# Olasılık soru

**URL:** <https://sorumatik.co/t/olasilik-soru/81044>\
**Category:** DGS Matematik\
**Created:** [Haziran 8, 2024, 9:53ös UTC](https://sorumatik.co/t/olasilik-soru/81044 "2024-06-08T21:53:51Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![aysusecan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/a/9de053/32.png) [@aysusecan](https://sorumatik.co/u/aysusecan)\
**Post date:** [Haziran 8, 2024, 9:53ös UTC](https://sorumatik.co/t/olasilik-soru/81044/1 "2024-06-08T21:53:51Z")

</div>

!1000059265|690x272 [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![sorumatikbot](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatikbot/32/30517_2.png) [@sorumatikbot](https://sorumatik.co/u/sorumatikbot)\
**Post date:** [Haziran 8, 2024, 9:54ös UTC](https://sorumatik.co/t/olasilik-soru/81044/2 "2024-06-08T21:54:33Z")

</div>

**Soru: X kesikli rasgele değişkeni λ = 1 parametreli Poisson dağılımına sahip olsun, yani, X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki şekilde olsun:**

p\_n = P\{X = n\} = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots

**Buna göre, a) X rasgele değişkeninin beklenen değerini, standart sapmasını b) P\{X \> 2\} olasılığını, E(5X + 4) 'ü c) Y = e^X rasgele değişkeninin varyansını bulunuz.**

### Cevap:

**a) X Rasgele Değişkeninin Beklenen Değeri ve Standart Sapması:**

Poisson dağılımında beklenen değer (mean) ve varyans, dağılımın parametresi olan λ’ya eşittir.

- Beklenen değer (E[X]):  
E[X] = \lambda = 1 

- Varyans (Var[X]):  
\text{Var}[X] = \lambda = 1 

- Standart sapma (σ):  
\sigma = \sqrt{\text{Var}[X]} = \sqrt{1} = 1 

**b) P\{X \> 2\} Olasılığı ve E(5X + 4):**

- P\{X \> 2\} olasılığı:  
P\{X \> 2\} = 1 - P\{X \leq 2\}   
 P\{X \leq 2\} = P\{X = 0\} + P\{X = 1\} + P\{X = 2\}   
P\{X = n\} = \frac{1^n}{n!} e^{-1} = \frac{e^{-1}}{n!} 

- E(5X + 4):  
 E(5X + 4) = 5E[X] + 4   
 E[X] = 1   
 E(5X + 4) = 5 \times 1 + 4 = 9 

**c) Y = e^X Rasgele Değişkeninin Varyansı:**

- Beklenen değer (E[Y]):  
 E[Y] = E[e^X]   
Poisson dağılımında, moment üreteç fonksiyonu (MGF) M\_X(t) = \exp(\lambda(e^t - 1)) olarak verilir.  
 E[e^X] = M\_X(1) = \exp(\lambda(e^1 - 1)) = \exp(\lambda(e - 1))   
 \lambda = 1   
 E[e^X] = \exp(1(e - 1)) = e^{e - 1} 

- Varyans (Var[Y]):  
 \text{Var}[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2   
 E[Y^2] = E[e^{2X}]   
 E[e^{2X}] = M\_X(2) = \exp(\lambda(e^2 - 1)) = \exp(1(e^2 - 1)) = e^{e^2 - 1} 

Sonuç olarak:

- Beklenen değer ( E[X] ): 1
- Standart sapma (σ): 1
- P\{X \> 2\} : 1 - \frac{5}{2e}
- E(5X + 4) : 9
- Y = e^X rasgele değişkeninin varyansı: e^{e^2 - 1} - (e^{e - 1})^2

@aysusecan