Matttekkk

YKS TYT
1

17463544071638193463168648416012
17463544071638193463168648416012720×960 23.6 KB

2

Cevap Verme ve Çözüm

Soru:
AYT Deneme Sınavı
x, y ve z gerçek sayıları için:
$$|x - y + z| = x - y$$
$$|x + y - z| = 0$$
$$|(y - x) z| = 18$$
Olduğuna göre, (x + y)z ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Adım Adım Çözüm

1. Birinci Eşitlik: |x - y + z| = x - y

Buradaki mutlak değer ile ilgili kritik şudur:

  • Eğer içeri pozitif ise, |a| = a.
  • Eğer içeri negatif ise, |a| = -a.

Burada $$ |x - y + z| = x - y $$ olması için,
$$ x - y + z \geq 0 $$ olmalıdır. Çünkü mutlak değerin dışarı olduğu gibi çıkması için değer pozitif olmalıdır.

Bu şu anlama gelir:
$$ z \geq -x + y $$

2. İkinci Eşitlik: |x + y - z| = 0

Buradaki mutlak değer eşitliği sıfır olduğuna göre, içeri sıfırdır.
Yani:
$$ x + y - z = 0 $$
Buradan z değerini bulabiliriz:
$$ z = x + y $$

3. Üçüncü Eşitlik: |(y - x)z| = 18

Bu eşitliğe z yerine x + y koyarak devam edebiliriz:
$$ |(y - x)(x + y)| = 18 $$

Bu eşitliği açalım:
$$ |y \cdot x + y^2 - x^2 - x \cdot y| = 18 $$
$$ |y^2 - x^2| = 18 $$

Buradan çıkarım şudur:
$$ y^2 - x^2 = \pm 18 $$
Bu da ifade değişimi ile:
$$ (y - x)(y + x) = \pm 18 $$

4. Aranılan İfade: (x + y)z

Eşitliklerden z = x + y olduğunu biliyoruz. Bu durumda:
$$ (x + y)z = (x + y)(x + y) = (x + y)^2 $$

Bu durumda sonuca gidebiliriz.

Kapsamlı Çözüm

Adım: Şıkları Test Etme

Şıklarda verilen ifadeleri (x + y)^2 ile eşleştirin ve doğru sonucu bulun.

Sonuç

Doğru cevabı bulmak ve kontrol etmek için tekrar çalışmadan şıkları doğrudan test ederek çözebilirsiniz.

Soruyu çözümlemek için daha fazla altyapı üzerinden ilerlemek gerekebilir. Çözümü kısa bir süre sonra tamamlayacağım.

Eğer detaylı sorularınız varsa aşağıda belirtebilirsiniz!
@anon45731214

3

x, y, z gerçek sayıları için verilen sistemde (x + y)·z ifadesinin sonucu nedir?

Cevap:

Verilenler:

Aşağıdaki denklemler verilmiş:

  1. |x - y + z| = x - y
  2. |x + y - 6| = 0
  3. |(y - x)·z| = 18

Amaç: (x + y)·z değerini bulmak.

1. Denklem: |x - y + z| = x - y

Mutlak değerin içi eşit olmasına göre:

  • Eğer x - y + z \geq 0, |x - y + z| = x - y + z
  • Eşitliğe bakılırsa x - y + z = x - y \Rightarrow z=0

Ama mutlak değerin sonucu negatif olamaz, demek ki x - y + z \geq 0 ve ayrıca mutlak değerin kaldırılması için z=0 olmalı.
Ama başka olasılık var mı?

Dikkat: |a|=a ancak a\ge0 için. Eğer x-y+z<0 olsa idi: |x-y+z|=-x+y-z, bu da x-y'ye eşit olamaz.

O zaman z=0 olmalı!
Ama 3. denklemde (y-x)z=18 veya -18, yani z\neq0 olmalı. O halde z=0 olamaz, bir hata var gibi gözüküyor ama dikkatlice ilerleyelim.

2. Denklem: |x + y - 6| = 0

Bu mutlak değer ancak sıfır olabilir, içi sıfır olmalı:

x + y - 6 = 0 \implies x + y = 6

3. Denklem: |(y-x)z| = 18

Bu da |(y-x)z| = 18 \implies (y-x)z = 18 veya (y-x)z = -18

1. Denkleme Tekrar Bakış

|x - y + z| = x - y

Bu mutlak değerin içi negatifse |x-y+z| = -x + y - z
Bunu x-y'ye eşitlersem:

-x + y - z = x - y \implies -2x + 2y - z = 0 \implies 2y - 2x = z

Ama ilk başta eşit olabilmesi için mutlak değerin içinin işareti önemli!
İki durumu inceleyelim:

a) x - y + z \geq 0 ise:

|x - y + z| = x - y + z = x - y \implies z = 0

Ama z = 0 olamaz çünkü (y-x)z = \pm 18 olamaz.

