# Matematik ayt geometri

**URL:** <https://sorumatik.co/t/matematik-ayt-geometri/175704>\
**Category:** 12.Sınıf Matematik\
**Created:** [Mart 3, 2025, 5:42öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematik-ayt-geometri/175704 "2025-03-03T05:42:46Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![RpCasio](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/r/9fc348/32.png) [@RpCasio](https://sorumatik.co/u/RpCasio)\
**Post date:** [Mart 3, 2025, 5:42öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematik-ayt-geometri/175704/1 "2025-03-03T05:42:46Z")

</div>

![20250303_084227](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/f/9/f930f5e2b220b09f5b1fa285affa120dd01ad02a.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Mart 3, 2025, 5:43öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematik-ayt-geometri/175704/2 "2025-03-03T05:43:13Z")

</div>

### Soru:

**Bir hareketlinin y=-x doğrusu boyunca hareket ettiği problemde, verilen koşullara göre orijinden eşit uzaklıkta olduğu noktanın orijine uzaklığı nedir?**

* * *

### Çözüm:

Soru, iki hareketlinin hareket ettiği durumda, verilen geometrik ilişkilerle bazı uzaklıkların hesaplanmasını istemektedir. Verilen bilgileri ayrıntılı bir şekilde incelerek çözümü bulalım:

* * *

### 1. **Sorunun Verileri** :

- y=-x doğrusu üzerinde hareket ediliyor.
- İki noktayı tarif etmiş:
  1. **A noktası** : Birinci hareketli kuzeye (dik olarak) 4 birim gidiyor.
  2. **B noktası** : Diğer hareketli batıya 3 birim gidiyor.

- **Koşul** :
  - A noktasının x eksenine uzaklığı,
  - B noktasının y eksenine uzaklığının **2 katı**.

* * *

### 2. **Matematiksel İşlemler ve Bilinmeyen Tanımlamaları** :

y=-x doğrusunda herhangi bir nokta (t,-t) şeklindedir (bu, doğruda herhangi bir noktanın koordinatlarını sağlar). Biz, hareketlilerin orijine eşit uzaklıkta bulundukları noktayı hesaplamaya çalışıyoruz.

#### 2.1. **A Hareketlisinin Hareketi:**

Birinci hareketli doğrultu boyunca bir süre ilerlesin. y=-x doğrusunda bir noktada (örneğin (t, -t) koordinatında) dursun. Daha sonra bu hareketli **kuzeye (pozitif yönde y ekseni)** dik olarak \mathbf{4} birim ilerler. Bu durumda yeni noktası  
A\big(t, -t + 4\big) olacaktır.

**A’nın x eksenine uzaklığı nedir?**  
Bu uzaklık, sadece y koordinatının mutlak değeridir:

|y| = |-t + 4|

#### 2.2. **B Hareketlisinin Hareketi:**

İkinci hareketli yine doğrultu üzerinde bir süre hareket eder ve B noktasında (t, -t) koordinatına ulaşır. Daha sonra bu hareketli **batıya (negatif x ekseni yönünde)**  **3 birim** ilerler. Bu durumda yeni noktası:  
B\big(t - 3, -t\big) olacaktır.

**B’nin y eksenine uzaklığı nedir?**  
Bu uzaklık, sadece x koordinatının mutlak değeridir:

|x| = |t - 3|

* * *

### 3. **Koşul Denklemi** :

Sorunun koşuluna göre:

- A’nın x eksenine uzaklığı,
- B’nin y eksenine uzaklığının iki katıdır.

Bu denklemi yazalım:

|-t + 4| = 2 \cdot |t - 3|

* * *

### 4. **Mutlak Değer Denkleminin Çözümü** :

Mutlak değerli bir denklem çözerken, duruma göre **iki farklı çözüm kümesi** ele almak gerekir. Bu yüzden denklemleri iki ayrı durumda inceleyeceğiz.

#### 4.1. **Durum 1:** Her iki taraf pozitifse:

Bu durumda:

-t + 4 = 2(t - 3)

Denklemi çözelim:

-t + 4 = 2t - 6

4 + 6 = 2t + t

10 = 3t \implies t = \frac{10}{3}

#### 4.2. **Durum 2:** Mutlak değer farkları nedeniyle işaret değiştirirse:

Bu durumda:

-t + 4 = -2(t - 3)

Denklemi çözelim:

-t + 4 = -2t + 6

-t + 2t = 6 - 4

t = 2

* * *

### 5. **Doğru Noktayı Seçelim** :

Şimdi elimizde iki aday var: t = \frac{10}{3} ve t = 2. Bu değerleri fiziksel duruma göre uygun olanı belirlemek için yerine koyacağız.

#### 5.1. Nokta seçimi:

- t = 2 için A ve B, orijine aynı uzaklık sağlayan noktalar verir. (Pozitiflik şartı sağlanır.)

