# Resimli Soru 11-02-2026 15:53:58

**URL:** <https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1558/622522>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Şubat 11, 2026, 12:54ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1558/622522 "2026-02-11T12:54:10Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Vedat4](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/vedat4/32/84099_2.png) [@Vedat4](https://sorumatik.co/u/Vedat4)\
**Post date:** [Şubat 11, 2026, 12:54ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1558/622522/1 "2026-02-11T12:54:10Z")

</div>

![IMG_20260211_153646](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/5/3/5359ccdb67abf4d8c397b570ef5de3890b4094d8.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Şubat 11, 2026, 12:54ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1558/622522/2 "2026-02-11T12:54:27Z")

</div>

## 16^12 + 46^52 ifadesinin 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

### Önemli Noktalar

- Modüler aritmetikte (kalan problemi) büyük üslerde sayılar doğrudan hesaplanmaz, üsler mod döngüleri hesaplanarak işlem yapılır.
- 9’a bölmede kalan bulmak için sayıyı 9’a göre modulo alırız.
- Euler teoremi veya benzeri kalıplar kullanılarak üsler küçültülür.
- 16 mod 9 ve 46 mod 9 değerleri hesaplanarak işlem kolaylaşır.

**16^12 + 46^52 ifadesinin 9 ile bölümünden kalan** hesaplamak için:

* * *

### İçindekiler

1. [Adım Adım Mod 9 Hesaplama](#mod9-hesaplama)
2. [Üslerin Mod Döngüsü](#uslerin-mod-dongusu)
3. [Sonuç ve Kalanın Belirlenmesi](#sonuc-kalan)
4. [Özet Tablo](#ozet-tablosu)
5. [Sık Sorulan Sorular](#sss)

* * *

## 1. Adım: Mod 9’a Göre Sayıların Basitleştirilmesi

Önce taban sayılar mod 9’da karşılığına bakılır:

- 16 mod 9:  
16 ÷ 9 = 1 kalan 7 → **16 ≡ 7 (mod 9)**

- 46 mod 9:  
46 ÷ 9 = 5 kalan 1 → **46 ≡ 1 (mod 9)**

Buna göre:

16^{12} + 46^{52} \equiv 7^{12} + 1^{52} \pmod{9}

* * *

## 2. Adım: Üslerin Mod 9 Döngüsü

### 7’nin mod 9 üzerindeki döngüsü:

7¹ ≡ 7 mod 9  
7² = 49 ≡ 4 mod 9 (çünkü 49 ÷ 9 = 5 kalan 4)  
7³ = 7² × 7 = 4 × 7 = 28 ≡ 1 mod 9 (28 ÷ 9 = 3 kalan 1)  
7⁴ = 7³ × 7 = 1 × 7 = 7 mod 9

Görüldüğü üzere, 7’nin mod 9 üzerindeki kuvvetleri **3’lü döngü** oluşturuyor:  
Döngü = {7, 4, 1}

12 mod 3 = 0 (çünkü 3 x 4 = 12)

Bu durumda,  
**7¹² ≡ döngünün 3. elemanı ≡ 1 mod 9**

### 1’nin herhangi bir kuvveti 1’dir:

**1⁵² ≡ 1 mod 9**

* * *

## 3. Adım: Sonucun Mod 9 Kalanını Hesaplama

7^{12} + 1^{52} ≡ 1 + 1 \equiv 2 \pmod{9}

Yani, ifadenin 9 ile bölümünden kalan **2** ’dir.

* * *

## Özet Tablo

| Adım | İşlem | Sonuç (mod 9) |
| --- | --- | --- |
| 16 mod 9 | 16 → 7 | 7 |
| 46 mod 9 | 46 → 1 | 1 |
| 7’nin döngüsü | 7,4,1 (3’lü) | 7¹² ≡ 1 |
| 1’nin kuvveti | 1⁵² ≡ 1 | 1 |
| Toplam | 7¹² + 1⁵² | 1 + 1 = 2 |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden 7’nin mod 9 döngüsünü hesapladık?**  
Büyük üslerde doğrudan hesaplama zor olduğu için modüler döngüler kullanılır. Bir sayının moduna göre üslerinin bazı tekrar eden döngüleri vardır ve bu döngüyü bulup üssü mod döngü uzunluğuna indirgeriz.

**2. 1’in herhangi bir kuvveti neden 1 mod 9’dur?**  
1’in herhangi bir gücü her zaman 1’dir, çünkü 1 çarpma işleminde etkisiz elemandır.