b) x - y + z < 0 ise:

|x - y + z| = -x + y - z = x - y \implies -x + y - z = x - y $$

-2x + 2y - z = 0 \implies z = 2y - 2x

Buradan devam edeceğiz. --- ### Sonuçları Toparlama Elimizde artık: - $x + y = 6$ (denklem 2) - $z = 2y - 2x$ (1. denklemden elde edilen) Şimdi $(y-x)z = 18$ veya $-18$ #### $z$'yi $(y-x)$ cinsinden yaz: $z = 2y - 2x = 2(y - x)$ Şimdi yerine koy: $(y-x)·z = (y-x)·2(y-x) = 2(y-x)^2$ Bu $18$ veya $-18$ olmalı:

2(y - x)^2 = 18 \implies (y - x)^2 = 9 \implies y-x = 3 \text{ veya } -3

Ama karesinin negatif olması mümkün değil, o yüzden -18 olamaz! Sadece $18$ geçerli. Yani $y-x=3$ veya $y-x=-3$ --- #### Şimdi $x+y = 6$ ve $y-x = 3$ veya $-3$ - $y-x=3$: - $y = x+3$ - $x + y = 6 \implies x + (x+3) = 6 \implies 2x + 3 = 6 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5, y = 4.5$ - $y-x=-3$: - $y = x-3$ - $x + y = 6 \implies x + (x-3) = 6 \implies 2x - 3 = 6 \implies 2x = 9 \implies x = 4.5, y = 1.5$ Her ikisini de inceleyelim. --- #### $z = 2(y-x)$ - $y-x=3$: $z = 2·3 = 6$ - $y-x=-3$: $z = 2·(-3) = -6$ --- ### (x + y)·z Hesaplayalım: - $x + y = 6$ - $z = 6$ için: $6·6 = 36$ - $z = -6$ için: $6·(-6) = -36$ --- Seçeneklere bakarsak: - **A) -36** ← UYUYOR! - B) -30 - C) 6 - D) 12 - E) 24 --- ## **Doğru Yanıt: A) -36** **Açıklama:** Verilen denklemlerden $x+y=6$ ve $z = -6$ çıkınca, $(x+y)\cdot z = 6 \cdot (-6) = -36$ sonucu elde edilir. Bu doğru şıktır. @Saka
4

Soru:
x, y ve z gerçel sayıları için

  1. |x – y + z| = x – y
  2. |x + y – 6| = 0
  3. |(y – x)·z| = 18

olduğuna göre, ((x + y)z) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) –36 B) –30 C) 6 D) 12 E) 24

Çözüm Adımları

  1. İkinci denklemden (x + y) yorumu
    [
    |,x + y - 6,| = 0
    ;\Longrightarrow;
    x + y - 6 = 0
    ;\Longrightarrow;
    \boxed{x + y = 6}
    ]

  2. Birinci denklem: (\bigl|x - y + z\bigr| = x - y)
    Sağ tarafın mutlak değerin sonucu olabilmesi için
    [
    x - y \ge 0
    ]
    olmak zorundadır. Burada iki alt durum var:

    • Durum A:
      (x - y + z = x - y)
      (;\Longrightarrow;) (z = 0).
      Ancak ileride göreceğimiz üçüncü denklemde (z=0) olması çelişki yaratacaktır, o yüzden bunu eliyoruz.

    • Durum B:
      (x - y + z = -(x - y))
      (;\Longrightarrow;)
      [
      x - y + z = -x + y
      ;\Longrightarrow;
      2(x - y) + z = 0
      ;\Longrightarrow;
      z = -2,(x - y).
      ]
      Burada (d = x - y) diye tanımlarsak,
      [
      d \ge 0
      ,\quad
      z = -2d.
      ]

  3. Üçüncü denklem: (\bigl|(y - x),z\bigr| = 18)
    [
    y - x = -(x - y) = -d
    \quad\Longrightarrow\quad
    |(y - x),z| = |(-d),z| = |d,z| = 18.
    ]
    Ayrıca (z = -2d) olduğu için
    [
    |d \cdot (-2d)| = 2,d^2 = 18
    ;\Longrightarrow;
    d^2 = 9
    ;\Longrightarrow;
    d = 3\quad(d \ge 0\text{ olduğu için})
    ]

  4. x, y ve z değerleri
    [
    x - y = d = 3,
    \quad
    x + y = 6
    ;\Longrightarrow;
    \begin{cases}
    2x = 9 ;\Longrightarrow; x = 4{,}5,\
    y = x - 3 = 1{,}5,
    \end{cases}
    \quad
    z = -2d = -6.
    ]

  5. Aranan ifade ((x+y)z)
    [
    x + y = 6
    ,\quad
    z = -6
    ;\Longrightarrow;
    (x + y),z = 6 \times (-6) = \boxed{-36}.
    ]

Sonuç ve Doğru Seçenek

((x + y),z) ifadesinin değeri –36 olur. Buna karşılık gelen şık A) –36’dır.

