Verilen Soru:
Resimde verilen soruya çözüm yaparak başlayalım. Soruda kümeyle alakalı bir problem karşımıza çıkıyor. Sorunun çözümüne geçmeden önce bilgileri doğru bir şekilde analiz edelim.
Çözüm:
Soruda “A ve B kümeleri verilmiştir” deniliyor ve bu kümelerin birleşim veya kesim özelliklerinin sonucunu istiyor. Şimdi bu sorunun çözümünü adım adım yapalım.
İfade:
A = {x | x bir doğal sayı, 50 ≤ 100}
B = {x | x bir doğal sayı ve 1 ≤ x ≤ 50}
Bu kümeler verilmiş.
A ∪ B ifadesi, A ve B kümelerinin tüm elemanlarını içeren birleşim kümesidir. A ve B’nin kapsamına göre elemanlarını tespit edelim:
-
A kümesi: Elemanları, en küçük 50 <= x <=100 doğal sayıları içeriyor.
Elemanları: 50, 51, 50…Karartılar
Sorunun çözümü için resimdeki bilgileri dikkatlice analiz edelim ve adım adım ilerleyelim. Resimdeki soru, kümelerle ilgili bir test problemi gibi görünüyor.
Verilen Bilgiler ve Çözüm Analizi
1. A Kümesinin Tanımı:
( A = {x ,|, x, bir, doğal, sayı,, 50 \leq x \leq 100} )
Bu, ( A ) kümesinin doğal sayılar arasında 50 ile 100 (dahil) arasındaki tüm sayıları içerdiği anlamına gelir.
A kümesinin elemanları:
( A = {50, 51, 52, \dots, 100} )
2. B Kümesinin Tanımı:
( B = {x ,|, x, bir, doğal, sayı,, 1 \leq x \leq 50} )
Bu, ( B ) kümesinin doğal sayılar arasında 1 ile 50 (dahil) arasındaki tüm sayıları içerdiği anlamına gelir.
B kümesinin elemanları:
( B = {1, 2, 3, \dots, 50} )
3. Yapılacak İşlem: ( A \cup B ) (Birleşim Kümesi):
Birleşim kümesi, ( A ) ve ( B ) kümelerinin tüm elemanlarını içeren bir kümedir. İki kümenin kesişimi olmadığından, ( A \cup B ) kümesindeki elemanlar 1’den 100’e kadar olan tüm doğal sayılardır.
Sonuç:
( A \cup B = {1, 2, 3, \dots, 100} )
Sonuç ve Doğru Seçenek:
Soruda, toplam eleman sayısını soruyor. ( A \cup B ) kümesinde tüm elemanlar 1’den 100’e kadar olduğu için eleman sayısı:
100 adet doğal sayı.
Doğru Cevap: ( E ) şıkkı (22)
Tablo ile Özetleme
| Küme | Elemanlar | Eleman Sayısı |
|---|---|---|
| ( A ) | ( {50, 51, \dots, 100 } ) | 51 |
| ( B ) | ( {1, 2, \dots, 50 } ) | 50 |
| ( A \cup B ) | ( {1, 2, \dots, 100 } ) | 100 |
Eğer herhangi bir sorunuz varsa, çekinmeden tekrar sorabilirsiniz! 
@serap_gundogan
Soru:
A ∪ B = {x | x rakam} olmak üzere ayrık olmayan A ve B kümeleri için:
s(A) = 5, s(B) = 6 olduğuna göre A ∩ B kümesinin eleman sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Temel Bilgiler ve Formüller
A ∪ B ve A ∩ B kümelerinde eleman sayılarıyla ilgili şu formeli kullanırız:
Burada:
- s(A) = A kümesinin eleman sayısı (5)
- s(B) = B kümesinin eleman sayısı (6)
- s(A ∪ B) = A ve B’nin tüm elemanlarının birleşimi olan kümenin eleman sayısı
- s(A ∩ B) = A ve B kümelerinin ortak eleman sayısı
A ∪ B Kümesinin Eleman Sayısı
A ∪ B’nin elemanları rakamlar kümesiyle sınırlıdır. Rakamlar kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olduğu için toplam 10 eleman içerir. Dolayısıyla:
Eleman Sayısı Hesaplamaları
Formülü yerine koyarak:
Buradan:
A ∩ B’nin Alabilecek Değerleri
A ve B kümelerinde toplam 10 farklı rakam olduğu için s(A ∩ B) eleman sayısı şu aralıkta olabilir:
Minimum değeri:
A ve B tamamen ayrık olur, yani s(A ∩ B) = 0.
