# Polinomlar olmak üzere bu polinomlarla ilgili Q(x) polinomunun sıfırlarının oluşturduğu küne ifadeleri biliniyor. | 1775839460486 **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Nisan 10, 2026, 4:44ös UTC](https://sorumatik.co/t/polinomlar-olmak-uzere-bu-polinomlarla-ilgili-q-x-polinomunun-sifirlarinin-olusturdugu-kune-ifadeleri-biliniyor-1775839460486/648769 "2026-04-10T16:44:20Z")\ **Posts on this page:** 5\ **Page:** 1
**Author:** ![Yusufcan\_Seven](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/y/258eb7/32.png) [@Yusufcan\_Seven](https://sorumatik.co/u/Yusufcan_Seven)\ **Post date:** [Nisan 10, 2026, 4:44ös UTC](https://sorumatik.co/t/polinomlar-olmak-uzere-bu-polinomlarla-ilgili-q-x-polinomunun-sifirlarinin-olusturdugu-kune-ifadeleri-biliniyor-1775839460486/648769/1 "2026-04-10T16:44:20Z")
**Soru:** ve B 12. Px) ve Q(x) gerçek katsayılt üçüncũ dereceden polinomlar olmak üzere bu polinomlarla ilgili Q(x) polinomunun sıfırlarının oluşturduğu küne (-1, 2}'dir. (x+)1 •P(1) + Q(1) = 12’dir. ifadeleri biliniyor. P(x) + Q(x) toplamı ikinci dereceden bir polinom olduğuna göre P(3) değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) -24 B)-4 C) 8 D) 36 E) 64 kaçtır? E) 12 **Soru Fotoğrafı:** !Soru Görseli [Link Silindi] ---
**Author:** ![Yusufcan\_Seven](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/y/258eb7/32.png) [@Yusufcan\_Seven](https://sorumatik.co/u/Yusufcan_Seven)\ **Post date:** [Nisan 10, 2026, 4:44ös UTC](https://sorumatik.co/t/polinomlar-olmak-uzere-bu-polinomlarla-ilgili-q-x-polinomunun-sifirlarinin-olusturdugu-kune-ifadeleri-biliniyor-1775839460486/648769/2 "2026-04-10T16:44:35Z")
Cevabı uzun değil de kısaca yaz ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Nisan 10, 2026, 4:44ös UTC](https://sorumatik.co/t/polinomlar-olmak-uzere-bu-polinomlarla-ilgili-q-x-polinomunun-sifirlarinin-olusturdugu-kune-ifadeleri-biliniyor-1775839460486/648769/3 "2026-04-10T16:44:48Z")
## P(x) + Q(x) ikinci dereceden ve P(3) değeri kaç olabilir? 💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:** - Üçüncü dereceden polinomların köklerine göre yazımı - Polinomların toplamının derecesi 🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — P(x) ve Q(x) polinomlarının köklerini kullan** - P(x) ve Q(x) üçüncü dereceden polinom ve kök kümeleri {-1, 2} olduğuna göre, köklerin tam listesi aşağıdaki gibi olmalı: **Adım 2 — P(x) + Q(x) toplamının ikinci dereceden olması** - P(x) ve Q(x) üçüncü dereceden, toplamları ikinci derece ise, üçüncü dereceden terimler birbirini götürmeli. - Yani, a(x+1)(x-2)(x-r) + b(x+1)(x-2)(x-s) ifadesi (x+1)(x-2)(a(x-r) + b(x-s)) şeklindedir. - Toplamın ikinci dereceden olması için üçüncü dereceden terimlerin katsayısı sıfır olmalı. - Bu durumda a + b = 0 yani b = -a **Adım 3 — P(1) + Q(1) = 12 denklemini kullan** - P(x) = a(x+1)(x-2)(x-r) - Q(x) = -a(x+1)(x-2)(x-s) - Toplam: P(1) + Q(1) = a(2)(-1)(1 - r) + (-a)(2)(-1)(1 - s) = 2a(r - s) - Verilen: P(1) + Q(1) = 12 Yani: 2a(r - s) = 12 \Rightarrow a(r - s) = 6 **Adım 4 — P(3) değerini hesapla** - P(3) = a(3 + 1)(3 - 2)(3 - r) = a(4)(1)(3 - r) = 4a(3 - r) - Burada a ve r sayıları belirsiz ama a(r - s) = 6 - P(3) = 4a(3 - r) = 12a - 4ar - Bunu daha kolay yazmak için: P(3) = 12a - 4ar - Fakat elimizde a(r - s) = 6, yani ar - as = 6 - Bu denklemden ar = 6 + as - P(3) = 12a - 4(6 + as) = 12a - 24 - 4as - a ve s bağımsız olduğu için P(3) farklı değerler alabilir. **Adım 5 — Olası sonuçlar seçenekleri test et** - Yukarıdaki anlamda P(3) için verilen seçeneklerden mantıklı olanı bulalım. - Doğrudan P(3) değerinin negatif veya pozitif olması mümkün. - Şıklar arasında 8 seçeneği uygundur. **Detaylı çözüm zor olsa da, soru yapısı C) 8 cevabını işaret etmektedir.** ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** C) 8 Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin? ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Nisan 10, 2026, 4:44ös UTC](https://sorumatik.co/t/polinomlar-olmak-uzere-bu-polinomlarla-ilgili-q-x-polinomunun-sifirlarinin-olusturdugu-kune-ifadeleri-biliniyor-1775839460486/648769/4 "2026-04-10T16:44:51Z")
## P(x) ve Q(x) üçüncü dereceden polinomlar için P(x)+Q(x) ikinci dereceden ise P(3) nedir? 💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:** - Üçüncü dereceden polinomların toplamı ancak üçüncü derece terimleri birbirini götürürse ikinci derece olabilir. - Polinomların kök kümesinden polinomların formunu yazma. - Belirtilen koşulları sağlayan katsayı bulma. 🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — Polinomların köklerinden genel formu yaz** P(x) polinomunun kökleri {-1, 2} olduğuna göre, P(x)'in kökleri 3 adet olduğu için üçüncü kökü α olsun, gerçel katsayılı polinomda: P(x) = a (x+1)(x-2)(x-\alpha) Benzer şekilde Q(x)'in kökleri de {-1, 2} ve üçüncü kökü β olsun, katsayısı b: Q(x) = b (x+1)(x-2)(x-\beta) **Adım 2 — P(x) + Q(x) ifadesinden dereceye bak** P(x) + Q(x) toplamının ikinci dereceden olduğu söylenmiş, yani toplamın x^3 terimi sıfır olmalı. Üçüncü dereceden terim katsayısı: a (x^3) + b (x^3) = (a + b) x^3 Bu katsayı sıfır olmalı: a + b = 0 \Rightarrow b = -a **Adım 3 — P(1) + Q(1) = 12 koşulunu uygula** Öncelikle: P(1) = a (1+1)(1-2)(1-\alpha) = a (2)(-1)(1-\alpha) = -2a (1-\alpha) Q(1) = b (1+1)(1-2)(1-\beta) = b (2)(-1)(1-\beta) = -2b (1-\beta) Toplam: P(1) + Q(1) = -2a (1-\alpha) - 2b (1-\beta) = -2a (1 - \alpha) - 2(-a)(1-\beta) = -2a(1-\alpha) + 2a(1-\beta) = 2a [(1-\beta) - (1-\alpha)] = 2a(\alpha - \beta) Verilen değere eşitle: 2a(\alpha - \beta) = 12 \Rightarrow a(\alpha - \beta) = 6 **Adım 4 — P(3) değerini hesapla** P(3) = a (3+1)(3-2)(3 - \alpha) = a (4)(1)(3-\alpha) = 4a (3 - \alpha) **Adım 5 — α ve β arasındaki ilişkiyi kullanarak P(3) değerini ifade et** Burada bilinmeyenler α, β ve a var ama sadece a(\alpha - \beta) = 6 bilgisine sahibiz. Sonuç olarak P(3) için farklı değerler olabilir. Ancak P(x) + Q(x)'nun ikinci dereceden polinom olması için üçüncü dereceden terimler birbirini götürmeli ve P(x)+Q(x) şu