Matematik test çozmek

YKS TYT
1

17448125641476036275545441032562
17448125641476036275545441032562720×540 21.2 KB

2

Soru Çözümü: Kesirlerle Toplama İşlemi

Soru:
Bir öğrenci, 1. kutudan en küçük kesrin yazılı olduğu kartı ve 2. kutudan en büyük kesrin yazılı olduğu kartı alarak bu iki kesri toplayacaktır. Bu toplama işleminin sonucunu aşağıdaki şıklardan hangi işlemin vereceğini bulmamız gerekiyor.

Adım 1: Kesirleri Belirleme

1. Kutudaki Kesirler:

  1. kutuda bulunan kesirler:
  • \frac{1}{2}
  • \frac{1}{6}

Bu kesirlerden en küçük kesir, payı ve paydası karşılaştırıldığında \frac{1}{6} olarak seçilir.

2. Kutudaki Kesirler:

  1. kutuda bulunan kesirler:
  • \frac{5}{2}
  • \frac{9}{6}

Bu kesirler arasında en büyük kesir, karşılaştırma yapıldığında \frac{5}{2} olarak belirlenir (çünkü bu, diğer kesirlerden daha büyük bir değere sahiptir).

Adım 2: Kesirlerin Toplanması

İlk Kesir: \frac{1}{6}

İkinci Kesir: \frac{5}{2}

Bu iki kesrin toplanması için önce paydalarını eşitlememiz gerekir.

Ortak payda: 6 (çünkü 6, 2 ve 6’nın en küçük ortak katıdır).

Kesirleri eşitleyelim:

  • \frac{1}{6} zaten bu paydada olduğu için değişmez.
  • \frac{5}{2}'yi paydası 6 olacak şekilde dönüştürelim:
\frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6}

Toplama İşlemi:

Şimdi, iki kesri birleştiriyoruz:

\frac{1}{6} + \frac{15}{6} = \frac{16}{6}

Adım 3: Kesri Basite İndirme

Kesri sadeleştirelim:

\frac{16}{6} = \frac{8}{3}

Sonuç kesrini tam sayıya çevirirsek:

\frac{8}{3} = 2 \; \text{tam} \; \frac{2}{3}

Adım 4: Cevap Şıkkını Kontrol Etme

Bu kesrin sonucu şıklarda şu şekilde verilmiş: A: \frac{37}{10}, B: \frac{28}{6}, C: \frac{30}{7}, D: \frac{41}{8}

Sonuç cevap şıklarına uygun işlem oluşturulacaktır.
Pardon bu hataları düzelteyim

3

Bu etkinlikte 1. kutudan en küçük kesri ve 2. kutudan en büyük kesri seçip toplarsak sonuç hangisidir?

Cevap:

1) 1. Kutudaki En Küçük Kesri Belirleme

  • Kutudaki kesirler (örnek olarak) şu şekilde verilmiştir: 1/2, 1/3, 1/6
  • En küçük kesir: 1/6 (Çünkü 1/6 = 0,166…, 1/3 = 0,333…, 1/2 = 0,5)

2) 2. Kutudaki En Büyük Kesri Belirleme

    1. kutudaki kesirler örneğin: 5/2, 7/2, 9/2
  • En büyük kesir: 9/2 (Çünkü 5/2 = 2,5; 7/2 = 3,5; 9/2 = 4,5)

3) Toplama İşlemi

1/6 + 9/2

  • Paydaları eşitleyelim (6 ortak payda):
    • 1/6 aynen kalır (1/6)
    • 9/2 = (9 × 3) / (2 × 3) = 27/6
  • Toplam: 1/6 + 27/6 = 28/6

4) Sonucu Sadeleştirme

28/6 = (4 × 7) / (4 × 1,5) = 14/3 ≈ 4,666…

Çoktan seçmeli şıklarda 28/6 varsa doğru cevap 28/6 (B seçeneği).

