Soru:
C kümesi A kümesinin bir alt kümesi olmak üzere B ∩ C kümesinin elemanları tek sayılardan oluşmaktadır. Buna göre bu koşulu sağlayan 4 elemanlı kaç tane C kümesi vardır?
Çözüm:
1. A Kümesini Bulalım:
A kümesi şu şekilde verilmiştir:
Bu, $x$’in 0 ile 10 arasında tam sayı olduğunu ifade eder (0 ve 10 dahil değil).
A kümesini yazalım:
2. B Kümesini Bulalım:
B kümesi şu şekilde verilmiştir:
Bu, $k$’nin 1 ile 6 arasında tam sayı olduğunu ifade eder (1 ve 6 dahil değil).
k yerine değerler yazalım:
Şimdi y = k + 3 olduğu için:
- k = 2 \implies y = 2 + 3 = 5
- k = 3 \implies y = 3 + 3 = 6
- k = 4 \implies y = 4 + 3 = 7
- k = 5 \implies y = 5 + 3 = 8
Bu durumda B kümesi:
3. B ∩ C Kümesini Belirleyelim:
C kümesi A kümesinin bir alt kümesi olmak zorunda.
A kümesinin tek sayıları:
Bu elemanlar içerisinden C kümesi seçildiğinde B ∩ C kümesinin elemanları tek sayılardan oluşmalıdır.
B kümesinden tek sayılar:
Dolayısıyla B ∩ C \subseteq \{5, 7\} olmalıdır.
4. C Kümesini 4 Elemanlı Seçme:
C kümesi A kümesinin tek sayı alt kümesi olduğundan, C kümesinin elemanlarını A_{tek} = \{1, 3, 5, 7, 9\} kümesinden seçebiliriz. Bu seçimde:
- B ∩ C’nin elemanları sadece \{5, 7\} olabilir.
- C kümemizin toplamda 4 elemanlı olması gerekir.
4 Elemanlı Alt Kümeler İçin Hesaplama:
A_{tek} kümesinden \{5, 7\} seçilmiş durumda. Şimdi geri kalan elemanlardan \{1, 3, 9\} içerisinden 2 eleman daha seçmeliyiz.
3 elemandan 2 eleman seçmenin kombinasyonu:
Sonuç:
Koşulu sağlayan 4 elemanlı C kümesi sayısı 3 tanedir.
| Seçim Şekli | C Kümesi Örneği |
|---|---|
| 1 | \{5, 7, 1, 3\} |
| 2 | \{5, 7, 1, 9\} |
| 3 | \{5, 7, 3, 9\} |
Cevap: C) 30
A kümesi ve B kümesi önce açıkça belirleyelim:
A = { x ∈ ℤ │ 0 < x < 10 } = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B = { y │ y = k + 3, 1 < k < 6, k ∈ ℤ }
k = 2,3,4,5 ⇒ B = {5,6,7,8}
C ise A’nın bir alt kümesi ve |C| = 4 olacak. Koşul: “B ∩ C kümesinin elemanları tek sayılardan oluşmaktadır.” Yani C’nin, B ile ortak olan elemanları arasında 6 veya 8 bulunamaz (çünkü onlar çift).
- A’dan çıkarılması yasak olanlar: E₁ = {6,8}
- Geriye kalan A\E₁ = {1,2,3,4,5,7,9} — toplam 7 eleman
Bu 7 elemandan 4’lü alt kümeler seçersek, hiçbir 4-lü küme E₁’den (6 veya 8’den) seçmeyeceğinden B∩C’de ancak {5,7} veya boş küme olabilir. Ancak sınav seçenekleri arasında “35” yok. Görülen o ki soruda “B∩C”’nin mutlaka en az bir ortak elemana sahip olması da isteniyor. Boş kesişim durumunu (yani C’nin B ile hiçbir ortak elemanı olmaması) geçersiz kabul edip onları çıkarmamız gerekiyor.
• Boş kesişime yol açan C kümeleri:
A\E₁ ∖ B = {1,2,3,4,9} — bunların içinden 4 seçen C(5,4)=5 altküme var.
• Toplam E₁’yi içermeyen 4’lü altküme sayısı:
C(7,4) = 35
• Geçerli sayısı = 35 − 5 = 30
Sonuç olarak, sorunun doğru cevabı 30’dur.
Aşağıdaki soru:
A = {x | 0 < x < 10 , x ∈ ℤ} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {y | y = k + 3 , 1 < k < 6 , k ∈ ℤ} = {5, 6, 7, 8}
C, A kümesinin 4 elemanlı bir alt kümesi olacak ve (B ∩ C) kümesinin elemanları yalnızca tek sayılardan oluşacaktır. Buna göre bu koşulu sağlayan toplam kaç tane C kümesi vardır?
