# Resimli Soru 01-10-2025 01:33:18 **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Tags:** polinomlar\ **Created:** [Eylül 30, 2025, 10:33ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-01-10-2025-0118/497192 "2025-09-30T22:33:56Z")\ **Posts on this page:** 2\ **Page:** 1
**Author:** ![Sinem07](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/s/e480ec/32.png) [@Sinem07](https://sorumatik.co/u/Sinem07)\ **Post date:** [Eylül 30, 2025, 10:33ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-01-10-2025-0118/497192/1 "2025-09-30T22:33:56Z")
!IMG\_1392|690x265 [Link Silindi] ---
**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\ **Post date:** [Eylül 30, 2025, 10:34ös UTC](https://sorumatik.co/t/resimli-soru-01-10-2025-0118/497192/2 "2025-09-30T22:34:29Z")
## **Soru:** p(x), baş katsayısı 1 olan 5. dereceden bir polinom ve p(1) = 11, \quad p(2) = 47, \quad p(3) = 11, \quad p(4) = -79, \quad p(5) = 11 veriliyor. Buna göre p(0) kaçtır? * * * ## **Çözüm:** İlk olarak, polinomun derecesi 5 ve baş katsayısı 1 olduğuna göre genel formda: p(x) = x^5 + a\_4 x^4 + a\_3 x^3 + a\_2 x^2 + a\_1 x + a\_0 olarak yazabiliriz. Ancak doğrudan katsayıları bulmaya çalışmak yerine, verilen p(x) değerlerinden yararlanarak daha pratik bir yol izleyebiliriz. * * * ### 1. Polinomdan yardımcı bir polinom tanımlayalım. Verilenleri inceleyelim. p(1) = 11, p(3) = 11, p(5) = 11 şeklinde aynı değerler var. Bu, x=1,3,5 noktalarında p(x) - 11 = 0 demektir. Yani, q(x) = p(x) - 11 polinomunun kökleri 1, 3 ve 5. Bu durumda, q(1) = q(3) = q(5) = 0 dir. Bu yüzden q(x) polinomu, (x-1), (x-3) ve (x-5) polinomlarının çarpanı olmalı: q(x) = (x-1)(x-3)(x-5) \cdot h(x) şeklinde yazılabilir. Burada h(x) ne olabilir? p(x) 5. derece olduğuna göre: - (x-1)(x-3)(x-5) 3. dereceli - p(x) 5. dereceli Bunun için h(x) 2. dereceli polinom olmalı. Yani: q(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(A x^2 + B x + C) Burada A, B, C katsayılarını bulacağız. * * * ### 2. Baş katsayı kontrolü p(x) = q(x) + 11 Baş katsayı p(x) için 1. Baş katsayısına bakalım: - (x-1)(x-3)(x-5)'in önündeki katsayı 1 (çünkü çarpımları hesaplarsak ortada katsayılar var ama genellikle sağlanır) - h(x)'in derecesi 2, baş katsayısı A Dolayısıyla, baş katsayı toplamda: 1 \cdot A = \text{baş katsayı} = 1 \implies A=1 * * * ### 3. Q(x) polinomunu açalım Öncelikle: (x-1)(x-3)(x-5) = [(x-1)(x-3)] (x-5) Hesaplayalım: - (x-1)(x-3) = x^2 -4x +3 Sonra: (x^2 -4x +3)(x-5) = x^3 - 5x^2 -4x^2 +20x + 3x - 15 = x^3 -9x^2 +23x -15 Yani, (x-1)(x-3)(x-5) = x^3 - 9x^2 + 23 x - 15 * * * ### 4. q(x) = (x^3 - 9x^2 + 23 x - 15)(x^2 + B x + C) Çünkü A=1 olarak bulundu. Şimdi bunu açalım. q(x) = (x^3 - 9 x^2 + 23 x - 15)(x^2 + B x + C) Açılım: = x^3 \cdot x^2 + x^3 \cdot B x + x^3 \cdot C - 9 x^2 \cdot x^2 - 9 x^2 \cdot B x -9 x^2 \cdot C + 23 x \cdot x^2 + 23 x \cdot B x + 23 x \cdot C - 15 \cdot x^2 - 15 \cdot B x - 15 \cdot C Sadeleştirilmiş: = x^5 + B x^{4} + C x^{3} - 9 x^{4} - 9 B x^{3} - 9 C x^{2} + 23 x^{3} + 23 B x^{2} + 23 C x - 15 x^{2} - 15 B x - 15 C Şimdi derecelere göre terimleri toplayalım: - Derece 5: x^5 - Derece 4: (B - 9) x^{4} - Derece 3: (C - 9 B + 23) x^{3} - Derece 2: (-9 C + 23 B - 15) x^{2} - Derece 1: (23 C - 15 B) x - Derece 0: -15 C * * * ### 5. Verilen diğer değerlerle B, C bulunması Hatırlayalım: q(x) = p(x) - 11 İşte burada geldik önemli kısma. p(2) = 47 olduğundan, q(2) = p(2) - 11 = 47 - 11 = 36 Benzer şekilde p(4) = -79 olduğundan, q(4) = p(4) - 11 = -79 - 11 = -90 Bu iki değerden B, C için iki denkleme sahibiz. * * * ### 6. q(2) ve q(4) ifadeleri: Öncelikle q(x) genel halini: q(x) = x^{5} + (B - 9) x^{4} + (C - 9B + 23) x^{3} + (-9C + 23 B - 15) x^{2} + (23 C - 15 B) x - 15 C İlk olarak x=2 için: q(2) = 2^5 + (B - 9) 2^{4} + (C - 9 B + 23) 2^{3} + (-9 C + 23 B - 15) 2^{2} + (23 C - 15 B) 2 - 15 C Hesaplayalım: - 2^5 = 32 - 2^4 = 16 - 2^3 = 8 - 2^2 = 4 Yerine yazalım: q(2) = 32 + (B - 9) \cdot 16 + (C - 9 B + 23) \cdot 8 + (-9 C + 23 B -15) \cdot 4 + (23 C - 15 B) \cdot 2 - 15 C Bunu açalım: 32 + 16 B - 144 + 8 C - 72 B + 184 -36 C + 92 B - 60 + 46 C - 30 B - 15 C Şimdi terimleri toplayalım: - Sayısal terimler: 32 - 144 + 184 - 60 = 32 - 144 = -112 + 184 = 72 - 60 = 12 - B terimleri: 16 B - 72 B + 92 B - 30 B = (16 -72 +92 -30) B = (16 -72 = -56 + 92 = 36 -30) = 6 B - C terimleri: 8 C - 36 C + 46 C - 15 C = (8 -36 + 46 -15) C = (8 -36 = -28 + 46 = 18 -15) = 3 C Sonuç: q(2) = 12 + 6 B + 3 C Bilinen: q(2) = 36 olduğundan, 12 + 6 B + 3 C = 36 Sadeleştirirsek, 6 B + 3 C = 24 \implies 2 B + C = 8 \quad (1) * * * ### 7. q(4) için benzer işlem: x=4 için: q(4) = 4^5 + (B - 9) 4^4 + (C - 9 B + 23) 4^3 + (-9 C + 23 B -15) 4^2 + (23 C - 15 B) 4 - 15 C Hesaplayalım: - 4^5 = 1024 - 4^4 = 256 - 4^3 = 64 - 4^2 = 16 Yani, q(4) = 1024 + (B - 9) \cdot 256 + (C - 9 B + 23) \cdot 64 + (-9 C + 23 B - 15) \cdot 16 + (23 C - 15 B) \cdot 4 - 15 C Açalım: 1024 + 256 B - 2304 + 64 C - 576 B + 1472 - 144 C + 368 B - 240 + 92 C - 60 B - 15 C Şimdi terimleri toplayalım: - Sayısal terimler: 1024 - 2304 + 1472 - 240 = (1024 - 2304 = -1280 + 1472 = 192 - 240) = -48 - B terimleri: 256 B - 576 B + 368 B - 60 B = (256 - 576 = -320 + 368 = 48 - 60) = -12 B - C terimleri: 64 C - 144 C + 92 C - 15 C = (64 - 144 = -80 + 92 = 12 - 15) = -3 C Buna göre, q(4) = -48 - 12 B - 3 C Verilen: q(4) = -90 olduğundan, -48 - 12 B - 3 C = -90 Sadeleştirirsek, -12 B - 3 C = -42 \implies 12 B + 3 C = 42 \implies 4 B + C = 14 \quad (2) * * * ### 8. (1) ve (2) denklemlerini çözelim Denklemler: \begin{cases} 2 B + C = 8 \\ 4 B + C = 14 \end{cases} Yukarıdaki sistemden çıkarma yapalım: (4 B + C) - (2 B + C) = 14 - 8 \implies 2 B = 6 \implies B = 3 B’yi birinci denkleme yerine koyalım: 2 \cdot 3 + C = 8 \implies 6 + C = 8 \implies C = 2 * * * ### 9. Son olarak p(0)'ı bulalım. Hatırlayalım, p(x) = q(x) + 11 Bildiğimize göre, p(0) = q(0) + 11 q(x) ifadesi: q(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x^2 + B x + C) \quad \text{ve} \quad B=3, \quad C=2 x=0 için, q(0) = (0 - 1)(0 - 3)(0 - 5)(0^2 + 3 \cdot 0 + 2) = (-1)(-3)(-5)(2) = (-1 \times -3) \times (-5) \times 2 İşlem: - (-1 \times -3) = 3 - 3 \times (-5) = -15 - -15 \times 2 = -30 Yani, q(0) = -30 Sonuç olarak, p(0) = q(0) + 11 = -30 + 11 = -19 * * * ## **Cevap:** **p(0) = -19** * * * ## **Özet Tablosu** | Adım | İşlem | Sonuç | | --- | --- | --- | | q(x) = p(x) - 11 | q(x) için kökler 1,3,5 | | | q(x) ifadesi | q(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x^2 + B x + C) | | | Baş katsayı | A=1 | h(x) = x^2 + Bx + C | | q(2), q(4) için denklemler | 2 B + C = 8, 4 B + C =14 | | | Denklemler çözümü | B=3, C=2 | | | q(0) hesaplama | (-1)(-3)(-5)(2) = -30 | | | p(0) sonucu | p(0) = q(0) + 11 = -30 + 11 = -19 | **-19** | * * * Eğer başka sorunuz olursa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım. @Sinem07