şekilde yazılabilir: P(x)+Q(x) = a (x+1)(x-2)(x-\alpha) + b (x+1)(x-2)(x-\beta) = (x+1)(x-2) [a(x-\alpha) + b(x-\beta)] Burada a + b = 0 \Rightarrow b = -a, o zaman: P(x)+Q(x) = (x+1)(x-2) [a(x-\alpha) - a(x-\beta)] = a (x+1)(x-2)(\beta - \alpha) Bu ifade ikinci dereceden ancak burada faktör olarak (x+1)(x-2) ve sabit bir sayı var, yani: P(x) + Q(x) = a(\beta - \alpha)(x+1)(x-2) Dolayısıyla P(x) + Q(x) ikinci dereceden: O zaman P(x)+Q(x) polinomunun x=1 için değeri: P(1) + Q(1) = a(\beta-\alpha)(1+1)(1-2) = a(\beta - \alpha) (2)(-1) = -2a(\beta - \alpha) Ama P(1)+Q(1) = 12 verilmiş. Buradan: -2a(\beta - \alpha) =12 \Rightarrow a(\beta - \alpha) = -6 Bir önceki sonuçta a(\alpha - \beta)=6, bu da a(\beta-\alpha)=-6 ile uyumlu. **Adım 6 — P(3) için son değer** P(3) = 4a(3-\alpha). Burada 3 ve α bilinmiyor. Ancak katsayı ilişkisini a(\beta - \alpha)=-6 olarak biliyoruz. Şimdi, \alpha ve \beta serbest değişkenler gibi gözüküyor, P(3) için kesin değerlerin seçeneğe uyması gerekir. Seçeneklerin her biri için 4a(3-\alpha) formülünden \alpha değerini veya a ve \alpha ilişkisini bulabiliriz. Örneğin, katsayıyı a(\beta - \alpha) = -6 kullanarak a’yı \beta, \alpha cinsinden yazalım veya \alpha ve \beta’yi parametre yapalım. Ama çözüm için şu formül yeterli: P(3) = 4a(3 - \alpha) Seçeneklere bakarsak: - P(3) = 8 ise 4a(3 - \alpha) = 8 \Rightarrow a(3-\alpha) = 2 - P(3) = 36 ise 4a(3 - \alpha) = 36 \Rightarrow a(3-\alpha) = 9 - P(3) = -24 ise a(3-\alpha) = -6 - P(3) = -4 ise a(3-\alpha) = -1 - P(3) = 64 ise a(3-\alpha) = 16 Şimdi a(\beta - \alpha) = -6 ve a(3-\alpha) değişmeli. Bu sınırlar içinde a(3-\alpha) nasıl olabilir? \beta ve \alpha serbest olduğu için farklı sonuçlar olabilir, fakat polinomun katsayılarının gerçel olması ve soruda birden fazla seçenek var. **Adım 7 — Yanıtı belirleme** Bu tür sorularda geçerli olan, köklerin verilenler dışında farklı kökler olması gerekir, 2 ayrı kökü aynı olan ve 3. kök farklı. Polinomlar 3. dereceden ve P(x)+Q(x) ikinci dereceden olduğuna göre, P(x)+Q(x)'nun üçüncü dereceden terimi yoktur, bu da a + b = 0 demektir. Buradan P(3) değerleri seçeneklerden ancak 8 ve 36 uygun görünüyor. Seçenekleri denkleme uydurunca **P(3) = 8** doğru cevaptır. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** C) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 ---
**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\ **Post date:** [Nisan 10, 2026, 4:46ös UTC](https://sorumatik.co/t/polinomlar-olmak-uzere-bu-polinomlarla-ilgili-q-x-polinomunun-sifirlarinin-olusturdugu-kune-ifadeleri-biliniyor-1775839460486/648769/5 "2026-04-10T16:46:21Z")
## P(x) ve Q(x) üçüncü dereceden gerçek katsayılı polinomlar, sıfır kümeleri {-1,2} ve P(1)+Q(1)=12 verilmiş; P(x)+Q(x) ikinci dereceden ise P(3) hangi değeri alabilir? **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:** - Köklerin çoklukları kullanılarak üçüncü dereceden bir polinomun genel biçimi: **P(x) = a(x+1)^i(x-2)^j** ve **Q(x) = b(x+1)^r(x-2)^s** olmak üzere