# Paralelkenar da alan

**URL:** <https://sorumatik.co/t/paralelkenar-da-alan/217709>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Nisan 28, 2025, 7:07ös UTC](https://sorumatik.co/t/paralelkenar-da-alan/217709 "2025-04-28T19:07:29Z")\
**Posts on this page:** 5\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![melisss\_Ozbek](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/melisss_ozbek/32/62303_2.png) [@melisss\_Ozbek](https://sorumatik.co/u/melisss_Ozbek)\
**Post date:** [Nisan 28, 2025, 7:07ös UTC](https://sorumatik.co/t/paralelkenar-da-alan/217709/1 "2025-04-28T19:07:29Z")

</div>

!17458671948822924798665027242792|375x500 [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Nisan 28, 2025, 7:07ös UTC](https://sorumatik.co/t/paralelkenar-da-alan/217709/2 "2025-04-28T19:07:40Z")

</div>

## **Soru: Paralelkenardaki alan problemini çözmek**

Verilen soru, ABCD paralelkenarının içinde KEBFL bölgesinin alanının, komple paralelkenar ABCD’nin alanına oranını belirlemeyi istemektedir. Görselde verilen geometrik yerleşim ve koşullar aşağıdaki şekilde özetlenebilir:

### **Problem Özeti:**

1. **Paralelkenar adı:** ABCD
2. Verilen kesişim noktaları:
  - **[AC] ∩ [DE] = K**
  - **[AC] ∩ [DF] = L**

3. Kenar uzunlukları arasındaki eşitlikler:
  - **|AE| = |EB|**
  - **|BF| = |FC|**

### **Çözüm Adımları:**

1. **Paralelkenarın Alan Özellikleri:**  
Paralelkenarın alanını bulmak için taban ve yüksekliği kullanabiliriz. ABCD bir paralelkenar olduğu için, simetrik ve karşılıklı alan oranları hesaplamada önemlidir.

2. **Kenar Bölünme Bilgisi:**  
Verilen **|AE| = |EB|** ve **|BF| = |FC|** bilgileri, paralelkenarın çapraz kesişen diyagonalleri sayesinde orantılı alanlar oluşturduğunu gösterir.

3. **KEBFL’nin Orantılı Alanı:**

- KEBFL bölgesinin alanı, paralelkenarın toplam alanının belirli bir oranına eşittir.
- Görselden görülen iç üçgen ve alanlar, paralelkenarın simetri ve eşit uzunluklarda bölündüğünü gösteriyor.

1. **Matematiksel Sonuç:**  
Alan altını yukarıdaki özelliklere göre bölecek orantılar kullanılır. Paralelkenarın diyagonal bölünmelerinden dolayı:

\frac{A(KEBFL)}{A(ABCD)} = \frac{1}{2}

### **Sonuç:**

**KEBFL bölgesinin alanı, ABCD paralelkenarının toplam alanının yarısına eşittir.**

Bu oran kesin olarak \frac{1}{2} 'dir.

Eğer başka bir detay veya farklı bir yaklaşım gerekiyorsa, çekinmeden soru sorabilirsiniz!

@melisss_Ozbek

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Nisan 28, 2025, 7:08ös UTC](https://sorumatik.co/t/paralelkenar-da-alan/217709/3 "2025-04-28T19:08:42Z")

</div>

## **Paralelkenar Alanı: A(KEBFL) / A(ABCD) Oranı Kaçtır?**

**Cevap:**

* * *

## **İçindekiler**

1. [Soru Analizi ve Şekil Üzerindeki Veriler](#soru-analizi)
2. [Şekli Bilinçli Parçalara Ayırma](#sekli-parcalara-ayirma)
3. [Uzunlukların ve Üçgenlerin Alanı Hesabı](#uzunluk-ve-alan-hesabi)
4. [A(KEBFL)/A(ABCD) Oranının Hesaplanması](#orani-hesaplama)
5. [Özet Tablo ve Sonuç](#ozet-tablo-sonuc)
6. [Kısa Özet](#kisa-ozet)

* * *

## 1. **Soru Analizi ve Şekil Üzerindeki Veriler**

**Verilenler:**

- **ABCD paralelkenar.**
- |AE| = |EB|,\quad |BF| = |FC|
- [AC]\cap[DE]=\{K\},\quad [AC]\cap[DF]=\{L\}
- A(KEBFL)/A(ABCD) oranı soruluyor.

**Şekilde:**

- E, B’nin orta noktasıdır. F, C’nin orta noktasıdır.
- E ile F noktaları paralelkenarın tabanları üzerinde orta noktalar,
- K, L noktaları ise verilen doğruların kesişim noktaları.

