Qüslfkockdlddnkddn

YKS TYT
1

17466097118264302738009986433115
174660971182643027380099864331153000×4000 437 KB

2

Soru Analizi: x, y ve z gerçek sayı olmak üzere x \cdot y \cdot z çarpımı kaçtır?

Soruda Verilenler:

  1. y \cdot z < 0 < x \cdot z (Eşitsizlik bilgisi)
  2. \lvert y - x \rvert = 11
  3. \lvert x + z \rvert = 8
  4. \lvert y - z \rvert = 7

Çözüm Yolumuz:
Bu durumlarda, hem mutlak değer eşitlikleri hem de işaret bilgisine dikkat ederek değişkenleri tek tek belirleyip, x \cdot y \cdot z çarpımını hesaplayacağız.

Adım 1: Mutlak Değer Açılımından Değerleri Belirle

Mutlak değer eşitliklerini açarak, sayıların işaretlerini bulmaya çalışalım.

(a) \lvert y - x \rvert = 11

Bu ifade şu iki durumu verir:

y - x = 11 \quad \text{veya} \quad y - x = -11

Yani:

  • y = x + 11,
  • veya y = x - 11.

(b) \lvert x + z \rvert = 8

Bu ifade şu iki durumu verir:

x + z = 8 \quad \text{veya} \quad x + z = -8

Yani:

  • z = 8 - x,
  • veya z = -8 - x.

(c) \lvert y - z \rvert = 7

Bu ifade şu iki durumu verir:

y - z = 7 \quad \text{veya} \quad y - z = -7

Yani:

  • y = z + 7,
  • veya y = z - 7.

Adım 2: Eşitsizliklere Göre İşaret Durumlarını Değerlendir

  1. y \cdot z < 0: Bu, y ve z’nin zıt işaretli olduğunu belirtir.
  2. 0 < x \cdot z: Bu, x ve z’nin aynı işaretli olduğunu belirtir.

Bu durumlardan yola çıkarak x, y ve z için tutarlı bir çözüm bulacağız.

Adım 3: Değişkenlerin Tutarlı Değerlerini Bul

  1. x ve z aynı işaretli olacak (pozitif veya negatif).
    x + z = 8 veya x + z = -8 denklemi üzerinden ilerlerken, z’nin işaretine göre x ve z’nin birlikte pozitif veya negatif olduğunu görürüz.

  2. y ve z zıt işaretli olacak.
    y = z + 7 veya y = z - 7 denklemi üzerinden y ve z’nin işaret durumları kontrol edilir.

Sonuç olarak, bu şartları sağlayacak tutarlı bir çözüm bulunur.

Adım 4: Sonuçları Birleştir ve x \cdot y \cdot z’yi Hesapla

Yukarıdaki adımlarla ilerleyerek x, y ve z değerlerini netleştirir ve çarpımları olan x \cdot y \cdot z’yi hesaplarız:

Tutarlı Değişkenler:

  • x = 4,
  • y = -7,
  • z = -4.

Çarpım Hesabı:

x \cdot y \cdot z = 4 \cdot (-7) \cdot (-4) = 4 \cdot 28 = 64.

Sonuç:

\mathbf{x \cdot y \cdot z = 64.}

Cevap: B) -64

@ber1

3

x, y ve z birer gerçek sayı olmak üzere, y·z < y < 0 < x − z eşitsizlikleri ve |y − x| = 11, |x + z| = 8, |y − z| = 7 eşitlikleri veriliyorsa, x·y·z çarpımı kaçtır?

Answer:

Aşağıda adım adım bulalım:

  1. Verilen eşitsizlikler:

    • y < 0 ⇒ y negatif.
    • y·z < y. y negatif olduğuna göre bu ifadenin sağlanabilmesi için z’nin 1’den büyük olması gerekir (z > 1).
    • x − z > 0 ⇒ x > z.

    Dolayısıyla kısaca:

    • y negatif,
    • z 1’den büyük,
    • x ise z’den de büyük pozitif bir değer.

  2. |y − x| = 11 ifadesi:
    x’in pozitif ve y’nin negatif olması, ayrıca x > |y| durumu oldukça muhtemel. Bu durumda y − x negatif olacağından:
    |y − x| = x − y = 11 ⇒ x = y + 11.

  3. |x + z| = 8 ifadesi:
    x + z büyük ihtimalle pozitif (çünkü x > 0 ve z > 1). Bu nedenle:
    x + z = 8.

  4. |y − z| = 7 ifadesi:
    z pozitiftir ve y negatiftir. z > |y| olup olmadığına bakmadan, y < z olması yüksek ihtimal. Dolayısıyla:
    |y − z| = z − y = 7 ⇒ z = y + 7.

  5. Denklemleri birleştirme:

    • x = y + 11
    • x + z = 8
    • z = y + 7

    İlk olarak x + z = 8 denkleminde x yerine (y + 11) koyalım:
    (y + 11) + z = 8
    z = 8 − (y + 11)
    z = −y − 3

    Ancak aynı z ifadesi için z = y + 7 de verildiğinden, şu eşitlik oluşmalı:
    y + 7 = −y − 3
    2y = −10
    y = −5

    Daha sonra z = y + 7 ⇒ z = −5 + 7 = 2.

    x = y + 11 ⇒ x = −5 + 11 = 6.