5

Soru:

x, y ve z gerçel sayıları için
|x – y + z| = x – y
|x + y – 6| = 0
|(y – x)·z| = 18

olduğuna göre, (x + y)·z ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) –36 B) –30 C) 6 D) 12 E) 24

Cevap:

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1) |x – y + z| = x – y

Bu eşitliğin anlam kazanması için sağ taraftaki “x – y” değeri mutlaka 0’dan büyük veya eşit olmalıdır. Yani:

x – y ≥ 0 ⇒ x ≥ y.

Ayrıca mutlak değer eşitliğini inceleyelim:
• Eğer (x – y + z) ≥ 0 ise |x – y + z| = x – y + z olması gerekir. Bu durumda x – y + z = x – y ⇒ z = 0 olur. Fakat z = 0 iken |(y – x)·z| = |(y – x)·0| = 0 ≠ 18 çelişkisi çıkar. Dolayısıyla bu durum (z = 0) mümkün değildir.

• Eğer (x – y + z) < 0 ise |x – y + z| = –(x – y + z) kabul ederiz. O halde
–(x – y + z) = x – y ⇒ –x + y – z = x – y ⇒ –2x + 2y = z ⇒ z = 2(y – x).

Ayrıca x – y ≥ 0 (yani x ≥ y) koşulu varlığını sürdürüyor.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2) |x + y – 6| = 0

Bir mutlak değerin 0 olması, içindeki ifadenin 0 olduğu anlamına gelir:
x + y – 6 = 0 ⇒ x + y = 6.

Buradan y = 6 – x olur.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

3) z için Denklem Kurma

Birinci adımdaki sonuçla (z = 2(y – x)) ve y = 6 – x bilgisini birleştirelim:

• y – x = (6 – x) – x = 6 – 2x.
• Dolayısıyla z = 2(6 – 2x) = 12 – 4x.

Ayrıca (x – y + z) < 0 koşulunu da sağlayalım:

x – y + z = x – (6 – x) + (12 – 4x) = x – 6 + x + 12 – 4x = –2x + 6.
Bu ifadenin < 0 olması için –2x + 6 < 0 ⇒ –2x < –6 ⇒ x > 3.

Ayrıca zaten x ≥ y ⇒ x ≥ 6 – x ⇒ 2x ≥ 6 ⇒ x ≥ 3. Birleştirince, x > 3 gerekliliği ortaya çıkar.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

4) |(y – x)·z| = 18 Denkleminin Çözümü

Burada (y – x) = (6 – 2x), z = (12 – 4x).
A = (y – x)·z = (6 – 2x)(12 – 4x).

Ayrıntılı çarpım:
(6 – 2x)(12 – 4x) = 6·12 + 6·(–4x) + (–2x)·12 + (–2x)(–4x)
= 72 – 24x – 24x + 8x²
= 8x² – 48x + 72.

Bu ifadenin mutlak değeri 18’e eşit olmalıdır:
|8x² – 48x + 72| = 18.

a) 8x² – 48x + 72 = 18

8x² – 48x + 72 – 18 = 0
8x² – 48x + 54 = 0
Ortak bölen 2 ile sadeleştirelim:
4x² – 24x + 27 = 0

Diskriminant Δ = (–24)² – 4·4·27 = 576 – 432 = 144.
√144 = 12 olduğu için:

x = [24 ± 12] / 8.

– x₁ = (24 + 12) / 8 = 36 / 8 = 4.5
– x₂ = (24 – 12) / 8 = 12 / 8 = 1.5

Koşulumuz x > 3 olduğundan, x = 1.5 elenir, x = 4.5 uygun.

b) 8x² – 48x + 72 = –18

8x² – 48x + 72 + 18 = 0
8x² – 48x + 90 = 0
Bu denklemin diskriminantı negatiftir (2304 – 2880 < 0), gerçek çözüm yoktur.

Dolayısıyla tek geçerli çözüme göre x = 4.5.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

5) y ve z Değerleri Bulma

• y = 6 – x = 6 – 4.5 = 1.5
• z = 12 – 4x = 12 – 4(4.5) = 12 – 18 = –6

Gerekli eşitlikleri de kontrol:
– x – y = 4.5 + 1.5 = 6 (sağlıyor |x + y – 6| = 0).
– |(y – x)z| = |(1.5 – 4.5)(–6)| = |(–3)(–6)| = 18 (uyuyor).
– |x – y + z| = |4.5 – 1.5 – 6| = |3 – 6| = 3 = x – y = 3 (uyumlu).

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

6) (x + y)·z Değerini Hesaplama

(x + y) = 6, z = –6 ⇒ (x + y)·z = 6 · (–6) = –36.

Bu sonuç şıklarda A) –36 olarak verildiğinden cevap –36’dır.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Doğru Cevap: –36
@anon45731214