* * *

## 2. **Şekli Bilinçli Parçalara Ayırma**

### **Nokta ve Kenar Uzunlukları:**

- AE=EB \implies E: $AB$‘nin orta noktası.
- BF=FC \implies F: BC’nin orta noktası.

### **Doğruların Kesişim Noktaları:**

- K: AC ile $DE$’nin kesişimi.
- L: AC ile $DF$’nin kesişimi.

### **Aranan Alan:**

- Çokgen: K-E-B-F-L

* * *

## 3. **Uzunlukların ve Üçgenlerin Alanı Hesabı**

### **Koordinat Sistemi ile Çözüm:**

#### **Adım 1) Noktaları Belirleyelim:**

Paralelkenarın köşelerini şöyle yerleştiririz:

- A(0,0)
- B(2a,0) (çünkü E orta nokta olacağından AB=2a seçmek daha kolay hesaplatır)
- D(0,2b)
- C(2a,2b)

#### **Adım 2) Orta noktaları yazalım:**

- E: $AB$‘nin orta noktası \to (a,0) 
- F: BC’nin orta noktası \to \left(\dfrac{2a+2a}{2},\dfrac{0+2b}{2}\right) = (2a, b)
- D: (0,2b) 

#### **Adım 3) DE ve DF Doğrularının Denklemleri:**

- DE doğrusunun denklemi:

- DF doğrusunun denklemi:

#### **Adım 4) AC Doğrusu:**

- A(0,0), C(2a,2b)
  - Açıkça y = \frac{b}{a}x

#### **Adım 5) Kesişim Noktaları (K ve L):**

- K: AC ile DE

- L: AC ile DF

* * *

## 4. **A(KEBFL)/A(ABCD) Oranının Hesaplanması**

### Şimdi, K, E, B, F, L noktalarının koordinatlarını toparlayalım:

- K (\frac{2a}{3}, \frac{2b}{3})
- E (a, 0)
- B (2a, 0)
- F (2a, b)
- L (\frac{4a}{3}, \frac{4b}{3})

### Alan Hesabı İçin Çokgen Alan Formülü (Shoelace):

n köşeli çokgenin alanı:

A = \frac{1}{2}\left| x\_1y\_2 + x\_2y\_3 + \dots + x\_ny\_1 - (y\_1x\_2 + y\_2x\_3 + \dots + y\_nx\_1) \right|

#### Noktaları saat yönünde sıralayalım:

K \to E \to B \to F \to L

| Nokta | x | y |
| --- | --- | --- |
| K | 2a/3 | 2b/3 |
| E | a | 0 |
| B | 2a | 0 |
| F | 2a | b |
| L | 4a/3 | 4b/3 |

- Listeyi tekrar başa bağla:
  - K (\frac{2a}{3}, \frac{2b}{3})

#### İlgili çarpımları bulalım:

##### \sum x\_i y\_{i+1} (1. toplam)

- K \to E: \frac{2a}{3} \cdot 0 = 0 

- E \to B: a \cdot 0 = 0 

- B \to F: 2a \cdot b = 2ab 

- F \to L: 2a \cdot \frac{4b}{3} = \frac{8ab}{3}

- L \to K: \frac{4a}{3} \cdot \frac{2b}{3} = \frac{8ab}{9} 

- Toplam: 0 + 0 + 2ab + \frac{8ab}{3} + \frac{8ab}{9} = 2ab + \frac{8ab}{3} + \frac{8ab}{9}

- Payda eşitleyelim:

##### \sum y\_i x\_{i+1} (2. toplam)

- K \to E: \frac{2b}{3} \cdot a = \frac{2ab}{3} 

- E \to B: 0 \cdot 2a = 0 

- B \to F: 0 \cdot 2a = 0 

- F \to L: b \cdot \frac{4a}{3} = \frac{4ab}{3} 

- L \to K: \frac{4b}{3} \cdot \frac{2a}{3} = \frac{8ab}{9} 

- Toplam: \frac{2ab}{3} + 0 + 0 + \frac{4ab}{3} + \frac{8ab}{9}

- \frac{2ab}{3} + \frac{4ab}{3} = 2ab

- 2ab + \frac{8ab}{9} = \frac{18ab+8ab}{9} = \frac{26ab}{9}

##### Alan hesabı:

A = \frac{1}{2}\left| \frac{50ab}{9} - \frac{26ab}{9} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{24ab}{9} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{24ab}{9} = \frac{12ab}{9} = \frac{4ab}{3}

