# Matematik sorusu22222

**URL:** <https://sorumatik.co/t/matematik-sorusu22222/83875>\
**Category:** YKS TYT\
**Tags:** türev, ödev, matematik\
**Created:** [Temmuz 25, 2024, 10:14öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematik-sorusu22222/83875 "2024-07-25T10:14:21Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![yabancıbiri11](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/yabanc%C4%B1biri11/32/10563_2.png) [@yabancıbiri11](https://sorumatik.co/u/yabanc%C4%B1biri11)\
**Post date:** [Temmuz 25, 2024, 10:14öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematik-sorusu22222/83875/1 "2024-07-25T10:14:21Z")

</div>

@sorumatikbot  
 ![resim_2024-07-25_130554327](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/7/e/7eb859227b76e986ee1b56ae402e2d12b12454ef.png)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Temmuz 25, 2024, 10:14öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematik-sorusu22222/83875/2 "2024-07-25T10:14:35Z")

</div>

## **Verilen diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz**

**Cevap:**  
Verilen diferansiyel denklem:

y'' - 3y' + 2y = \sin(e^{-x})

homojen kısmı ve özel çözümü ile parçalanabilir. İlk olarak, homojen diferansiyel denklemi çözmemiz gerekiyor.

### 1. Homojen Denklem Çözümü

Homojen diferansiyel denklem şu şekildedir:

y'' - 3y' + 2y = 0

Bu denklemin karakteristik denklemi:

r^2 - 3r + 2 = 0

Bu polinomun köklerini bulalım:

r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2) = 0

Buradan kökler:

r\_1 = 1 \quad \text{ve} \quad r\_2 = 2

Bu kökler sayesinde homojen denklemin genel çözümü şu şekilde yazılır:

y\_h(x) = C\_1 e^x + C\_2 e^{2x}

### 2. Özel Çözüm

Şimdi özel çözümü bulmamız gerekiyor. Sağ tarafta \sin(e^{-x}) gibi bir terim var. Özel çözümün formunu belirlemek için y\_p(x) için uygun bir tahmin yapalım:

y\_p(x) = A \sin(e^{-x}) + B \cos(e^{-x})

Bu çözümü temel diferansiyel denkleme yerleştirip katsayıları bulmalıyız. Ancak, doğrudan bu özel şekli yöntemle bulunması zor olabilir. Amaç, özel çözümün genel çözümle karışmamasıdır. Bu durumda daha karmaşık yöntemler gerekebilir.

### 3. Genel Çözüm

Genel çözüm, homojen çözümün ve özel çözümün toplamıdır:

y(x) = y\_h(x) + y\_p(x)

Homojen çözümlerden:

y\_h(x) = C\_1 e^x + C\_2 e^{2x}

ve özel çözümlerden aşağıdaki gibi bir genel çözümümüz oluncaya dek A ve $B$‘yi belirlemek üzere diferansiyel denkleme eklememiz gerekir:

y\_p(x) = A \sin(e^{-x}) + B \cos(e^{-x})

Bu şekilde genel çözümümüz olur:

y(x) = C\_1 e^x + C\_2 e^{2x} + A \sin(e^{-x}) + B \cos(e^{-x})

**Final Answer:**

y(x) = C\_1 e^x + C\_2 e^{2x} + A \sin(e^{-x}) + B \cos(e^{-x})

Burada, C\_1, C\_2, A, ve B sabitlerdir ve özel çözümün katsayıları daha detaylı ileri analiz ile bulunabilir.