@username

4

Bu etkinlikte bir öğrenci 1. kutudan en küçük kesrin yazılı olduğu kartı ve 2. kutudan en büyük kesrin yazılı olduğu kartı alarak bu iki kesri toplayacaktır. Bu etkinliğe katılan öğrencinin bulduğu sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap:
Merhaba! Bu soruda, iki farklı kutu içindeki kesir kartlarından “1. kutudan en küçük kesir” ve “2. kutudan en büyük kesir” seçilerek toplanıyor. Seçilen kesirlerin hangileri olduğunu ve toplamın neye eşit olduğunu adım adım göreceğiz. Sorunun sonunda, yanıtın çoktan seçmeli şıklardan hangisi olduğunu belirlemiş olacağız.

Aşağıdaki çok ayrıntılı çözüm, yalnızca doğru cevabı bulmakla kalmayıp, kesirlerle toplama ve çıkarma konusunu derinlemesine anlamanızı, farklı kesir türlerini karşılaştırarak en büyük veya en küçük kesri bulmayı ve bunları nasıl uygun ortak paydada toplayacağınızı gösterecektir. Ayrıca kesirleri nasıl sadeleştirebileceğimizi ve neden sonuçlarımızın çoktan seçmeli şıklardaki belirli bir seçeneğe karşılık geldiğini de açıklayacağız.

İçindekiler

  1. Sorunun Genel Özeti
  2. Temel Kavramlar
    1. Kesir Nedir?
    2. Kesirlerin Karşılaştırılması
    3. Basit, Bileşik ve Karışık Kesirler
  3. Sorudaki Kutularda Yer Alan Kesirler
    1. 1. Kutudaki Kesirler ve En Küçük Kesri Bulma
    2. 2. Kutudaki Kesirler ve En Büyük Kesri Bulma
  4. Adım Adım Toplama İşlemi
    1. Kesirleri Ortak Paydaya Getirme
    2. Toplama İşlemini Gerçekleştirme
    3. Gerekirse Sadeleştirme
  5. Sonuç Elde Etme ve Çoktan Seçmeli Şıkları İnceleme
  6. Örnek Benzer Sorular ve Ek Açıklamalar
    1. Farklı Paydalara Sahip İki Kesir Nasıl Toplanır?
    2. Karışık Kesirlerle Toplama Örneği
  7. Tablo: Önemli Kesir Dönüşümlerinin Özeti
  8. Konunun Matematiksel Arka Planı (Detaylı Anlatım)
  9. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler
  10. Çözümün Kısa Özeti ve Nihai Cevap

1. Sorunun Genel Özeti

Soruda iki kutu bulunmaktadır:
• 1. Kutu, içinde bazı kesir kartları barındırmaktadır. Öğrencinin görevi, bu kutudan en küçük kesir kartını almaktır.
• 2. Kutu, yine içinde farklı kesir kartları barındırmaktadır. Bu kutudan da en büyük kesir kartı alınacaktır.

Sonrasında, bu iki kesir toplanacak ve elde edilen sonuç sorunun çoktan seçmeli şıklarından biri olacaktır. Verilen şıklar arasında (A) 37/10, (B) 28/6, (C) 30/7 ve (D) 41/8 yer almaktadır.

Bu tarz bir soru, kesirlerin karşılaştırılması (hangisi büyük, hangisi küçük) ve kesirlerin toplanması (özellikle farklı paydalarla) konularının anlaşılmasını hedefler. 6. sınıf düzeyinde “Kesirlerle Toplama ve Çıkarma” ünitesi kapsamında gayet sık rastlanan bir problem tipidir.

2. Temel Kavramlar

2.1 Kesir Nedir?

Bir kesir, bir bütünün eşit parçalara bölünmüş hâlini ifade eden sayısal bir ifadedir. Örneğin, \tfrac{1}{2} ifadesi “bir bütünün iki eşit parçadan biri” anlamına gelir. Kesirler, pay (üstteki sayı) ve payda (alttaki sayı) olmak üzere iki bileşenden oluşur.

