# Resimli Soru 11-02-2026 15:55:28

**URL:** <https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1528/622524>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Şubat 11, 2026, 12:55ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1528/622524 "2026-02-11T12:55:42Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Vedat4](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/vedat4/32/84099_2.png) [@Vedat4](https://sorumatik.co/u/Vedat4)\
**Post date:** [Şubat 11, 2026, 12:55ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1528/622524/1 "2026-02-11T12:55:42Z")

</div>

![IMG_20260211_153650](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/6/3/63f957d7398c69fa06e854458a9ae48f44312b40.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Şubat 11, 2026, 12:56ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1528/622524/2 "2026-02-11T12:56:00Z")

</div>

## Soru: 4^(54a+1) ≡ k (mod 7) olduğuna göre, k kaçtır?

### Önemli Noktalar

- Modüler aritmetikte üstel ifadeler, **periyodik döngüler** sergiler.
- **4^3 ≡ 1 (mod 7)** olduğu için üsler 3’e göre indirgenebilir.
- Soruda verilen ifade **4^(54a + 1) (mod 7)** olarak verilmektedir.
- Amaç, bu ifadeye eşit olan k’nın değerini bulmaktır.

### İçindekiler

1. [Modüler Üs Alma ve Periyot](#moduler-us-alma-periyot)
2. [Sorunun Çözümü](#soru-cozumu)
3. [Karşılaştırma Tablosu: Modüler Aritmetik Temel Kavramlar](#moduler-aritmetik-karsilastirma)
4. [Özet Tablo](#soru-ozet)
5. [Sık Sorulan Sorular](#soru-sss)

* * *

## 1. Modüler Üs Alma ve Periyot

Modüler aritmetikte, bir tabanın üsleri belirli bir periyotla tekrar eder. Bu yüzden karmaşık üsler, bu periyot kullanılarak basitleştirilebilir.

**Önemli:**

4^1 \equiv 4 \pmod{7}

4^2 \equiv 2 \pmod{7}

4^3 \equiv 1 \pmod{7}

Bu durumda **periyot 3’tür** , yani üs 3’e göre mod alınabilir.

> 💡 **Pro Tip:** Eğer a^m \equiv 1 \pmod{n} ise, a^{m + r} \equiv a^r \pmod{n} olur.

* * *

## 2. Sorunun Çözümü

Verilen ifade:

4^{54a + 1} \equiv k \pmod{7}

Periyot 3 olduğuna göre, üs olan 54a + 1 ifadesini 3’e göre mod alalım:

- 54a \mod 3 = 0, çünkü 54 sayısı 3’ün katıdır.
- Dolayısıyla:

(54a + 1) \mod 3 = (0 + 1) = 1

Bu durumda:

4^{54a + 1} \equiv 4^{1} \equiv 4 \pmod{7}

**Sonuç:**

k = 4

* * *

## 3. Karşılaştırma Tablosu: Modüler Aritmetik Temel Kavramlar

| Kavram | Açıklama | Örnek |
| --- | --- | --- |
| **Modüler Üs Alma** | Sayının üslerinin mod altında hesaplanması | 4^{10} \mod 7 |
| **Periyot (Döngü Uzunluğu)** | Üslerin tekrar ettiği döngü uzunluğu | 4^3 \equiv 1 \mod 7 |
| **Üs İndirgeme** | Üs devamlı mod periyodu alınarak küçültülür | 4^{10} = 4^{(3\*3)+1} = (4^3)^3 \* 4^1 |

* * *

## 4. Özet Tablo

| Element | Detay |
| --- | --- |
| **Taban** | 4 |
| **Mod** | 7 |
| **Verilen üs** | 54a + 1 |
| **Modüler periyot** | 3 (çünkü 4^3 \equiv 1 \mod 7) |
| **Üsün modu 3’e göre** | 1 |
| **Sonuç (k)** | 4 |

* * *

## 5. Sık Sorulan Sorular

**1. Neden üsler mod edilen sayıya göre indirgenir?**  
Çünkü modüler üslere sahip bir sayı, belirli bir periyotta tekrar eder. Üs indirilerek hesaplama kolaylaşır.