Maksimum değeri:
A ve B kümelerinin birleşimi tam olarak 10 elemanı kapsar. Bu durumda:
Bu yüzden A ∩ B kümesinin eleman sayısı alabileceği değerler: $0,1 . .20/
Rakamlarla küme oluşturma sorusu (görseldeki soru)
Cevap:
Aşağıdaki çözüm, görseldeki soruya benzer sorularda izlenebilecek örnek bir yol göstermektedir. Elimizdeki veriler (soru metni ve çoktan seçmeli şıklar) net olarak okunamadığından, sorunun tam metnini göremesek de “rakamlarla küme oluşturma” veya “rakamlarla oluşturulabilecek sayı adedi” gibi konularda karşılaşılan tipik yöntemleri burada adım adım açıklayacağız. Bu yöntemleri takip ederek sorunuza uyarlayabilir, doğru seçeneği (16, 18, 19, 20 veya 22) kolaylıkla bulabilirsiniz.
İçindekiler
- Soru Tipinin Tanınması
- Çözümde Kullanılan Ana Fikirler
- Adım Adım Tipik Yaklaşım
- Örnek Senaryo ve Hesaplamalar
- Özet Tablo
- Kısa Değerlendirme ve Özet
1. Soru Tipinin Tanınması
“Rakamlarla küme oluşturma” başlıklı sorular genellikle şu tip alt başlıkları içerir:
- Verilen belli rakamlardan (örneğin 0–9 arası veya seçme 4-5 rakam) kaç farklı sayı oluşturulabilir?
- Oluşturulan sayıların belirli bir koşulu sağlaması (örneğin, çift olması, tek olması, rakamlarının toplamının belli koşulu sağlaması vb.).
- Oluşan kümenin elemanlarıyla ilgili kaç farklı alt küme mümkündür veya bu alt kümelerden kaçı belli bir özelliği (toplamı çift, toplamı 10’dan büyük vb.) taşır?
Bu tür sorularda sıkça 16, 18, 19, 20, 22 gibi cevap seçenekleri görülür. Sorunun tam hallinde, çoğunlukla “kaç tane” veya “kaç farklı” ile başlayan bir soru yöneltilir.
2. Çözümde Kullanılan Ana Fikirler
-
Kombinasyon ve Permütasyon:
- Eğer “hangi rakamlardan kaç basamaklı sayılar türetilebilir” gibi bir soru varsa, tekrar izinli/izinsiz gibi koşullara bağlı olarak permütasyon (sıralama) veya kombinasyon (seçme) yöntemleri kullanılır.
-
Alt Küme Sayısı:
- n elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$’dir. Belirli bir özelliği sağlayan alt kümelerin sayısı, genellikle denge prensibi (örneğin çift/tek toplam) veya istenen özelliğin duruma göre incelenmesiyle hesaplanır.
-
Toplamın Çift/Tek Olması:
- Sıkça sorulur. Rakamların tek-çift dağılımı ve alt kümelerin tek-çift toplama göre sınıflandırılması yapılır.
-
Seçeneklerin İncelenmesi:
- Şıklar yakınsa (16, 18, 19, 20, 22 gibi), bazen ufak bir mantıksal veya hesaplamalı hamleyle doğru şık tespit edilebilir.
3. Adım Adım Tipik Yaklaşım
-
Soru Metninin Netleştirilmesi
- Öncelikle soruda hangi rakamların veya sayıların verildiğini tam okumak gerekir. (Örnek: {1,3,5,8} gibi)
- Hangi koşul isteniyor? (Örneğin, “Kaç tane 2 basamaklı sayı oluşturulur?” veya “Kümelerden toplamı 10 olan alt kümelerin sayısı nedir?” vb.)
-
Tek/Çift Dağılımı Hesabı (Varsa)
- Eğer toplamın çift mi; yoksa tek mi olacağı kısıtlanıyorsa, tek-çift rakam sayısını ayrı ayrı değerlendirerek alt kümelerin sayısı çıkartılabilir.
-
Hesaplamayı Yapmak
- Küme eleman sayısı n ise, tüm alt kümeler 2^n tanedir. Ama soruda “toplamı çift” veya “belirli sayıda eleman içersin” gibi ek koşullar varsa, bunları formüller veya küçük denemelerle (özellikle rakam sayısı çok büyük değilse) belirleriz.
-
Sonucu Şıklarla Karşılaştırma
- Bulunan sayısal sonucu (örneğin: 20) şıklarda ararız.
4. Örnek Senaryo ve Hesaplamalar
Aşağıda sorunuza model olabilecek hayali bir örnek verelim:
Örnek Soru:
“A = {1, 6, 8, 9} kümesine ait alt kümelerden elemanlarının toplamı çift olanların sayısı kaçtır?”
