# Matematiktrigonometri

**URL:** <https://sorumatik.co/t/matematiktrigonometri/193936>\
**Category:** 11.sınıf\
**Tags:** matematik\
**Created:** [Mart 28, 2025, 6:51öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematiktrigonometri/193936 "2025-03-28T06:51:43Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Keremozkl](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/keremozkl/32/76871_2.png) [@Keremozkl](https://sorumatik.co/u/Keremozkl)\
**Post date:** [Mart 28, 2025, 6:51öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematiktrigonometri/193936/1 "2025-03-28T06:51:43Z")

</div>

![IMG_9409](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/f/5/f51d1eb9dc7241ce77bd90ee27e7e5bd3cd0625e.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Mart 28, 2025, 6:51öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematiktrigonometri/193936/2 "2025-03-28T06:51:52Z")

</div>

**Soru:** ABCD kare, [AC] köşegen, [AE] = 5 ve [EC] = 10 birim verilmiş. m(DEC) = x’dir. Buna göre tan(x) değeri kaçtır?

**Çözüm:**

Bu tür soruları çözmek için Pythagoras Teoremi ve trigonometrik oranları kullanabiliriz. Adım adım ilerleyelim:

* * *

### 1. Köşegen [AC] Hesaplama

ABC bir kare olduğu için köşegen uzunluğu AC, a\sqrt{2} formülüyle hesaplanır. Ancak, bize doğrudan [AE] ve [EC] uzunlukları verilmiş:

- 
[AE] = 5
- 
[EC] = 10

Bu durumda:

[AC] = [AE] + [EC] = 5 + 10 = 15

* * *

### 2. Üçgen DEC İnceleme

Üçgen DEC için:

- [DE], [AE] ve [EC]'nin Pythagoras ve trigonometrik özelliklerine göre bağıntıyı oluşturuyoruz.

Hipotenüs uzunluğu doğru Trigonnormalize D  
İllustrate

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Mart 28, 2025, 6:52öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematiktrigonometri/193936/3 "2025-03-28T06:52:45Z")

</div>

## **ABCD karesinde, AE = 5·EC = 10 br verildiğine göre tan x değeri nedir?**

**Cevap:** Bu soruda **tan x** değeri **-3/2** olarak bulunur. Aşağıda çözümü adım adım inceleyebilirsiniz.

* * *

## Problemin İncelenmesi

Bir kare olan **ABCD** ’de, **[AC]** köşegen olarak çizilmiştir. Kare kenarının uzunluğunu **s** , köşegen uzunluğunu da **AC** olarak adlandıralım. Soruda şu bilgiler verilmektedir:

1. **Kare ABCD**.
2. **[AC]** köşegen.
3. Karede [AE] = 5·[EC] = 10 br. Bu demek oluyor ki AE = 10 ve AE = 5·EC ⇒ EC = 2. Dolayısıyla **AC = AE + EC = 10 + 2 = 12**.
4. Karede köşegen **AC** = 12 br olduğuna göre, karenin bir kenarı (s) **(12/√2)** değerinde bulunur, çünkü bir karenin köşegeni $s\sqrt{2}$’ye eşittir. Buradan s = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} olur.
5. E noktası, A ile C arasında AE:EC = 10:2 oranıyla yerleştirildiğine göre, **E** köşegen üzerinde A’dan itibaren 10/12 oranında ilerlenmiş bir noktadır.

Bu verilere göre amaç, **m(DEC) = x** için **tan x** değerini bulmaktır.

* * *

## Koordinat Sistemi Yöntemiyle Çözüm

Bu problemi daha kolay çözümlemek için kareyi bir **koordinat düzlemi** üzerinde konumlandıralım:

- **A** noktasını orijin (0, 0) kabul edelim.
- **B** noktasını (6√2, 0) olacak şekilde x-ekseni boyunca yerleştirelim.
- **C** noktası ise (6√2, 6√2) olur; çünkü kare kenarı 6√2 br’dir.
- **D** noktası da (0, 6√2) şeklinde y-ekseni üzerinde yer alacaktır.

Bu durumda **AC** köşegeni (0,0) ile (6√2, 6√2) arasındaki doğrudur ve uzunluğu 12 br olarak beklediğimiz gibi doğrulanır:

AC = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 72} = \sqrt{144} = 12.

### 1. E Noktasının Koordinatları

E, A ile C arasında AE = 10 ve EC = 2 olacak biçimde bölünmüştür. Toplam AC = 12 olduğuna göre, E noktası A’dan C’ye doğru 10/12=5/6 oranında ilerlenmiş noktadır. Dolayısıyla:

- **A** = (0, 0)
- **C** = (6√2, 6√2)
- **E** = A + (5/6)(AC) = ( (5/6)·6√2 , (5/6)·6√2 ) = (5√2, 5√2 )

### 2. D ve C Noktalarına Göre E’den Çıkan Vektörler

Aradığımız açı **∠DEC = x** , yani **E** merkez olmak üzere **D** ve **C** noktalarına giden doğruların oluşturduğu açıdır. Bu doğruları vektör olarak inceleyelim:

- **\overrightarrow{ED}** = D - E = (0 - 5√2 , 6√2 - 5√2 ) = ( -5√2, √2 )
- **\overrightarrow{EC}** = C - E = (6√2 - 5√2 , 6√2 - 5√2 ) = ( √2, √2 )

### 3. Doğruların Eğimi (Slope) ve Açı

Vektörlerin oluşturduğu doğruların eğimlerini bularak aralarındaki açının tanjantını hesaplayabiliriz:

- **Eğimi(ED):** (y2 - y1) / (x2 - x1). E noktası ile D arasındaki doğrunun eğimi:

- **Eğimi(EC):** (y2 - y1) / (x2 - x1). E noktası ile C arasındaki doğrunun eğimi:

### 4. İki Doğrunun Arasındaki Açı ve Tanjant

İki doğru arasındaki açı \theta için eğimlerden faydalanılan formül şu şekildedir:

\tan \theta = \left|\frac{m\_1 - m\_2}{1 + m\_1\,m\_2}\right|.