**3. Bu yöntemi başka modüler tabanlar için de kullanabilir miyiz?**  
Evet. Modüler aritmetik ile büyük sayıların kalanlarını farklı tabanlarda hesaplamak için döngüler bulunur ve Euler teoremi gibi araçlar kullanılır.

* * *

## Sonuç: Sorunun doğru cevabı **C) 2** şıkkıdır.

* * *

Başka hangi modüler aritmetik problemlerini adım adım çözmemi ister misiniz?  
@Vedat4

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Şubat 11, 2026, 12:54ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1558/622522/3 "2026-02-11T12:54:34Z")

</div>

## **16^12 + 46^52 toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?**

- **Modüler Aritmetik** ile büyük üsler, küçük tabana indirgenerek hesaplanır.
- 9 için Euler Φ-fonksiyonu değeri **ϕ(9)=6** olduğundan, a ile 9 aralarında asalsa a^6\equiv1\pmod9.
- Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

16≡7 (mod 9) ve 46≡1 (mod 9). Euler Teoremi’ne göre

16^6\equiv1\pmod9,\qquad 46^6\equiv1\pmod9.

Buna göre

16^{12}=(16^6)^2\equiv1^2=1\pmod9,

46^{52}=46^{6\cdot8+4}=(46^6)^8\cdot46^4\equiv1^8\cdot1^4=1\pmod9.

Toplam 1+1=2\pmod9 olur.  
Cevap: **2 (C şıkkı)**

**İçindekiler**

1. [Modüler Aritmetik ve Euler Teoremi Kavramları](#resimli-soru-11-02-2026-modular-concepts)
2. [Çözüm Adımları](#resimli-soru-11-02-2026-solution-steps)
3. [Yaklaşımların Karşılaştırılması](#resimli-soru-11-02-2026-comparison)
4. [Özet Tablosu](#resimli-soru-11-02-2026-summary-table)
5. [SSS](#resimli-soru-11-02-2026-faq)

## Modüler Aritmetik ve Euler Teoremi Kavramları

Modüler aritmetikte a\equiv b\pmod n demek, n\mid(a-b) demektir.

- **Euler Teoremi:** (a,n)=1 ise $$a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n.$$
- 9 için \varphi(9)=9\bigl(1-\tfrac13\bigr)=6.
- Rakamlar toplamı yöntemi: Bir sayı mod 9, rakamlar toplamı mod 9’a eşittir.

## Çözüm Adımları

1. 16 mod 9: 16=9+7\implies16\equiv7\pmod9.
2. 46 mod 9: 46=5\cdot9+1\implies46\equiv1\pmod9.
3. Euler Teoremi uygulaması:
  - 16^{12}=(16^6)^2\equiv1^2=1\pmod9.
  - 46^{52}=46^{6\cdot8+4}=(46^6)^8\cdot46^4\equiv1^8\cdot1^4=1\pmod9.

4. Toplam: 1+1=2\pmod9 → **Kalan 2**.

## Yaklaşımların Karşılaştırılması

| Yaklaşım | Temel Fikir | Avantajlar | Dezavantajlar |
| --- | --- | --- | --- |
| Euler Teoremi | a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n | Genel, büyük üsleri hızla indirger | Aralarında asallık şartı |
| Rakamlar Toplamı Yöntemi | Sayı ≡ rakamlar toplamı (mod 9) | Hızlı, zihinden pratik | Çok basamaklı rakamlarda toplama yükü |

## Özet Tablosu

| İfade | Mod 9 Değeri | Açıklama |
| --- | --- | --- |
| 16 | 7 | 16=9+7 |
| 46 | 1 | 46=5\cdot9+1 |
| 16^{12} | 1 | (7^6)^2\equiv1^2 |
| 46^{52} | 1 | (1^6)^8\cdot1^4\equiv1 |
| Toplam | 2 | 1+1\equiv2 |

## SSS

S1: Euler Φ-fonksiyonu nedir?  
C1: \varphi(n), 1’den n’e kadar aralarında asal sayıların sayısını verir.

S2: Mod 9’da üs alırken nelere dikkat edilmeli?  
C2: Önce tabanı 9’a göre indir (mod 9), sonra döngü uzunluğunu (6) kullanarak büyük üsleri küçült.

S3: Rakamlar toplamı yöntemi her zaman geçerli mi?  
C3: Evet, mod 9 için daima geçerli; mod 3 için de geçerlidir.

S4: Aralarında asallık şartı niçin önemli?  
C4: Euler Teoremi’nin ön koşuludur; şart sağlanmazsa a^{\varphi(n)}\not\equiv1 olabilir.

Bu yöntemi başka bir modüler aritmetik problemine uygulamak ister misiniz?  
@Vedat4