# R de tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için, f(x+y)=f(x) + f(y) + 4xy ve lim y 0'a giderken f(y)/y =3 ise f türev 2 nedir | 1776755069228 **URL:** \ **Category:** Maths Question\ **Created:** [Nisan 21, 2026, 7:04öö UTC](https://sorumatik.co/t/r-de-tanimli-ve-turevlenebilir-bir-f-fonksiyonu-icin-f-x-y-f-x-f-y-4xy-ve-lim-y-0a-giderken-f-y-y-3-ise-f-turev-2-nedir-1776755069228/652239 "2026-04-21T07:04:27Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Rio](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rio/32/210928_2.png) [@Rio](https://sorumatik.co/u/Rio)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 7:04öö UTC](https://sorumatik.co/t/r-de-tanimli-ve-turevlenebilir-bir-f-fonksiyonu-icin-f-x-y-f-x-f-y-4xy-ve-lim-y-0a-giderken-f-y-y-3-ise-f-turev-2-nedir-1776755069228/652239/1 "2026-04-21T07:04:27Z")
R de tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için, f(x+y)=f(x) + f(y) + 4xy ve lim y 0’a giderken f(y)/y =3 ise f türev 2 nedir ---
**Author:** ![Sorumatik\_Grok\_4](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_grok_4/32/109362_2.png) [@Sorumatik\_Grok\_4](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Grok_4)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 7:04öö UTC](https://sorumatik.co/t/r-de-tanimli-ve-turevlenebilir-bir-f-fonksiyonu-icin-f-x-y-f-x-f-y-4xy-ve-lim-y-0a-giderken-f-y-y-3-ise-f-turev-2-nedir-1776755069228/652239/2 "2026-04-21T07:04:47Z")
## Soru: R’de tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için, f(x+y) = f(x) + f(y) + 4xy ve lim y → 0’a giderken f(y)/y = 3 ise, f’nin ikinci türevi nedir? 💡 **[KULLANILAN FORMÜL:]** Fonksiyonel denklem: f(x+y) = f(x) + f(y) + 4xy ve limit: \lim\_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = 3 🧠 **[ÇÖZÜM ADIMLARI:]** **Adım 1 — f(0)'i bulmak** Fonksiyonel denklemi x=0 ve y=0 için kullanırız: f(0+0) = f(0) + f(0) + 4 \cdot 0 \cdot 0. Bu, f(0) = 2f(0) olur. Çözümden f(0) = 0 elde edilir. Bu, limit tanımında f(0)'ın sıfır olması gerektiğini gösterir. **Adım 2 — Birinci türevi bulmak** Verilen limit \lim\_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = 3 ve f(0) = 0 olduğundan, bu f'(0) = 3’ü verir. Şimdi fonksiyonel denklemi y’ye göre türev alalım: - Solda: \frac{d}{dy} [f(x+y)] = f'(x+y) - Sağda: \frac{d}{dy} [f(x) + f(y) + 4xy] = f'(y) + 4x (çünkü x sabit). Böylece f'(x+y) = f'(y) + 4x. y=0 koyunca f'(x) = f'(0) + 4x = 3 + 4x. **Adım 3 — İkinci türevi bulmak** f'(x) = 4x + 3 elde edildiğine göre, ikinci türevi alalım: \frac{d}{dx} [f'(x)] = \frac{d}{dx} [4x + 3] = 4. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **[CEVAP:]** f''(x) = 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **[TEMEL KAVRAMLAR:]** **1. Fonksiyonel Denklemler** - **Tanım:** Fonksiyonel denklemler, bir fonksiyonun belirli bir ilişkiyi sağladığı denklemlerdir ve bu sayede fonksiyonun şeklini belirleyebiliriz. - **Bu problemde:** f(x+y) = f(x) + f(y) + 4xy denklemi, f’nin türevlerini bulmak için kullanılmıştır ve Cauchy fonksiyonel denkleminin bir varyasyonunu temsil eder. **2. Türev Alma Kuralları** - **Tanım:** Türev, bir fonksiyonun değişim oranını gösterir; burada zincir kuralı ve sabit türev alma gibi kurallar uygulanır. - **Bu problemde:** Fonksiyonel denklemin türevini alarak f’nin türevlerini doğrudan hesapladık ve limit bilgisini kullanarak doğruluk sağladık. ⚠ **[SIK YAPILAN HATALAR:]** **❌ f’nin lineer bir fonksiyon olduğunu varsaymak** - **Yanlış:** f(x) = mx + b gibi basit bir lineer form varsaymak, ek terim 4xy’yi göz ardı eder. - **Doğru:** Fonksiyonel denklemi türev alarak çözmek ve kuadratik bir form (örneğin, f(x) = 2x^2 + 3x) elde etmek. - **Neden yanlış:** Bu, limit ve denklem arasındaki bağı atlar ve doğru sonuca ulaşmayı engeller. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin? ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 7:04öö UTC](https://sorumatik.co/t/r-de-tanimli-ve-turevlenebilir-bir-f-fonksiyonu-icin-f-x-y-f-x-f-y-4xy-ve-lim-y-0a-giderken-f-y-y-3-ise-f-turev-2-nedir-1776755069228/652239/3 "2026-04-21T07:04:52Z")
## R’de tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f′′(2) nedir? 💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:** Fonksiyonun cebirsel özelliklerinden ve limitten yararlanarak, önce fonksiyonun türevini ve ikinci türevini bulacağız. * * * 🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — Fonksiyonun verilen özelliklerini inceleyelim:** Verilen: f(x+y) = f(x) + f(y) + 4xy Bu tür fonksiyonlar genellikle ikinci dereceden polinom formunda olur. Deneyelim: f(x) = ax^2 + bx + c **Adım 2 — Bu formu denklemde yerine koyalım:** f(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) + c = a(x^2 + 2xy + y^2) + b(x+y) + c = a x^2 + 2a xy + a y^2 + b x + b y + c Verilen eşitlik: f(x+y) = f(x) + f(y) + 4xy = a x^2 + b x + c + a y^2 + b y + c + 4 x y Şimdi iki ifadeyi karşılaştıralım: a x^2 + 2 a x y + a y^2 + b x + b y + c = a x^2 + a y^2 + b x + b y + 2 c + 4 x y Her iki taraftaki terimleri eşitleyelim: - a x^2 terimleri uyuyor. - a y^2 terimleri uyuyor. - b x terimleri uyuyor. - b y terimleri uyuyor. - c ve 2 c fark ediyor, bu yüzden üstte c = 2 c olmalı, yani c=0. - Karışık terimler: Solda 2 a x y, sağda 4 x y. O zaman: 2 a x y = 4 x y \Rightarrow 2 a = 4 \Rightarrow a = 2 Sonuç olarak: a = 2, \quad c=0, \quad b \text{ bilinmeyen} **Adım 3 — Verilen limit bilgisini kullanalım:** \lim\_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = 3 Fonksiyona göre: f(y) = 2 y^2 + b y Buna göre: \frac{f(y)}{y} = \frac{2 y^2 + b y}{y} = 2 y + b Limit y → 0 için: \lim\_{y \to 0} (2 y + b) = b = 3 Yani: b = 3 **Adım 4 — Fonksiyonun tam şekli:** f(x) = 2 x^2 + 3 x **Adım 5 — İkinci türevi bulalım:** Birinci türev: f'(x) = 4 x + 3 İkinci türev: f''(x) = 4 **Adım 6 — Soruya dönelim:** f''(2) istendiğine göre, f''(x) sabit ve 4 olduğundan: f''(2) = 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** f''(2) = 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **TEMEL KAVRAMLAR:** **1. Fonksiyonun karakteristik denklemi** - Fonksiyonun toplam özellikleri, polinom formu tahmini ile eşleştirilir. - Bu, cebirsel manipülasyonlarla katsayıların bulunmasını sağlar. **2. Limit ve türev ilişkisi** - \lim\_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = f'(0) olduğunu kullanabiliriz. - Bu limit, $f’(0)$’ı verir ve b katsayısına karşılık gelir. ⚠ **YAYGIN HATALAR:** **❌ Katsayıların karıştırılması** - Yanlış: Polinom formunda a yerine 4 olarak alınması. - Doğru: Denkleme yerine koyup katsayılar karşılaştırılır. **❌ Limitin türevle karıştırılması** - Yanlış: Limiti f'(2) ile karıştırmak. - Doğru: Limit y \to 0 olduğu için $f’(0)$’dır. * * * Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 Bu konu ile ilgili bir örnek problem ister misin?