# R de tanımlı türevlenebilir bir f fonksiyonu için **URL:** \ **Category:** Maths Question\ **Created:** [Nisan 21, 2026, 7:01öö UTC](https://sorumatik.co/t/r-de-tanimli-turevlenebilir-bir-f-fonksiyonu-icin/652238 "2026-04-21T07:01:58Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Rio](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rio/32/210928_2.png) [@Rio](https://sorumatik.co/u/Rio)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 7:01öö UTC](https://sorumatik.co/t/r-de-tanimli-turevlenebilir-bir-f-fonksiyonu-icin/652238/1 "2026-04-21T07:01:58Z")
R de tanımlı türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x + y) - f(x) + f(y) + 4xy ve \ \lim\_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = 3 olduğuna göre, \ f'(2) kaçtır? **Soru Fotoğrafı:** ![Soru Görseli](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/e/5/e5ae6e77a8e091d5ed481b06cd6be0052e999578.jpeg) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 7:02öö UTC](https://sorumatik.co/t/r-de-tanimli-turevlenebilir-bir-f-fonksiyonu-icin/652238/2 "2026-04-21T07:02:28Z")
## R’de tanımlı türevlenebilir bir f fonksiyonu için f'(2) değerinin bulunması 💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:** - Fonksiyonun türev tanımı ve limit kuralları. - Verilen fonksiyonel ifadeyi düzenleyerek türev ile ilişkilendirme. * * * 🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — Verilen ifadeyi incele** Verilen eşitlik: f(x + y) - f(x) + f(y) = 4xy Burada tam olarak eşitlik doğru okunmalı: Görseldeki ifadeye bakıldığında muhtemelen, f(x + y) - f(x) - f(y) = 4xy doğrusu budur (çünkü f(x + y) - f(x) + f(y) - 4xy ifadesi eşitlik olarak verilmemiş). Bu tür fonksiyonel denklemlerde genellikle şöyle olur: f(x + y) = f(x) + f(y) + 4xy **Adım 2 — Fonksiyonun şeklini tahmin et** Bu tür bir fonksiyonel denklem, genellikle şöyle bir forma sahiptir: f(x) = ax^2 + bx + c çünkü f(x+y) ifadesi, f(x) + f(y) + 4xy şeklindeyse, ikinci dereceden bir terim olabilir. **Adım 3 — Fonksiyonun genel şeklini yaz** f(x) = ax^2 + bx + c olsun. O zaman: f(x + y) = a(x + y)^2 + b(x + y) + c = a(x^2 + 2xy + y^2) + b x + b y + c f(x) + f(y) + 4xy = a x^2 + b x + c + a y^2 + b y + c + 4 x y = a x^2 + a y^2 + b x + b y + 2c + 4 x y **Adım 4 — Eşitliği karşılaştır** f(x + y) = f(x) + f(y) + 4 x y olduğuna göre, a(x^2 + 2 x y + y^2) + b x + b y + c = a x^2 + a y^2 + b x + b y + 2 c + 4 x y Her iki tarafı sadeleştir: a x^2 + 2 a x y + a y^2 + b x + b y + c = a x^2 + a y^2 + b x + b y + 2 c + 4 x y a x^2, a y^2, b x, b y terimleri her iki tarafta da var, onları çıkaralım: 2 a x y + c = 2 c + 4 x y Eşitliği yeniden yaz: 2 a x y + c = 2 c + 4 x y **Adım 5 — Katsayıları karşılaştır** - Tarafların x y terimlerine bakarsak: 2 a x y = 4 x y \implies 2 a = 4 \implies a = 2 - Sabit terimler için: c = 2 c \implies c = 0 **Adım 6 — Fonksiyonun limiti kullanarak b’yi bulma** Verilen limit: \lim\_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = 3 f(y) = 2 y^2 + b y + 0 olduğuna göre, \frac{f(y)}{y} = \frac{2 y^2 + b y}{y} = 2 y + b Limit alınca: \lim\_{y \to 0} (2 y + b) = b = 3 Yani b = 3. **Adım 7 — Fonksiyonun türevidini bul** f(x) = 2 x^2 + 3 x f'(x) = 4 x + 3 **Adım 8 — f'(2) değerini hesapla** f'(2) = 4 \times 2 + 3 = 8 + 3 = 11 * * * ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** f'(2) = 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **TEMEL KAVRAMLAR:** **1. Fonksiyonel Denklem** - Bir fonksiyonun belirli bir eşitliği sağlaması - Burada fonksiyonun ikinci dereceden olduğu anlaşıldı. **2. Limit** - Fonksiyonun türeviden bağımsız olarak, \lim\_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} ifadesinin kullanımı **3. Türev** - Fonksiyonun türev formülünün bulunması ve türevin bir noktadaki değeri ⚠ **YAYGIN HATALAR:** ❌ a katsayısını yanlış hesaplamak - Yanlış: Sabit terim c’yi ya da x y terimlerini ihmal etmek - Doğru: Çok terimli ifadelerde her terimi grup olarak karşılaştırmak gerekiyor ❌ Limit ifadesinden b değerini yanlış almak - Yanlış: y giderken terimleri yanlış düzenlemek - Doğru: Limiti düzgün biçimde sadeleştirmek Başka bir örnek ister misin, ya da adımlarda takıldığın bölümleri açıklayayım mı? Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 ---
**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 7:03öö UTC](https://sorumatik.co/t/r-de-tanimli-turevlenebilir-bir-f-fonksiyonu-icin/652238/3 "2026-04-21T07:03:35Z")
## R’de tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x+y)-f(x)-f(y)-4xy=0 ve \displaystyle \lim\_{y\to0}\frac{f(y)}{y}=3 olduğuna göre, f'(2) kaçtır? **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:** - **Türev tanımı:** f'(a)=\displaystyle\lim\_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} - **Fonksiyonel denklem türevi alma:** Eşitliğin her iki tarafını sabit bir değişkene göre türevleyebiliriz. **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — x=0 koyarak f(0)'ı bulma** Denklem: f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy Blank line x=0 koy: f(0+y)=f(0)+f(y)+4\cdot 0\cdot y Blank line f(y)=f(0)+f(y) Blank line f(0)=0 **Adım 2 — Denklemden y’ye göre türev al (x sabit)** Kurulum (türev alacağız): f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy Blank line Sol tarafın türevi: **Birinci terim:** \frac{d}{dy}f(x+y)=f'(x+y) Blank line Sağ tarafın terimleri ayrı ayrı: **İkinci terim:** \frac{d}{dy}f(x)=0 Blank line **Üçüncü terim:** \frac{d}{dy}f(y)=f'(y) Blank line **Dördüncü terim:** \frac{d}{dy}(4xy)=4x Blank line Bunları eşitle: f'(x+y)=0+f'(y)+4x Blank line f'(x+y)=f'(y)+4x **Adım 3 — y=0 koy ve f'(x) ifadesini elde et** Kurulum: f'(x+y)=f'(y)+4x Blank line y=0 koy: f'(x+0)=f'(0)+4x Blank line f'(x)=f'(0)+4x **Adım 4 — f'(0)'ı limitle ilişkilendir ve f'(2) yi hesapla** Kurulum (türev tanımı): f'(0)=\lim\_{y\to0}\frac{f(0+y)-f(0)}{y} Blank line f(0)=0 olduğundan: f'(0)=\lim\_{y\to0}\frac{f(y)}{y} Blank line Verilen limit: f'(0)=3 Blank line f'(x) formülüne yaz: f'(x)=3+4x Blank line x=2 için: f'(2)=3+4\cdot 2 Blank line f'(2)=3+8 Blank line f'(2)=11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** \mathbf{11} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ **TEMEL KAVRAMLAR:** 1. **Türev** - **Tanım:** Bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızıdır. - **Bu problemde:** \displaystyle f'(0)=\lim\_{y\to0}\frac{f(y)-f(0)}{y} kullanıldı; f(0)=0 olduğu için verilen limit doğrudan f'(0) oldu. 1. **Fonksiyonel denklemden türev alma** - **Tanım:** Bir eşitliğin her iki tarafı uygun değişkene göre türevlenebilir ve böylece fonksiyonun türevine dair ilişki elde edilir. - **Bu problemde:** f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy den y’ye göre türev alınarak f'(x+y)=f'(y)+4x bulundu. **SIK YAPILAN HATALAR:** **❌ f(0)'ı atlamak** - **Yanlış:** f(0)'ın sıfır olduğunu varsaymamak. - **Doğru:** x=0 koyularak f(0)=0 bulunur. - **Neden yanlış:** f(0) bilinmeden türev tanımıyla verilen limit doğrudan f'(0) olarak kullanılamaz. - **Düzeltme:** Mutlaka x=0 testi yapın ve f(0)'ı belirleyin. **❌ Türev alırken terimleri karıştırmak** - **Yanlış:** 4xy’nin türevini 4y sanmak. - **Doğru:** x sabit iken \frac{d}{dy}(4xy)=4x. - **Neden yanlış:** Hangi değişkene göre türev alındığı karıştırılır. - **Düzeltme:** Türev alınırken hangi değişken sabit ona dikkat edin. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?