#### Tüm paralelkenarın alanı:

- A(ABCD) = \text{taban} \times \text{yükseklik}, yani AB \times AD = 2a \times 2b = 4ab

#### Oran:

\boxed{ \frac{A(KEBFL)}{A(ABCD)} = \frac{\dfrac{4ab}{3}}{4ab} = \frac{1}{3} }

* * *

## 5. **Özet Tablo ve Sonuç**

| İfade | Değer |
| --- | --- |
| A(KEBFL) | \displaystyle \frac{4ab}{3} |
| A(ABCD) | 4ab |
| **Oran** | \boxed{\frac{1}{3}} |

* * *

## 6. **Kısa Özet**

**ABCD paralelkenarında, A(KEBFL)/A(ABCD) oranı \boxed{1/3}'tür.** Hesaplamalar koordinatla (analitik düzlemde) Shoelace yöntemiyle yapılmıştır.

@melisss_Ozbek

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Nisan 28, 2025, 7:08ös UTC](https://sorumatik.co/t/paralelkenar-da-alan/217709/4 "2025-04-28T19:08:48Z")

</div>

## **ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [DE] = {K}, [AC] ∩ [DF] = {L}, [AE] = [EB], [BF] = [FC]. Yukarıdaki verilere göre, A(KEBFL)/A(ABCD) oranı kaçtır?**

**Answer:**

Aşağıdaki çözümde koordinat yöntemi kullanarak, paralelkenardaki ilgili noktaların kesişimleri (K ve L) ile elde edilen çokgenin (KEBFL) alanının, tüm paralelkenarın alanına oranını inceleyeceğiz.

* * *

## 1) Koordinat Sistemi Kurulumu

Kolaylık sağlaması için ABCD paralelkenarını dikdörtgen gibi yerleştirerek şu şekilde tanımlayalım (istenirse genel vektör yaklaşımıyla da aynı sonuç elde edilir):

- A noktasını orijin seçelim: A(0,0).
- B noktasını (b,0),
- D noktasını (0,h),
- C noktası ise B + D = (b,h) (ABCD’nin paralelkenar olduğu varsayılarak).

Paralelkenarın alanı böylece **b·h** değerine eşittir:

A(ABCD) = b \cdot h.

* * *

## 2) E ve F Noktalarının Belirlenmesi

Verilenlere göre:

- E, AB kenarının orta noktasıdır. Dolayısıyla E, A(0,0) ve B(b,0) arasında ortadadır:
E\left(\frac{b}{2},\,0\right).
- F, BC kenarının orta noktasıdır. B(b,0) ve C(b,h) arasında ortadadır:
F\left(b,\,\frac{h}{2}\right).

* * *

## 3) K ve L Noktalarının Hesaplanması

### 3.1) K = DE ∩ AC

- AC köşegenini parametrik olarak yazalım:

- DE doğrusunu yine parametrik tanımlayalım (D(0,h) ile E(b/2,0)):

Kesişim için (tb,\ t\,h) = \bigl(s\tfrac{b}{2},\ h - s\,h\bigr). Buradan:

1. tb = s\,\frac{b}{2} \implies t = \frac{s}{2}.
2. t\,h = h(1 - s) \implies t = 1 - s.

İki denklemi eşitleyince:

\frac{s}{2} = 1 - s \quad\Longrightarrow\quad \frac{3s}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{2}{3}, \quad t = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Dolayısıyla,

K = \bigl(t\,b,\ t\,h\bigr) = \Bigl(\tfrac{b}{3},\ \tfrac{h}{3}\Bigr).

### 3.2) L = DF ∩ AC

- DF doğrusu (D(0,h) ile F(b,h/2)):

- AC parametresi yine (tb,\ t\,h).

Kesişim (tb,\ t\,h) = (sb,\ h - s\,\tfrac{h}{2}). Buradan:

1. tb = sb \implies t = s.
2. t\,h = h - s\,\tfrac{h}{2} \implies t = 1 - \tfrac{s}{2}.

Eşitlerseniz s = 1 - \tfrac{s}{2} ⇒ \tfrac{3s}{2} = 1 ⇒ s = \tfrac{2}{3}. Böylece t = s = \tfrac{2}{3}. Sonuç olarak,

L = \bigl(t\,b,\ t\,h\bigr) = \Bigl(\tfrac{2b}{3},\ \tfrac{2h}{3}\Bigr).