Cevap:
Table of Contents
- Problemin Özeti
- Temel Bilgiler ve Küme Tanımları
- Koşulların Analizi
- Adım Adım Çözüm
- Özet Tablo
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Problemin Özeti
• A kümesi, 1’den 9’a kadar tam sayıları içeren (9 elemanlı) bir kümedir.
• B kümesi, {5, 6, 7, 8} olarak bulunur.
• C, A’nın 4 elemanlı alt kümesi. Koşul: (B ∩ C) sadece tek sayılardan oluşmalıdır.
2. Temel Bilgiler ve Küme Tanımları
- A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- B = {5, 6, 7, 8}
- C ⊆ A ve |C| = 4 (C’nin 4 elemanı var).
- (B ∩ C)’deki tüm elemanların tek olması isteniyor.
Not edelim ki B içindeki tek sayılar 5 ve 7; çift sayılar ise 6 ve 8’dir.
3. Koşulların Analizi
(B ∩ C) kümesinde çift sayı olmaması için:
- B’nin çift elemanları olan 6 ve 8 C’de bulunmamalıdır; aksi hâlde B ∩ C içinde çift sayı olur ve koşulu ihlâl eder.
- B’nin tek elemanları 5 ve 7, C’de olabilir veya olmayabilir; yalnızca çift sayı 6 ya da 8 eklemememiz gerekiyor.
A kümesinden 6 ve 8’i çıkardığımızda geriye {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} kalır. Öyleyse C ancak bu 7 eleman arasından seçilmek zorundadır.
4. Adım Adım Çözüm
-
A kümesinin elemanlarını belirle:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. -
B kümesini hesapla:
k ∈ {2, 3, 4, 5} ⇒ B = {5, 6, 7, 8}. -
B ∩ C’nin tek sayıdan oluşma koşulu:
- B’nin çift elemanları (6 ve 8) C’ye giremez.
- Dolayısıyla C ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}.
-
4 elemanlı tüm C’ler:
Yukarıdaki 7 elemandan 4’lü alt kümelerin sayısı = C(7, 4) = 35. -
Ek olarak “B ∩ C tek sayılardan oluşsun” ibaresi çoğunlukla “kesişim boş olmasın” şeklinde de yorumlanır. Zira kesişim boş olsa da “tüm elemanları tektir” durumu teknik olarak sağlanmış olur (boş küme herhangi bir sayı içermez).
- Sorudaki “(B ∩ C) nin elemanları tek sayılardan oluşmaktadır” ifadesinin genelde boş kesişimi dışladığını kabul edersek, C mutlaka B’nin tek elemanlarından (5 veya 7) en az birini içermelidir.
-
Kesişimin boş olmamasını sağlamak:
- En az bir defa 5 veya 7 kullanılmalı.
- 7 elemanlık {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} kümesinden 4 eleman seçerken 5 ve 7’nin ikisini de almayan durumları çıkaracağız.
– Toplam 4’lü seçim: 35.
– 5 ve 7’yi hiç almadan 4 seçmek: Elemanları {1, 2, 3, 4, 9} içinden 4’lü seçilir ⇒ C(5, 4) = 5.– Dolayısıyla kesişim boş olmayan (yani en az bir 5 veya 7 içeren) 4 elemanlı C sayısı = 35 - 5 = 30.
5. Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Bulunan Değer |
|---|---|---|
| 1. A’yı belirle | A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} | 9 eleman |
| 2. B’yi belirle | k ∈ {2,3,4,5} ⇒ B = {5,6,7,8} | 4 eleman |
| 3. Çiftler dışlanmalı (6 ve 8 C’de olamaz) | C ⊆ {1,2,3,4,5,7,9} | 7 eleman |
| 4. 4 elemanlı tüm C’ler (kısıtsız) | C(7, 4) = 35 | 35 alt küme |
| 5. Kesişim boş ise (5 ve 7’nin ikisi de yok) | Seçim {1,2,3,4,9} arasından 4’lü ⇒ C(5, 4) = 5 | 5 alt küme |
| 6. En az bir 5 veya 7 içeren 4’lü C | 35 - 5 = 30 | 30 |
6. Sonuç ve Kısa Özet
Koşulu sağlayan 4 elemanlı (C) kümelerinin sayısı = 30’dur. Bu sonuca ulaşırken, C’nin A’nın 4 elemanlı alt kümesi olması, B’nin çift elemanlarını dışlaması ve kesişimin tamamen tek sayılardan oluşacak (dolaylı olarak 5 ve/veya 7 içeren) şekilde tasarlanması dikkate alınmıştır.
Doğru yanıt: 30 (Seçenek C).