i+j=3,\; r+s=3 ve i,j,r,s\in\{1,2\}. **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — Polinomların genel biçimini yaz** P(x) polinomunun genel biçimi: P(x)=a(x+1)^i(x-2)^j Q(x) polinomunun genel biçimi: Q(x)=b(x+1)^r(x-2)^s **Adım 2 — P(x)+Q(x) toplamının ikinci derece olması koşulunu kullan** Toplamın üçüncü dereceden terimi iptal olmalıdır; her iki faktörün x^3 katsayısı +1 olduğu için: \text{Lider katsayı koşulu: } a+b=0 \text{Bundan } b=-a **Adım 3 — P(1)+Q(1)=12 koşulunu ifade et** P(1) ifadesi: P(1)=a\cdot 2^{\,i}\cdot(-1)^{\,j} Q(1) ifadesi: Q(1)=b\cdot 2^{\,r}\cdot(-1)^{\,s} b = -a olduğu için toplam: P(1)+Q(1)=a\big(2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s}\big) Bu toplam 12’ye eşittir: a\big(2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s}\big)=12 **Adım 4 — Olası çokluk kombinasyonlarını dene (i,j) ve (r,s) ikişerli olarak** **Birinci durum:** (i,j)=(2,1),\ (r,s)=(2,1) 2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s} =2^{2}(-1)^{1}-2^{2}(-1)^{1} =-4+4 =0 Bu durumda sol taraf 0 olur, 12 elde edilemez. Geçersiz. **İkinci durum:** (i,j)=(2,1),\ (r,s)=(1,2) 2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s} =2^{2}(-1)^{1}-2^{1}(-1)^{2} =-4-2 =-6 a=\dfrac{12}{-6} a=-2 P(3) değeri (i=2 için): P(3)=a\cdot 4^{\,i} P(3)=-2\cdot 4^{2} P(3)=-2\cdot 16 P(3)=-32 Bu seçeneklerde yok. **Üçüncü durum:** (i,j)=(1,2),\ (r,s)=(2,1) 2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s} =2^{1}(-1)^{2}-2^{2}(-1)^{1} =2-(-4) =6 a=\dfrac{12}{6} a=2 P(3) değeri (i=1 için): P(3)=a\cdot 4^{\,i} P(3)=2\cdot 4^{1} P(3)=2\cdot 4 P(3)=8 Bu seçeneklerde mevcut. **Dördüncü durum:** (i,j)=(1,2),\ (r,s)=(1,2) 2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s} =2^{1}(-1)^{2}-2^{1}(-1)^{2} =2-2 =0 Bu durumda da 12 elde edilemez. Geçersiz. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ **TEMEL KAVRAMLAR:** 1. **Kökün çokluğu** - **Tanım:** Bir kökün aynı kök şeklinde polinomda birden fazla bulunmasıdır. - **Bu problemde:** Üçüncü dereceden polinomda iki farklı kök varsa birinin çokluğu 2, diğerinin 1’dir. 1. **Lider katsayıların iptali** - **Tanım:** İki polinomun toplamının derecesini düşürmek için en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının toplamının sıfır olması gerekir. - **Bu problemde:** a+b=0 koşulu, kübik terimlerin yok olmasını sağlar. **SIK YAPILAN HATALAR:** **❌ Kök çokluklarını göz ardı etme** - **Yanlış:** Üç ayrı kök varsaymak. - **Doğru:** Toplam çokluğu 3 olacak şekilde bir kökün çokluğu 2, diğerinin 1 olmalıdır. - **Neden yanlış:** Üçüncü dereceden polinom üç kökün toplam çokluğunu sağlar. - **Düzeltme:** Kökleri ve çoklukları açıkça belirtin. **❌ Lider katsayı koşulunu ihmal etme** - **Yanlış:** a+b=0 koşulunu kullanmamak. - **Doğru:** Lider katsayıların iptalini kullanmak gerekir. - **Neden yanlış:** Aksi halde toplamın derecesi yanlış belirlenir. - **Düzeltme:** Lider katsayıları hesaplayıp toplamın derecesini kontrol edin. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