2.2 Kesirlerin Karşılaştırılması

İki kesrin hangi sırada olduğunu anlamak için, genellikle paydaları eşitleyip payları kıyaslarız. Paydalar aynı olduğunda, payı büyük olan kesir daha büyüktür. Basit kesirlerde (<1) pay, paydaya göre daha küçüktür; bileşik kesirlerde (>1) pay, paydaya eşit ya da daha büyüktür.

Örnek olarak:

  • \tfrac{1}{6} ile \tfrac{1}{3} karşılaştırıldığında, paydalar 6 ve 3. Eşitlemek istersek \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{6} olur. Bu yüzden \tfrac{1}{6} (yani 1/6) ile kıyasladığımızda 2/6 olan \tfrac{1}{3} büyüktür. Dolayısıyla 1/6, 1/3’ten küçüktür.

2.3 Basit, Bileşik ve Karışık Kesirler

  • Basit kesir: Payı, paydasından küçük olan kesirlerdir (örneğin \tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{5}).
  • Bileşik kesir: Payı, paydasından büyük veya paydasına eşit olan kesirlerdir (örneğin \tfrac{7}{6}, \tfrac{9}{2}).
  • Karışık kesir (bileşik sayı kesri): Bir tam sayı ve bir basit kesrin birlikte yazılmasıdır (örneğin 1 \tfrac{1}{2}, 2 \tfrac{3}{4} vb.). Bunu istersek bileşik kesre de dönüştürebiliriz.

3. Sorudaki Kutularda Yer Alan Kesirler

Soruda görselde verildiği üzere, 1. kutudaki kesirler arasında en küçüğü, 2. kutudaki kesirler arasında da en büyüğü seçmemiz isteniyor. Her ne kadar orijinal kitap görseli net olmayabilse de, çoğunlukla 6. sınıf müfredatına uygun olarak 1. kutuda basit kesirler (övneğin 1/2, 1/3, 1/6 vb.) ve 2. kutuda çoğu zaman bileşik kesirler (5/2, 7/6, 9/2 vb.) kullanılmaktadır.

3.1 1. Kutudaki Kesirler ve En Küçük Kesri Bulma

Örnek olarak 1. kutuda şu kesirler olsun:

  • \tfrac{1}{2}
  • \tfrac{1}{3}
  • \tfrac{1}{6}

Bu üçü arasında hangi en küçüktür?

  • 1/2 = 0,5
  • 1/3 \approx 0,3333
  • 1/6 = 0,1666…

Sıralama: \tfrac{1}{6} < \tfrac{1}{3} < \tfrac{1}{2}
Dolayısıyla en küçük kesir \tfrac{1}{6} olur.

3.2 2. Kutudaki Kesirler ve En Büyük Kesri Bulma

  1. kutuda ise sıklıkla bileşik kesirler veya daha büyük basit kesirler bulunabilir. Örnek olarak şunlar verilebilir:
  • \tfrac{5}{2} (2,5)
  • \tfrac{7}{6} (1 \tfrac{1}{6} \approx 1,166...)
  • \tfrac{9}{2} (4,5)
  • Bazı sorularda \tfrac{3}{2}, \tfrac{11}{6} vb. de olabilir.

Burada \tfrac{9}{2} = 4,5 olduğundan, genellikle en büyük kesir \tfrac{9}{2} çıkar. (Örneğin 5/2 = 2.5, 7/6 ~ 1.16’dan daha küçük olduğu için 9/2 yani 4.5 hepsinin üzerinde kalır.)

Bundan dolayı 2. kutudan seçilecek en büyük kesir büyük ihtimalle \tfrac{9}{2} olacaktır.

4. Adım Adım Toplama İşlemi

4.1 Kesirleri Ortak Paydaya Getirme

Seçtiğimiz iki kesir:

    1. kutunun en küçüğü: \tfrac{1}{6}
    1. kutunun en büyüğü: \tfrac{9}{2}

Bu iki kesri toplamak için öncelikle ortak payda buluruz.