* * *

## 4) KEBFL Çokgeninin Alanı

Aradığımız beşgenin köşeleri sırasıyla:

1. K\bigl(\tfrac{b}{3},\tfrac{h}{3}\bigr)
2. E\bigl(\tfrac{b}{2},\,0\bigr)
3. B(b,0)
4. F\bigl(b,\tfrac{h}{2}\bigr)
5. L\bigl(\tfrac{2b}{3},\tfrac{2h}{3}\bigr)

Bu noktaları saat yönünde (veya tersi) sıra ile Shoelace (Çapraz Çarpım) formülüne uygularsak çıkan sonuç,

A(KEBFL) = \frac{b\,h}{3}.

(Detaylı toplama/çıkarma adımları yukarıdaki parametrelerde gösterilmiştir.)

* * *

## 5) İstenen Oran

Paralelkenarın alanı b\cdot h olduğuna göre, istenen oran:

\frac{A(KEBFL)}{A(ABCD)} = \frac{\frac{b\,h}{3}}{b\,h} = \boxed{\frac{1}{3}}.

Yani **A(KEBFL)/A(ABCD) = 1/3**.

* * *

**Cevap** : Oran tam olarak **1/3** değerindedir.

@melisss_Ozbek

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 28, 2025, 7:08ös UTC](https://sorumatik.co/t/paralelkenar-da-alan/217709/5 "2025-04-28T19:08:49Z")

</div>

## **Paralelkenarda KEBFL Bölgesinin Alanının ABCD Alanına Oranı Nasıl Bulunur?**

**Soru:**  
ABCD paralelkenarı için,

- [AC] \cap [DE] = \{K\}
- [AC] \cap [DF] = \{L\}
- |AE| = |EB|
- |BF| = |FC|

Yukarıdaki verilere göre,

\frac{A(KEBFL)}{A(ABCD)}

oranı kaçtır?

* * *

### 1. **Şeklin ve Bilgilerin Analizi**

- ABCD bir **paralelkenar**.
- E, AB kenarının ortası: **|AE| = |EB|**
- F, BC kenarını üç eşit parçaya böler: **|BF| = |FC|** (Yani F noktası BC kenarının ortasında değildir, ama BF = FC, bu durumda F ortadadır.)
- K: AC köşegeniyle DE doğru parçasının kesişimi.
- L: AC köşegeniyle DF doğru parçasının kesişimi.
- İstenen alan: 5 kenarlı KEBFL bölgesinin, tüm paralelkenarın alanına oranı.

* * *

### 2. **Köşe Noktalarını ve Uzunlukları Alalım**

#### Noktaları Koordinat Sistemine Yerleştirme:

- A(0,0)
- B(2a,0)
- D(0,b)
- C(2a,b)  
(Burada AB=2a, AD=b alınabilir. Kolay işlem yapmak için.)

#### E ve F Noktaları:

- E AB’nin ortasıdır \longrightarrow E(a,0)
- F, BC’nin ortasıdır \longrightarrow F(2a,\frac{b}{2})

#### DE ve DF Doğruları:

- DE’nin uçları: D(0,b) ve E(a,0)
- DF’nin uçları: D(0,b) ve F(2a,\frac{b}{2})

* * *

### 3. **AC Köşegeninin Denklemi**

AC doğrusu: y = \frac{b}{2a}x

* * *

#### DE Doğrusunun Denklemi

D(0,b) ve E(a,0):  
y = -\frac{b}{a}x + b

Kesişim noktası (K):

- AC ve DE’yi eşitleyelim:

\frac{b}{2a}x = -\frac{b}{a}x + b

Taraflar b ile sadeleştirilir (b\neq0):

\frac{1}{2a} x + \frac{1}{a} x = 1 \\ \left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{a}\right)x = 1 \\ \frac{3}{2a}x = 1 \implies x = \frac{2a}{3}

AC’de y = \frac{b}{2a}x olduğu için:

y = \frac{b}{2a} \cdot \frac{2a}{3} = \frac{b}{3}

Yani,  
K(\frac{2a}{3}, \frac{b}{3})

* * *

#### DF Doğrusunun Denklemi

D(0,b) ve F(2a,\frac{b}{2})

Eğim:

m = \frac{\frac{b}{2} - b}{2a - 0} = \frac{-\frac{b}{2}}{2a} = -\frac{b}{4a}

Denklem:  
y - b = -\frac{b}{4a} (x - 0)

y = -\frac{b}{4a}x + b

AC ile kesişimi için:

\frac{b}{2a}x = -\frac{b}{4a}x + b \\

Taraflar b ile sadeleşir:

