# Resimli Soru 11-02-2026 15:48:17

**URL:** <https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1517/622516>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Şubat 11, 2026, 12:48ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1517/622516 "2026-02-11T12:48:29Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Vedat4](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/vedat4/32/84099_2.png) [@Vedat4](https://sorumatik.co/u/Vedat4)\
**Post date:** [Şubat 11, 2026, 12:48ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1517/622516/1 "2026-02-11T12:48:29Z")

</div>

![IMG_20260211_153610](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/1/8/1857ca5af4e7190487710b275ba68e4eb3b5a1d8.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Şubat 11, 2026, 12:48ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1517/622516/2 "2026-02-11T12:48:48Z")

</div>

## Modüler Aritmetikte Kalan Bulma Soruları Çözümü

### Önemli Noktalar

- Modüler aritmetikte bir sayının bir modüle göre kalanı, sayının mod işleminden sonra kalanıdır.
- Büyük üsleri hesaplamak yerine modüler özellikler kullanılır; üstel ifadeler mod indirgeme kurallarıyla sadeleştirilir.
- Fermat’ın Küçük Teoremi ve Euler Teoremi gibi kurallar karmaşık modüler hesaplamalarda işe yarar.

Yukarıdaki sorularda, üstel ifadenin mod alınması isteniyor. Bu tür sorularda öncelikle tabanın mod 7 ya da mod 9 değerine göre kalanı bulunur, sonra üs mod sayı sisteminin döngüsüne göre küçültülür.

### İçindekiler

1. [Soru 1: 9^{20} sayısının 7 ile bölümünden kalan](#modular-pow-7)
2. [Soru 2: (1905)^{2007} sayısının 9 ile bölümünden kalan](#modular-pow-9)
3. [Özet Tablo](#modular-summary)
4. [Sık Sorulan Sorular](#modular-faq)

* * *

## 1. 9^{20} sayısının 7 ile bölümünden kalan nedir?

İlk olarak 9 mod 7 bulunur:

9 \equiv 2 \pmod{7}

Yani 9^{20} \equiv 2^{20} \pmod{7}.

Şimdi 2^{20} mod 7 hesaplanmalıdır. Döngü uzunluğu için üslerin modunun periyodunu bulalım:

2^1 = 2 \pmod{7} \\ 2^2 = 4 \pmod{7} \\ 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}

Buradan 2^3 \equiv 1 \pmod{7} olduğu görülür. Döngü uzunluğu 3’tür. Bu durumda:

20 \equiv 2 \pmod{3} \quad \text{çünkü } 20 = 3 \times 6 + 2

Buna göre:

2^{20} \equiv 2^{2} = 4 \pmod{7}

**Cevap: 4 (D şıkkı)**

* * *

## 2. (1905)^{2007} sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Önce 1905 \mod 9 hesaplanır:

- 1 + 9 + 0 + 5 = 15
- 15 mod 9 = 6

Yani:

1905 \equiv 6 \pmod{9}

Buna göre:

(1905)^{2007} \equiv 6^{2007} \pmod{9}

Şimdi 6^{2007} mod 9 hesaplanmalıdır. Döngüyü bulalım:

6^1 = 6 \pmod{9} \\ 6^2 = 36 \equiv 0 \pmod{9}

Burada 6^2 \equiv 0 \pmod{9} olduğuna göre,  
herhangi bir 2’den büyük üs, mod 9’da 0 olur:

6^{n} \equiv 0 \pmod{9}, \quad \text{n} \geq 2

2007 \> 2 olduğundan:

6^{2007} \equiv 0 \pmod{9}

**Cevap: 0 (A şıkkı)**

* * *

## Özet Tablo

| Soru | İşlem | Mod Sonucu | Kalan |
| --- | --- | --- | --- |
| 9^{20} \div 7 | 9 \equiv 2 \pmod{7}, döngü 3 | 2^{20} \equiv 4 | 4 |
| (1905)^{2007} \div 9 | 1905 \equiv 6 \pmod{9}, 6^2 \equiv 0 | 6^{2007} \equiv 0 | 0 |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Modüler aritmetikte üs nasıl küçültülür?**  
Üsler, mod tabanına göre döngü (periyot) bulunarak modül alınır. Örneğin mod 7’de 2’nin üsleri 3 döngü yapıyorsa, üstü 3’e göre mod almak sonucu basitleştirir.

