Matematik cevabi

Verilen Problem:

Yukarıdaki dik koordinat düzleminde ( C(p, 8) ) noktasında verilen dronun, ( A(2, 2) ) noktasındaki Ali’ye uzaklığı, ( B(5, -2) ) noktasındaki Burhan’a uzaklığından daha kısa olduğuna göre, ( p )'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm:

Öncelikle, iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için kullanılan formülü hatırlayalım. İki nokta ( (x_1, y_1) ) ve ( (x_2, y_2) ) arasında uzaklık:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Bu formülü kullanarak ((p, 8)) noktasının ((2, 2)) ve ((5, -2)) noktalarına olan uzaklıklarını hesaplayacağız. Problemin şartına göre ( C ) noktasının Ali’ye uzaklığı, Burhan’a olan uzaklığından daha kısa olmalıdır.

  1. Ali’ye Olan Uzaklık ((C) ile (A) Arasındaki Uzaklık):

    d_{CA} = \sqrt{(p - 2)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{(p - 2)^2 + 6^2} = \sqrt{(p - 2)^2 + 36}
  2. Burhan’a Olan Uzaklık ((C) ile (B) Arasındaki Uzaklık):

    d_{CB} = \sqrt{(p - 5)^2 + (8 - (-2))^2} = \sqrt{(p - 5)^2 + 10^2} = \sqrt{(p - 5)^2 + 100}
  3. Karşılaştırma:

    Verilen problemde ( d_{CA} < d_{CB} ) olduğuna göre:

    \sqrt{(p - 2)^2 + 36} < \sqrt{(p - 5)^2 + 100}

    Her iki tarafın karesini alarak karşılaştırmaya devam edelim:

    (p - 2)^2 + 36 < (p - 5)^2 + 100
  4. Denklemi Geliştirip Çözelim:

    Açılım yapıp çözmeye devam edelim:

    (p - 2)^2 = p^2 - 4p + 4 \quad \text{ve} \quad (p - 5)^2 = p^2 - 10p + 25

    Yerleştirelim:

    p^2 - 4p + 4 + 36 < p^2 - 10p + 25 + 100

    Bu denklemi düzenleyelim:

    p^2 - 4p + 40 < p^2 - 10p + 125
    -4p + 40 < -10p + 125

    Her iki taraftan aynı terimleri çıkartalım:

    6p < 85

    Buradan ( p )'nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmak için her iki tarafı 6’ya bölelim:

    p < \frac{85}{6} \approx 14.1667

Dolayısıyla, ( p )'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 14’tür. Böylece doğru cevap D) 14 olur.

Umarım bu çözüm faydalı olmuştur! Herhangi başka bir sorunuz varsa sormaktan çekinmeyin.