**2. Periyot nasıl bulunur?**  
Tabanın mod ile üsleri hesaplanır, sonuçta 1’e eşit olduğu ilk üs periyot olur.

**3. Periyodun önemi nedir?**  
Uzun üslerin hesaplanmasında işlem yükünü azaltarak hızlı sonuç alınmasını sağlar.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu tarz modüler üs alma problemlerini daha hızlı çözmek için istersen, **Fermat Küçük Teoremi** ve genelleştirilmiş modüler üs alma yöntemlerini öğrenebiliriz. İlgilenir misin?

@Vedat4

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Şubat 11, 2026, 12:56ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1528/622524/3 "2026-02-11T12:56:56Z")

</div>

## **Soru**

a pozitif bir tam sayıdır. 4^{\,a-1}\equiv k\pmod{7} olduğuna göre, k kaçtır?

### Önemli Noktalar

- **Fermat’ın Küçük Teoremi:** Asal p için a^{p-1}\equiv1\pmod p (gcd$(a,p)=1$).
- **Mod 7 için \varphi(7)=6** ve bu sayede üsler 6 moduna göre indirgenir.
- **4^3\equiv1\pmod7** olduğundan, $4$’ün modu 7 üzerindeki düzeni 3 tür.

**Çözüm Özeti:** Fermat’tan 4^6\equiv1\pmod7, ama daha güçlü olarak 4^3\equiv1\pmod7 olduğu için

4^{\,a-1}\equiv4^{(a-1)\bmod3}\pmod7,

{(a-1)\bmod3} değerine göre

- (a-1)\equiv0\pmod3\implies k=1,
- (a-1)\equiv1\pmod3\implies k=4,
- (a-1)\equiv2\pmod3\implies k=2.

### İçindekiler

1. [Çözüm Adımları](#resimli-soru-cozum-adimlari)
2. [Özet Tablosu](#resimli-soru-summary-table)
3. [SSS](#resimli-soru-faq)

## Çözüm Adımları

1. gcd$(4,7)=1$ olduğundan Fermat’ın Küçük Teoremi’ni uygulayabiliriz:
4^6\equiv1\pmod7.
2. 6 yerine düzeni bulmak için daha küçük bir üs arayalım. Deneyerek:
4^1\equiv4,\quad4^2\equiv2,\quad4^3\equiv8\equiv1\pmod7.
Yani \mathrm{ord}\_7(4)=3.
3. O hâlde üssü mod 3’e indirgeyerek genelleştirebiliriz:
4^{\,a-1}\equiv4^{(a-1)\bmod3}\pmod7.
4. Sonuç olarak
  - (a-1)\bmod3=0\implies k=4^0\equiv1,
  - (a-1)\bmod3=1\implies k=4^1\equiv4,
  - (a-1)\bmod3=2\implies k=4^2\equiv2.

## Özet Tablosu

| (a-1)\bmod3 | 4^{(a-1)\bmod3}\pmod7 | k değeri |
| --- | --- | --- |
| 0 | 4^0\equiv1 | 1 |
| 1 | 4^1\equiv4 | 4 |
| 2 | 4^2\equiv2 | 2 |

## SSS

S1. Fermat’ın Küçük Teoremi nedir?  
C1. Asal p için gcd$(a,p)=1$ ise a^{p-1}\equiv1\pmod p.

S2. Bir sayının mod üzerindeki düzeni (order) ne demektir?  
C2. a^d\equiv1\pmod p olacak en küçük pozitif d değeridir.

S3. Neden üssü önce \varphi(7)=6 sonra da 3 ile indirgedik?  
C3. \varphi(7) genel bir sınır verir; deneyerek daha küçük düzen 3 bulunduğundan daha pratik olandan faydalandık.

S4. 4^{a-1}\equiv k ifadesini doğrudan nasıl okuruz?  
C4. “$4$ üzeri (a-1) sayısının 7 ile bölümünden kalan $k$’dır.”

Bu konuya dair ek örnek sorular ve düzen hesaplamalarıyla pratik yapmak ister misiniz?  
@Vedat4