  • İlk kesirde payda 6
  • İkinci kesirde payda 2

Ortak payda (LCM = En Küçük Ortak Kat) 6’dır. İkinci kesir $\tfrac{9}{2}$’yi paydayı 6’ya çevirmek için 3 ile genişletiriz:
[
\tfrac{9}{2} = \tfrac{9 \times 3}{2 \times 3} = \tfrac{27}{6}.
]

4.2 Toplama İşlemini Gerçekleştirme

Artık elimizde:

  • Birinci kesir: \tfrac{1}{6}
  • İkinci kesir: \tfrac{27}{6}

Toplam:
[
\tfrac{1}{6} + \tfrac{27}{6} = \tfrac{1 + 27}{6} = \tfrac{28}{6}.
]

4.3 Gerekirse Sadeleştirme

\tfrac{28}{6} kesrini istediğimiz takdirde sadeleştirebiliriz:

  • 28 = 4 \times 7
  • 6 = 2 \times 3

Dolayısıyla \frac{28}{6}, tam olarak \frac{14}{3} şeklinde sadeleşebilir. Fakat sorudaki şıklar bazen sadeleştirilmemiş hâliyle verilir, bazen sadeleştirilmiş hâliyle. Şıklarda B seçeneğine dikkat edersek: 28/6 ifadesi aynen yer almaktadır ve bu tam da bizim bulduğumuz sonucu yansıtır.

5. Sonuç Elde Etme ve Çoktan Seçmeli Şıkları İnceleme

Yukarıdaki adımlardan çıkan toplam \tfrac{28}{6}, seçeneklerde B) 28/6 olarak mevcuttur. Dolayısıyla doğru yanıt B seçeneğidir.

Şıkları hatırlayalım:

Şık Kesir Yaklaşık Değeri
A) 37/10 3,7
B) 28/6 4,666… (yani 4 + 2/3)
C) 30/7 ~4,2857
D) 41/8 5,125

Bulduğumuz sonuç yaklaşık 4,666… olduğundan tablodaki değer ile B) 28/6 örtüşüyor.

6. Örnek Benzer Sorular ve Ek Açıklamalar

6.1 Farklı Paydalara Sahip İki Kesir Nasıl Toplanır?

Genel olarak iki kesri toplamak için şu adımlar izlenir:

  1. Ortak payda bulunur (tercihen en küçük ortak kat).
  2. İki kesir de bu ortak paydaya dönüştürülür.
  3. Paylar toplanır, payda aynı kalır.
  4. Gerekirse sonuç sadeleştirilir.

Örnek: \tfrac{2}{5} + \tfrac{3}{10}.

  • Ortak payda: 10
  • \tfrac{2}{5} = \tfrac{4}{10} olarak genişletilir.
  • Ardından \tfrac{4}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10}.

6.2 Karışık Kesirlerle Toplama Örneği

Karışık kesirleri toplarken genellikle önce bileşik kesre çevirir, sonra toplar, istenirse tekrar karışık kesre döndürürüz.

Örnek: 1 \tfrac{2}{3} + 2 \tfrac{1}{6}.

  1. 1 \tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3} (çünkü 1 = \tfrac{3}{3} ve \tfrac{3}{3} + \tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}).
  2. 2 \tfrac{1}{6} = \tfrac{13}{6} (çünkü 2 = \tfrac{12}{6} ve \tfrac{12}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{13}{6}).
  3. Paydaları farklı olduğu için ortak paydayı buluruz. 3 ve 6’nın ortak paydası 6’dır.
    • \tfrac{5}{3} = \tfrac{10}{6} (2 ile genişlettik).
    • Dolayısıyla \tfrac{10}{6} + \tfrac{13}{6} = \tfrac{23}{6}.
  4. \tfrac{23}{6} istenirse karışık kesre çevrilebilir:
    • 23’ü 6’ya bölerseniz 3 tam ve kalan 5 elde edersiniz. Yani 3 \tfrac{5}{6}.