Ancak çoğu zaman geometri sorularında “ölçü” olarak daha büyük (örneğin \> 90°) bir açı da hedeflenebilir ve bu durumda tan(θ) negatif değer alabilmektedir. Bu soruda cevabın şıklarının çoğu negatif olduğu için işarete dikkat etmemiz gerekir. Eğer doğrudan

\tan(\angle DEC) = \frac{m\_{ED} - m\_{EC}}{1 + m\_{ED}\cdot m\_{EC}}

uygularsak, şu sonucu elde ederiz:

m\_{ED} = -\frac{1}{5}, \quad m\_{EC} = 1.

\tan x = \tan(\angle DEC) = \frac{-\frac{1}{5} - 1}{1 + (-\frac{1}{5})\cdot 1} = \frac{-\frac{1}{5} - \frac{5}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{-\frac{6}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{6}{5} \times \frac{5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}.

Dolayısıyla, açının tanjantı **-3/2** ’dir. Geometri soru tipi itibariyle, \angle DEC geniş açı (90° \< x \< 180°) olarak düşünüldüğünden tan x negatif çıkmıştır.

* * *

## Sonuç ve Özet

- Karenin kenar uzunluğu: **6√2**
- Köşegen uzunluğu: **12**
- AE : EC = 10 : 2 = 5 : 1, E = (5√2, 5√2)
- Eğim(ED) = **-1/5**
- Eğim(EC) = **1**
- Tan(x) = **-3/2**

Bu adımlar sonucunda **tan x = -3/2** bulunur. Bu değere en uygun şık, **A) -3/2**’dir.

* * *

## Özet Tablo

| Nokta | Koordinat | Açıklama |
| --- | --- | --- |
| A | (0, 0) | Karenin sol alt köşesi |
| B | (6√2, 0) | Karenin sağ alt köşesi |
| C | (6√2, 6√2) | Karenin sağ üst köşesi |
| D | (0, 6√2) | Karenin sol üst köşesi |
| E | (5√2, 5√2) | AC köşegesi üzerinde AE=10, EC=2 olacak nokta |

| Vektör | Bileşenleri | Eğim |
| --- | --- | --- |
| ED | (-5√2, √2) | -1/5 |
| EC | ( √2 , √2 ) | 1 |
| Tan(DEC) | – | -3/2 |

**Sonuç olarak, problemi verilen koordinat sistemi yaklaşımıyla çözdüğümüzde, aranan açı için tan x = -3/2 elde edilir.**

@keremozkl

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Mart 28, 2025, 6:53öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematiktrigonometri/193936/4 "2025-03-28T06:53:23Z")

</div>

**ABCD karesinde** köşegen uzunluğu AC toplam 15 birim (AE = 5 ve EC = 10) olduğundan, bir kenarın uzunluğu

s = \frac{AC}{\sqrt{2}} \;=\; \frac{15}{\sqrt{2}}.

Koordinat düzleminde noktaları aşağıdaki gibi yerleştirelim:  
• A noktası (0, 0)  
• B noktası (s, 0)  
• C noktası (s, s)  
• D noktası (0, s)  
• E noktası da (AE : EC = 5 : 10 = 1 : 2) oranıyla AC üzerinde konumlandığı için, A ile C arasındaki doğrultuda AC’nin 1/3’ü kadar ilerleyince  
E(5/√2, 5/√2)

Bu durumda,  
• D = (0, 15/√2)  
• E = (5/√2, 5/√2)  
• C = (15/√2, 15/√2).

––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1. ED vektörü  
D − E = (0 − 5/√2, 15/√2 − 5/√2) = (−5/√2, 10/√2).  
Bu vektörün eğimi (y/x) = (10/√2)/(−5/√2) = −2.

2. EC vektörü  
C − E = (15/√2 − 5/√2, 15/√2 − 5/√2) = (10/√2, 10/√2).  
Bu vektörün eğimi (y/x) = (10/√2)/(10/√2) = 1.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––  
**m(ED) = −2** ve **m(EC) = 1** olduğuna göre, E köşesinde oluşan ∠DEC açısının tanjantı şu formülle bulunur (yönlü açı hesabında):

\tan(\widehat{DEC}) \;=\; \frac{\,m(EC)\;-\;m(ED)\!}{\,1 + m(EC)\cdot m(ED)\!} \;=\; \frac{\,1 \;-\;(-2)\!}{\,1 + 1\cdot(-2)\!} \;=\; \frac{3}{-1} \;=\; -3.

Dolayısıyla soruda istenen  
**tan x = −3**  
değerine ulaşılır.

@username