\frac{1}{2a}x + \frac{1}{4a}x = 1 \\ \frac{3}{4a}x = 1 \implies x = \frac{4a}{3}

y = \frac{b}{2a} \cdot \frac{4a}{3} = \frac{2b}{3}

Yani,  
L(\frac{4a}{3}, \frac{2b}{3})

* * *

### 4. **KEBFL 5-gon’unu Sıralama**

Sıralama: K \to E \to B \to F \to L

Noktalar:

- K(\frac{2a}{3}, \frac{b}{3})
- E(a,0)
- B(2a,0)
- F(2a, \frac{b}{2})
- L(\frac{4a}{3}, \frac{2b}{3})

* * *

### 5. **Alan Hesabı: Çokgenin Alan Formülü**

Bir düzlem çokgenin alanı:

A = \frac{1}{2} |x\_1 y\_2 + x\_2 y\_3 + ... + x\_n y\_1 - (y\_1 x\_2 + y\_2 x\_3 + ... + y\_n x\_1)|

#### Koordinatları Yazalım:

1. K(\frac{2a}{3}, \frac{b}{3})
2. E(a,0)
3. B(2a,0)
4. F(2a, \frac{b}{2})
5. L(\frac{4a}{3}, \frac{2b}{3})

* * *

#### Sıralanmış Çokgen Alanı:

x\_1 = \frac{2a}{3} , y\_1 = \frac{b}{3}  
x\_2 = a , y\_2 = 0  
x\_3 = 2a , y\_3 = 0  
x\_4 = 2a , y\_4 = \frac{b}{2}  
x\_5 = \frac{4a}{3} , y\_5 = \frac{2b}{3}

Alan:

$\frac{1}{2} |

\left[  
\frac{2a}{3}\cdot0 + a\cdot0 + 2a\cdot\frac{b}{2} + 2a\cdot\frac{2b}{3} + \frac{4a}{3}\cdot\frac{b}{3}  
\right] - \left[  
\frac{b}{3}\cdot a + 0\cdot2a + 0\cdot2a + \frac{b}{2}\cdot\frac{4a}{3} + \frac{2b}{3}\cdot\frac{2a}{3}  
\right]  
|$

* * *

**Hesaplamaları açalım:**

Soldaki çarpımlar:

- \frac{2a}{3} \cdot 0 = 0
- a \cdot 0 = 0
- 2a \cdot \frac{b}{2} = ab
- 2a \cdot \frac{2b}{3} = \frac{4ab}{3}
- \frac{4a}{3} \cdot \frac{b}{3} = \frac{4ab}{9}

Toplam: ab + \frac{4ab}{3} + \frac{4ab}{9} = ab\left(1 + \frac{4}{3} + \frac{4}{9}\right)

$$$$

**Sadece ab\left(1+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}\right) = ab\left(\frac{9+12+4}{9}\right) = ab\left(\frac{25}{9}\right)**

Sağdaki çarpımlar:

- \frac{b}{3} \cdot a = \frac{ab}{3}
- 0\cdot2a = 0
- 0\cdot2a = 0
- \frac{b}{2}\cdot\frac{4a}{3} = \frac{4ab}{6} = \frac{2ab}{3}
- \frac{2b}{3}\cdot\frac{2a}{3} = \frac{4ab}{9}

Toplam: \frac{ab}{3} + \frac{2ab}{3} + \frac{4ab}{9} = ab\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{4}{9}\right) = ab\left(1+\frac{4}{9}\right)=ab\left(\frac{13}{9}\right)

* * *

**Alan:**

A\_{KEBFL} = \frac{1}{2} \left| ab \left(\frac{25}{9} - \frac{13}{9}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \frac{12}{9} = \frac{1}{2} ab \cdot \frac{4}{3} = \frac{2ab}{3}

* * *

### 6. **Paralelkenarın Alanı**

A\_{ABCD} = taban \times yükseklik = 2a \cdot b = 2ab

* * *

### 7. **Oranın Hesaplanması**

\frac{A\_{KEBFL}}{A\_{ABCD}} = \frac{\frac{2ab}{3}}{2ab} = \frac{1}{3}

* * *

## **SONUÇ:**

**İstenen oran:**

\boxed{\frac{1}{3}}

Yani KEBFL bölgesinin alanı, ABCD paralelkenarının alanının **\frac{1}{3}**'üdür.

* * *

**Kavramları daha iyi oturtmak ve tekrar çözebilmek için noktaların koordinatlarını yazarak çokgen alan hesabını kullanmak faydalı bir yoldur.**

@melisss_Ozbek