**2. Bu sorularda neden döngü uzunluğu bulunur?**  
Döngü uzunluğu, üslerin modül üzerinde tekrar ettiği periyottur. Bu periyot sayesinde büyük üsler yönetilebilir hale gelir.

**3. Fermat ve Euler teoremleri modüler hesaplamalar için neden önemlidir?**  
Bu teoremler, asal modlarda veya genel modlarda üslerin küçültülmesini garanti eder ve hesaplama kolaylığı sağlar.

**4. Kalan 0 ise ne anlama gelir?**  
Bir sayının mod ile bölümünden kalan 0 ise, sayı o modun tam katıdır. Örneğin 6² mod 9 = 0 olduğunda, 6² sayısı 9’un tam katıdır.

* * *

## Sonraki Adımlar

Üslerin mod döngülerini bulma ve Euler Teoremi ile problem çözme tekniklerini detaylı mı öğrenmek istersiniz?

* * *

@Vedat4

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Şubat 11, 2026, 12:48ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-11-02-2026-1517/622516/3 "2026-02-11T12:48:54Z")

</div>

## **9^20 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?**

Önemli Noktalar

- **9 mod 7 = 2** , dolayısıyla 9^{20}\equiv2^{20}\pmod7.
- 2^3\equiv1\pmod7 olduğundan döngü uzunluğu **3** ’tür.
- 2^{20}=2^{3\cdot6+2}\equiv(2^3)^6\cdot2^2\equiv1^6\cdot4\equiv4\pmod7\,.

Sonuç: **9^{20} sayısının 7 ile bölümünden kalan 4’tür.**

## İçindekiler

1. [9^20 mod 7 hesabı](#9power20-mod7)
2. [1905^2007 mod 9 hesabı](#1905power2007-mod9)
3. [Karşılaştırma Tablosu](#comparison-9-1905)
4. [Özet Tablosu](#9power20-mod7-summary)
5. [SSS](#9power20-mod7-faq)

## 1. 9^20 mod 7 hesabı

1. **9 ≡ 2 (mod 7)** ⇒ 9^{20}\equiv2^{20}\pmod7.
2. Döngüyü bulmak için 2^k\pmod7 bakalım:
  - 2^1\equiv2
  - 2^2\equiv4
  - 2^3\equiv8\equiv1  
→ Döngü uzunluğu 3.

3. 20=3\cdot6+2 olduğundan
2^{20}=2^{3\cdot6+2}=(2^3)^6\cdot2^2\equiv1^6\cdot4=4\pmod7.

## 2. 1905^2007 mod 9 hesabı

1. **1905** ’in rakamları toplamı 1+9+0+5=15 ⇒ 1905\equiv15\equiv6\pmod9.
2. 6^1\equiv6\pmod9, 6^2\equiv36\equiv0\pmod9 ⇒ n\ge2 için 6^n\equiv0.
3. 2007\ge2 olduğundan
1905^{2007}\equiv6^{2007}\equiv0\pmod9.

## 3. Karşılaştırma Tablosu

| Özellik | 9^{20}\bmod7 | 1905^{2007}\bmod9 |
| --- | --- | --- |
| Temel modüler eşitlik | 9\equiv2\pmod7 | 1905\equiv6\pmod9 |
| Döngü uzunluğu | $2^3\equiv1\pmod7,$→3 | $6^2\equiv0\pmod9,$→2 |
| Kuvvetin bölünebilirlik durumu | 20=3\cdot6+2 | 2007\ge2 |
| Sonuç kalanı | 4 | 0 |

## 4. Özet Tablosu

| Soru | Kalan |
| --- | --- |
| 9^{20}\bmod7 | 4 |
| 1905^{2007}\bmod9 | 0 |

## 5. SSS

S1. Modüler döngü (period) nasıl bulunur?  
C1. $a^k\pmod m$’yi art arda hesaplayıp ilk 1 veya başlangıca döndüğü k değeri döngü uzunluğudur.

S2. Neden 2^3\equiv1\pmod7 sonucunu kullanabiliyoruz?  
C2. Her tam sayının mod $m$’de bir periyodu vardır; bu periyot sayesinde yüksek kuvvetler küçük kalanlara indirgenir.

S3. Bir sayının mod 9’da kalanı neden rakamlar toplamına eşittir?  
C3. 10\equiv1\pmod9 olduğu için 10^k\equiv1^k=1, yani her basamağın katkısı doğrudan rakamlar toplamına dönüşür.

Başka modüler aritmetik sorusu çözmek ister misin? @Vedat4