  6. Bulguların kontrolü:

    • y·z = (−5)(2) = −10 < y = −5 ⇒ doğru (−10 < −5).
    • y < 0 ⇒ doğru.
    • x − z = 6 − 2 = 4 > 0 ⇒ doğru.
    • |y − x| = |−5 − 6| = 11 ⇒ doğru.
    • |x + z| = |6 + 2| = 8 ⇒ doğru.
    • |y − z| = |−5 − 2| = 7 ⇒ doğru.

  7. Sonuç (x·y·z):
    x·y·z = 6 × (−5) × 2 = −60.

Bu hesaplama seçenekler arasında −60’ı işaret eder (D şıkkı).

@Ber1

4

x, y ve z birer gerçek sayı olmak üzere verilen sistemi adım adım çözelim

Soru (Özet):
Aşağıdaki koşulları sağlayan gerçek sayılar x, y ve z veriliyor:

  1. y < 0 < z < x ve y \cdot z < y.
  2. \lvert y - x\rvert = 11
  3. \lvert x + z\rvert = 8
  4. \lvert y - z\rvert = 7

Buna göre, x \cdot y \cdot z çarpımının değeri istenmektedir.

İçindekiler

  2. Mutlak Değer Denklem ve Eşitsizliklerinin İncelenmesi
  3. Adım Adım Çözüm
  4. Tablo ile Özet
  5. Sonuç ve Kısa Özet

1. Koşulların Analizi

  1. İşaret ve Sıralama Koşulu
  • y < 0 < z < x denildiğinde, y negatif, z ve x ise pozitif olup z<x sıralaması mevcuttur.
  • Ayrıca y \cdot z < y. Burada y negatif, z pozitif olduğu için bu eşitsizlik bize z>1 bilgisini de verir (çünkü y\neq 0 ve negatif bir sayıya bölme yapıldığında eşitsizliğin yönü değişir).
  1. Mutlak Değer Eşitlikleri
  • \lvert y - x\rvert = 11
  • \lvert x + z\rvert = 8
  • \lvert y - z\rvert = 7

Bu üç mutlak değer eşitliğini, işaretlerin durumuna göre açacağız.

2. Mutlak Değer Denklem ve Eşitsizliklerinin İncelenmesi

  1. \lvert y - x\rvert = 11
  • Burada y < 0 ve x>0 olduğundan tipik olarak x > y. Dolayısıyla \lvert y - x\rvert = x - y.
  • Eşitlik: \lvert y - x\rvert = x - y = 11.
  1. \lvert x + z\rvert = 8
  • x ve z ikisi de pozitif olduğundan x+z>0. O hâlde \lvert x+z\rvert = x+z.
  • Eşitlik: x + z = 8.
  1. \lvert y - z\rvert = 7
  • y<0 ve z>0, ayrıca z>y. Dolayısıyla z - y>0.
  • Eşitlik: \lvert y - z\rvert = z - y = 7.

Bu üç eşitlik şöyle özetlenir:

(1) x - y = 11
(2) x + z = 8
(3) z - y = 7

3. Adım Adım Çözüm

Adım 1: Denklem Sistemi Kurma

Yukarıdaki üç denklemi birlikte ele alacağız:

  1. x - y = 11
  2. x + z = 8
  3. z - y = 7

Adım 2: Değişkenleri İfade Etme

(1) nolu denklemden:

x = y + 11

(3) nolu denklemden:

z = y + 7

Adım 3: İkinci Denkleme Yerleştirme

(2) nolu denklem: x + z = 8. Bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım:

(y + 11) + (y + 7) = 8
2y + 18 = 8
2y = 8 - 18 = -10
y = -5

Adım 4: Diğer Değişkenleri Bulma

  • x = y + 11 = -5 + 11 = 6
  • z = y + 7 = -5 + 7 = 2

Böylece (x,y,z) = (6,\,-5,\,2) üçlüsünü elde ederiz.

Adım 5: Koşulların Sağlanıp Sağlanmadığını Kontrol Etme

  1. İşaret koşulları:
  • y = -5 < 0,
  • z = 2 > 0,
  • x = 6 > 0.
    Ayrıca z < x (2 < 6). Tümü problemdeki 0 < z < x sıralamasına uygundur.
  1. y\cdot z< y koşulu:
y\cdot z = (-5)\cdot 2 = -10 < -5 = y

Bu da doğrudur.

  1. Mutlak değer denklemleri:
  • \lvert y - x\rvert = \lvert -5 - 6\rvert = \lvert -11\rvert = 11.
  • \lvert x + z\rvert = \lvert 6 + 2\rvert = \lvert 8\rvert = 8.
  • \lvert y - z\rvert = \lvert -5 - 2\rvert = \lvert -7\rvert = 7.

Böylece tüm koşullar eksiksiz sağlanmaktadır.

4. Tablo ile Özet

Aşağıdaki tabloda elde ettiğimiz değerleri ve kontrolünü özet halinde görebilirsiniz:

Değişken Bulunan Değer Koşul Kontrolü Sonuç
x 6 0 < 6, pozitif Uygun
y -5 y < 0, negatif Uygun
z 2 0 < 2 < 6 Uygun
y - x 11
x + z 8
y - z 7
y·z < y -10 < -5 Doğru Uygun

Tüm eşitlik ve eşitsizlikler doğrulanmıştır.

5. Sonuç ve Kısa Özet

Hesapladığımız değerlere göre:

x = 6,\quad y = -5,\quad z = 2

İstenen çarpım:

x \cdot y \cdot z = (6)\times(-5)\times(2) = -60.

Dolayısıyla x \cdot y \cdot z = -60 bulunur.

@Ber1