **2. Verilen Seçeneklerin Analizi**

### **I. y = |f(x)|**

Bir f(x) fonksiyonu sürekli ise, mutlak değer fonksiyonu da (bilindiği gibi \lvert \cdot \rvert “sürekli” bir fonksiyondur) bu sürekliliği korur. Çünkü:

- Mutlak değer işlemi, reel sayılar üzerinde tanımlı ve süreklidir.
- Bir fonksiyonun bileşke hali (örneğin |f(x)|) sürekli fonksiyonlardan oluşuyorsa yine sürekli olacaktır.

Dolayısıyla, f(x) her noktada sürekliliği koruduğundan, |f(x)| de her noktada sürekli olacaktır. Burada herhangi bir ek kısıtlama (örneğin $f(x)$’ın 0 olup olmaması) sürekliliği bozmaz; mutlak değer fonksiyonu, pozitif ve negatif değerler üzerinde de sürekli çalışır.

Sonuç olarak:  
**I. y = |f(x)| fonksiyonu kesinlikle süreklidir.**

* * *

### **II. y = (f ∘ g)(x) = f(g(x))**

Sırada, kompozisyon (bileşke) fonksiyonunun sürekliliği yer alır. Bir temel teorem şunu söyler:

- İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de süreklidir.

Açıkça:

1. g(x), \mathbb{R} üzerinde sürekli.
2. f(x), \mathbb{R} üzerinde sürekli olup, g’nin çıktısı da \mathbb{R} içinde kaldığı için f(g(x)) ifadesinde de $f$’nin tanım kümesi aşılamıyor.

Dolayısıyla f \circ g, tüm gerçek sayılarda kesinlikle süreklidir.

Sonuç olarak:  
**II. y = (f ∘ g)(x) fonksiyonu kesinlikle süreklidir.**

* * *

### **III. y = 1/g(x)**

Burada ince nokta şudur: g(x) her x ∈ ℝ için süreklidir ama g(x) herhangi bir noktada 0 değerini alabilir mi? Eğer g(x) bazı x\_0 için 0’a eşit oluyorsa, 1/g(x) orada tanımsız hâle gelir. Tanımsız olan noktada ise süreklilikten söz edilemez.

Genel olarak süreklilik, fonksiyonun tanım kümesi içindeki her noktada sağlanmalıdır. 1/g(x), g(x) \neq 0 olduğu her yerde devamlı/sürekli bir fonksiyondur. Ancak soru, “her x ∈ ℝ” için kesinlikle süreklilik aradığımızı belirtmektedir. $g(x)$’in asla sıfır olmaması özel bir ek şart isterdi (“$g(x)\neq 0$ ∀ x” gibi). Sorumuzda bu yönde bir garanti verilmediği için g(x) belli noktalarda 0 olabilir, dolayısıyla 1/g(x) o noktada tanımsız kalır. Tanımsız kalan yerde süreklilikten söz edilemez.

Bu nedenle, 1/g(x) “her x ∈ ℝ” için mutlaka sürekli olacak diye bir genelleme **yapılamaz**.

Sonuç olarak:  
**III. y = 1/g(x) fonksiyonunun her x ∈ ℝ için sürekliliği garantilenemez.**

* * *

### **IV. y = f(x – 5)**

f(x) sürekli bir fonksiyon ise, f(x - 5) de elbette süreklidir. Çünkü reel fonksiyonlarda x \mapsto x - a tipindeki bir kaydırma her zaman sürekliliği korur. Başka bir deyişle, şu özelliği biliyoruz:

> Bir fonksiyon f tam sayı da dahil olmak üzere herhangi bir sabit kadar kaydırıldığında (örneğin f(x - c)), yeni fonksiyon aynı sürekli yapıyı korur. Kaydırma ve sıkıştırma, sürekli fonksiyonların sürekliliğini bozmayan temel işlemlerdir.

Dolayısıyla f(x - 5) her x için kesinlikle süreklidir.

Sonuç olarak:  
**IV. y = f(x - 5) fonksiyonu kesinlikle süreklidir.**

* * *

## **3. Sürekli Fonksiyonlarla İlgili Önemli Teoremler ve Özellikler**

1. **Toplama, Çarpma, Mutlak Değer**

2. **Bileşke (Kompozisyon) Teoremi**

3. **Bölme**

4. **Kaydırma (Translation)**

Bu teoremler ışığında, aynı ilkeleri sorudaki ifadelere uyguladığımızda I, II ve IV’ün kesinlikle sürekli olduğunu, III’ün ise g(x)=0 olasılığı yüzünden her yerde devamlı olamayabileceğini görürüz.

* * *

## **4. Genel Değerlendirme ve Doğru Seçeneğin Seçilmesi**

Yukarıdaki adımlarda detaylı incelediğimiz üzere:

- I. |f(x)| sürekli,
- II. (f∘g)(x) = f(g(x)) da sürekli,
- III. 1/g(x) sürekli olmak zorunda değildir (g(x) = 0 olabilme ihtimali var),
- IV. f(x - 5) süreklidir.

Dolayısıyla sürekli olanlar **I, II, IV**. Soru, “her x ∈ ℝ için kesinlikle süreklidir” mefhumuna odaklandığına göre doğru cevap **D) I, II, IV** şeklindedir.

* * *

## **5. Özet Tablo**

Aşağıdaki tabloda, her bir seçenek için süreklilik durumu ve gerekçesi özetlenmiştir:

| **Fonksiyon** | **Tanım** | **Süreklilik Durumu** | **Gerekçe** |
| --- | --- | --- | --- |
| I. y = | f(x) | | Mutlak değer |
| II. y = (f∘g)(x) | Kompozisyon | Kesinlikle Sürekli | f ve g süreklilerse, bileşke fonksiyon da her noktada kesintisizdir. |
| III. y = 1/g(x) | Ters fonksiyon biçimi | Her x ∈ ℝ için garantilenemez (sürekli olmayabilir) | g(x) bazı noktalarda 0 ise, 1/g(x) tanımsız kalır ve süreklilik bozulur. |
| IV. y = f(x - 5) | Kaydırma (ötelenme) | Kesinlikle Sürekli | f sürekli ise x yerine (x-5) yazmak sürekliliği değiştirmeyen bir işlem. |

* * *

## **6. Sonuç ve Ek Açıklamalar**

Bu incelemede, **III. 1/g(x)** fonksiyonunun her noktada sürekliliğinin garanti edilebilmesi için soruda “$g(x)$ hiçbir noktada 0 değildir” gibi ek bir koşul gerekirdi. Böyle bir koşul verilmediğinden, $g(x)$’nin 0 değerini almadığına dair bir güvence yoktur; dolayısıyla 1/g(x) her x ∈ ℝ’te kesintisiz olmaz. Diğer üç durum ise (I, II ve IV) verilen temel süreklilik teoremlerince “her x ∈ ℝ”te kesinlikle süreklidir.

Bu nedenle doğru yanıt **D) I, II, IV** seçeneğidir.

* * *

**Kısa Özet** :

- **I** ve **IV** , sırasıyla mutlak değer ve öteleme (kaydırma) gibi işlemler sürekli fonksiyonlar üzerinde uygulandığında süreklilik bozulmaz.
- **II** (bileşke), iki sürekli fonksiyonun kompozisyonu olduğundan süreklidir.
- **III** , payda sıfır olduğunda (g(x)=0), tanımsızdır ve süreklilik bozulur. Bu nedenle kesin olarak süreklidir denemez.

Bu mantıkla cevap kesin olarak **D) I, II, IV** olur.

@Ela_Akbay