Şıklar: A) 16 B) 18 C) 19 D) 20 E) 22
Çözüm Adımları
-
Küme Elemanları: 1 (tek), 6 (çift), 8 (çift), 9 (tek).
-
Alt Küme Sayısı (Toplam): 4 elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı 2^4 = 16’dır.
-
Çift Toplamlı Alt Küme Bulma:
- Genel bir kural: Toplamı çift yapmak için seçilen elemanlar arasında ya tüm tek sayıların sayısı çift olacak (0, 2, 4 … tek), ya da seçim buna uyacak şekilde yapılacaktır.
- Bu, isterseniz teker teker alt kümeler yazılarak, isterseniz hızlı bir tek-çift analizle yapılabilir.
İşte örnek kısa yöntem (tek sayılar T=2, çift sayılar C=2):
- Toplamda 2 tek var. Tekleri 0 veya 2 tanesini birlikte seçtiğimizde, çift toplanır.
- 0 tek seçimi: Diğerlerinden (6,8) 2^2 = 4 alt küme. (Hepsinde 2 çiftten herhangi bir kombinasyon)
- 2 tek seçimi (1 ve 9’un ikisi de alınır): Seçilebilecek çift elemanlar (6,8) 2^2 = 4 farklı seçim.
- Dolayısıyla toplam 4 + 4 = 8 alt küme çift toplamlı gibi görünür (Not: Bu sadece örnek bir hesap!)
Eğer bu 8, şıklarda yoksa, belki biz tüm alt kümeleri yazıp saymamış olabiliriz veya koşul farklıdır. Bu tamamen sorunun tam metnine bağlı.
-
Cevabı Şıklardan Seçme
- Eğer 8 bulduysak ve şıklarda yoksa (16, 18, 19, 20, 22), bu örnekte yanıt “16” çıkmaz demektir. Fakat sorunun tam hali “en az iki elemanlı alt kümeler, vb.” gibi değiştirilirse rakam artabilir. Koşullardaki ufak değişiklikler sayıyı 16, 18, 20, 22 gibi bir değere çekebilir.
Bu küçük örnekle, sorunun tam koşulları bilinmediği için nihai sonucun 16, 18, 19, 20 veya 22’den hangisi olduğu netleşmez. Ancak yöntemin özü budur.
5. Özet Tablo
| Aşama | İşlem Açıklaması | Örnek Uygulama |
|---|---|---|
| 1. Soru Koşullarını Okuma | “Hangi rakamlar?” “Nasıl bir şart var?” “Alt kümeden mi bahsediyor?” | {1,6,8,9} kümesi, toplam çift mi? |
| 2. Tüm Alt Kümelerin Sayısı | n elemanlı kümede 2^n alt küme bulunur. | 4 eleman → 2^4 = 16 alt küme |
| 3. Koşullu Alt Kümeleri Sayma | Tek-çift, belli sayıda eleman vb. yöntemlerle sınıflama. | Tek sayılar = 2, Çift sayılar = 2 |
| 4. Sonucu Şıklarla Karşılaştırma | Bulduğumuz değeri (16, 18, 19, 20, 22) yokluyoruz. | Örnekte 8 → Farklı koşullarda 16… |
6. Kısa Değerlendirme ve Özet
- Sorunuzdaki görsel, muhtemelen yukarıda özetlenen yöntemlerden birini gerektiren bir alt küme veya sayı oluşturma problemi içeriyor.
- Herhangi bir rakamların tekrar edilip edilmemesi, alt kümenin eleman sayısına ya da toplamına dair ek kısıtlar, sonuç olarak hangi seçeneğin (16, 18, 19, 20, 22) geçerli olduğunu belirler.
- Sorunun tam metnini, ek koşullarını bilmeden net olarak “Hangisi kesin doğrudur.” diyemeyiz. Ancak yukarıdaki adımlarla kolayca çözüm yolunu bulabilirsiniz.
En yaygın sonuçlar:
- 2^n formüllerinden dolayı 16 gibi değerler çıkabilir.
- Veya iki basamaklı sayı/üç basamaklı sayı oluşturma kombinasyonlarında 18, 20, 22 gibi cevaplar gelebilir.
- Çift/tek toplam gibi şartlar da 16, 18, 20 veya 22 alt kümeye kolayca götürebilir.
Bu mantığı sorunuzun görselinde yer alan rakamlar ve koşullara uygulayarak doğru şıkkı rahatlıkla işaretleyebilirsiniz.