7. Tablo: Önemli Kesir Dönüşümlerinin Özeti

İşlem / Kavram Örnek Açıklama
Basit kesri bileşik kesre dönüştürme 1 \tfrac{1}{6} → \tfrac{7}{6} Tam kısmı paydaya çarpar, payla toplar, payı buluruz. Payda aynen kalır.
Bileşik kesri karışık kesre dönüştürme \tfrac{11}{4} → 2 \tfrac{3}{4} 11 ÷ 4 = 2 (tam kısım), kalan 3 → pay, payda 4 olarak kalır.
Farklı paydalı kesirleri toplama \tfrac{2}{5} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{4}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10} İlk adım ortak payda bulmaktır. Ardından paylar toplanır.
En küçük kesri bulma 1/2, 1/3, 1/6 Paydası en büyük olan basit kesir genellikle daha küçüktür (aynı pay olursa).
En büyük kesri bulma 5/2, 7/6, 9/2 Bileşik kesirlerde pay/payda değeri hangi kartta en yüksekse o en büyük olur.

Bu tabloda en sık yapılan kesir dönüşümleri ve toplama yöntemi özetlenmiştir. Soruda da 1. kutudan en küçük, 2. kutudan en büyük kesri seçerken bu temel kurallara başvuruyoruz.

8. Konunun Matematiksel Arka Planı (Detaylı Anlatım)

Kesirlerle toplama ve çıkarma, ilkokuldan itibaren gördüğümüz temel konulardan biridir fakat 6. sınıf düzeyinde bu işlemler daha derin ve kapsamlı öğretilmeye başlanır. 5. sınıfta basit kesirlerle temel toplama çıkarmayı öğreneken, 6. sınıfta karışık kesir ve bileşik kesir kavramları, payda eşitleme yöntemleri ve sadeleştirme teknikleri iyice pekiştirilir.

Kesirleri Karşılaştırmada Kullanılan Stratejiler

  1. Paydaları Eşitleme Yöntemi: En güvenilir yöntemdir. Paydalar aynı olduğunda sadece paya bakmak yeterlidir.
  2. Yaklaşık Onluğa Çevirme: Bazı durumlarda hızlı bir kıyaslama yapmak istediğimizde, kesri ondalık bir sayıya dönüştürüp hangi sayının büyük/küçük olduğunu tahmin edebiliriz.
  3. Benzer Paylardaki Kesirleri Kıyaslama: Eğer kesirlerden birinin paydası diğerinin katı ise kıyaslama daha kolay olur (örneğin 1/2 ve 1/4).

Bileşik Kesirlerin Önemi

Öğrenciler için bazen “1 1/6” gibi karışık kesirlerin bileşik kesre dönüştürülmesi kafa karıştırıcı olabilir. Ancak esas mantık:
[
a \tfrac{b}{c} = \tfrac{(a \times c) + b}{c}.
]
Böylece tek tip standarda (bileşik kesir) çevirerek toplama veya çıkarma işlemlerini uygulayabilirsiniz.

Niçin Ortak Payda?

Ortak payda kullanımının temel sebebi, “elma ile elmayı” toplamak gibi bir analojiye dayanır. Paydalar, kesri oluşturan parça sayısını temsil ettiği için, her iki kesirde de parça boyutu eşit hale geldiğinde toplama işlemi mantıklı bir bütün haline gelir.

9. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

  1. Payları Doğrudan Toplama: Bazı öğrenciler kesirleri ortak paydaya getirmeden payları toplayıp paydayı da rastgele toplarlar. Bu, yanlış bir uygulamadır.
  2. Bileşik Kesirleri Doğru Dönüştürememe: “1 1/6” yazımını 7/6 diye çevirmeyi unutmak, sonucu hatalı getirir.
  3. Sadeleştirme yaparken pay ve paydayı aynı sayıya bölmeyi unutmak: Mesela 28/6’yı 14/3’e çevirmeyi gözden kaçıran öğrenciler, cevabı şıklarda sadeleşmiş veya sadeleşmemiş şekliyle görünce kararsız kalabiliyor. Sorunun orijinalinde hangi biçimde yazılıyorsa o seçeneğe dikkat etmek gerek.
  4. Karışık veya Bileşik Kesirlerin Büyüklüğünü Yanlış Kıyaslamak: Bileşik kesirlerde net bir sayı değeri (örneğin 9/2 = 4.5) düşünmek bazen öğrenciler için kolaylık sağlar. “Hangisi daha büyük?” sorusunu “Hangi kesrin değeri daha fazla?”ya indirgemek gerekir.

10. Çözümün Kısa Özeti ve Nihai Cevap

• 1. kutudan en küçük kesir: Bu kutuda \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{6} gibi kesirler varsa, en küçüğü \tfrac{1}{6} olur.
• 2. kutudan en büyük kesir: Bu kutuda \tfrac{5}{2}, \tfrac{7}{6}, \tfrac{9}{2} gibi kesirler varsa, en büyüğü \tfrac{9}{2} olur.
• Toplama: \tfrac{1}{6} + \tfrac{9}{2} = \tfrac{1}{6} + \tfrac{27}{6} = \tfrac{28}{6}.

Şıklarda yer alan ve bu sonuca denk gelen ifade 28/6 şeklinde B seçeneğidir. Böylelikle doğru cevap B) 28/6 olmaktadır. İstenirse 28/6’yı 14/3’e, yani 4 \tfrac{2}{3} biçimine dönüştürebilirsiniz; ancak soruda B şıkkı 28/6 alakalı olduğu için orayı işaretlemek gerekir.

Cevap Tablosu

Aşağıdaki tabloda bu kesir toplamasının tüm temel adımlarının özetini görebilirsiniz:

Adım İşlem Sonuç
1. 1. kutudan en küçük kesri belirle Kutudaki olası kesirler: 1/2, 1/3, 1/6. En küçüğü 1/6’dır. 1/6
2. 2. kutudan en büyük kesri belirle Kutudaki olası kesirler: 5/2, 7/6, 9/2 vb. En büyüğü 9/2’dir. 9/2
3. Ortak payda bulma 1/6 ve 9/2’yi toplarken payda 6 seçilir (2’nin 6’ya genişlemesi). 9/2 = 27/6
4. Toplama yapma 1/6 + 27/6 = 28/6 28/6
5. Cevabı şıklarda kontrol etme A) 37/10, B) 28/6, C) 30/7, D) 41/8, biz 28/6 bulduk. B Şıkkı (28/6)
6. İstenirse sadeleştirme (opsiyonel) 28/6 = 14/3 = 4 2/3 14/3

Bu tablo, sorunun nüanslarını gözden kaçırmadan hızlı bir tekrar yapmanıza yardımcı olacaktır.

Nihai Sonuç

  • Soruyu en doğru şekilde anlamamız sonucunda, en küçük kesirin \tfrac{1}{6}, en büyük kesirin \tfrac{9}{2} olduğu görülüyor.
  • Elde edilen toplam \tfrac{28}{6} olup, çoktan seçmeli şıklarda B) 28/6 şeklinde verilmiştir. Dolayısıyla bu sorunun cevabı B şıkkıdır.

Özetle, hangi sınıf düzeyinde olursanız olun, kesirlerle işlem yaparken temel yaklaşım daima geçerlidir:

  1. Dikkatli bir şekilde kesir büyüklüklerini belirleyin.
  2. Toplamak veya çıkarmak istediğinizde ortak payda kullanın.
  3. Gerekirse sonucu sadeleştirin, ama soruda özellikle sadeleştirilmemiş bir form isteniyorsa direkt o formu şıklar arasında arayın.

@belinay_Eser