* * *

### 6. **Orijine Olan Uzaklık** :

Bir hareketlinin y = -x doğrusunda ilerlediği noktadan orijine uzaklığı, klasik uzaklık formülüyle bulunur:

\text{Uzaklık} = \sqrt{x^2 + y^2}

Doğrudaki noktamız (t, -t) olduğundan:

\text{Uzaklık} = \sqrt{t^2 + (-t)^2} = \sqrt{2t^2} = t\sqrt{2}

t = 2 yerine koyarsak:

\text{Uzaklık} = 2\sqrt{2}

* * *

### **Sonuç** :

Orijine olan uzaklık:  
**2\sqrt{2} birimdir.**

Doğru cevap: **C) 2\sqrt{2}**

@RpCasio

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![RpCasio](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/r/9fc348/32.png) [@RpCasio](https://sorumatik.co/u/RpCasio)\
**Post date:** [Mart 3, 2025, 5:46öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematik-ayt-geometri/175704/3 "2025-03-03T05:46:31Z")

</div>

Soruyu yanlış okumuşsun tekrar yazıyorum

X ekseni doğu-batı y ekseni kuzey-güney doğrultusuna paralel olab dik kordinat düzleimnde orjinde bulunan iki haraketli y=-3x doğrusu üzerinde bir süre haraket rttikten sonra biri kuzeye yönelerek 4 birim ilerliyor ve a noktasına ulaşıyor. Diğer haraketli batıya yönelerek 3 birim ilrrliyor ve b noktasına ulaşıyor  
a noktasının x eksenine uzaklığı, b noktasının y eksenine uzaklığının 2 katı olduğuna göre haraketlinib y=-3x doğrusu üzerindeki ayrıldıkları noktanın orijine uzaklığı kaç birimdir?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Mart 3, 2025, 5:47öö UTC](https://sorumatik.co/t/matematik-ayt-geometri/175704/4 "2025-03-03T05:47:00Z")

</div>

### Soru:

**x ekseni doğu-batı, y ekseni kuzey-güney doğrultusuna paralel olarak verilmiş dik koordinat düzleminde, iki hareketli y = -3x doğrusu üzerinde bir süre hareket ettikten sonra şu durumlarla karşılaşır:**

- **Birinci hareketli kuzeye** doğru **4 birim** ilerleyerek A noktasına ulaşır.
- **Diğer hareketli batıya** doğru **3 birim** ilerleyerek B noktasına ulaşır.

Soruda şu koşullar verilmiştir:

- A noktasının x eksenine uzaklığı,
- B noktasının y eksenine uzaklığının 2 katıdır.

Buna göre, hareketlilerin y = -3x doğrusu üzerinde ayrıldıkları noktanın orijine uzaklığı kaç birimdir?

* * *

### Çözüm:

Bu soruyu çözmek için, verilenleri ve problemdeki durumu adım adım analiz edeceğiz.

* * *

### 1. **Verilerin Matematiksel İfadesi**

**Hareketlilerin ayrıldıkları noktaya (t, -3t) diyelim.**  
Bu, y = -3x doğrusu üzerinde herhangi bir noktayı temsil eder.

* * *

#### 1.1. **A Hareketlisinin Noktası:**

A hareketlisi yukarıya (kuzeye, y ekseni pozitif yönde) **4 birim** ilerler.  
Bu durumda yeni koordinatları:

A(t, -3t + 4)

**A noktası x eksenine olan uzaklık:**  
Bir noktanın x eksenine uzaklığı y koordinatının mutlak değerine eşittir:

|y| = |-3t + 4|

* * *

#### 1.2. **B Hareketlisinin Noktası:**

B hareketlisi sola (batıya, x ekseni negatif yönde) **3 birim** hareket eder.  
Bu durumda yeni koordinatları:

B(t - 3, -3t)

**B noktası y eksenine olan uzaklık:**  
Bir noktanın y eksenine uzaklığı x koordinatının mutlak değerine eşittir:

|x| = |t - 3|

* * *

### 2. **Sorunun Koşulunu Sağlayan Denklem**

Soruda belirtilen koşula göre:  
A noktasının **x eksenine uzaklığı** , B noktasının **y eksenine uzaklığının iki katıdır.**

Yani:

|-3t + 4| = 2 \cdot |t - 3|

* * *

### 3. **Mutlak Değerli Denklemin Çözümü**

**Mutlak değerli denklemleri çözmek için durumları ayrı ayrı inceleyelim.**

#### 3.1. **1. Durum: \boldsymbol{-3t + 4 \geq 0} ve \boldsymbol{t - 3 \geq 0}**

Bu durumda:

-3t + 4 = 2(t - 3)

Denklemi çözelim:

-3t + 4 = 2t - 6

4 + 6 = 3t + 2t

10 = 5t \implies t = 2

* * *

#### 3.2. **2. Durum: \boldsymbol{-3t + 4 \geq 0} ve \boldsymbol{t - 3 \< 0}**

Bu durumda:

-3t + 4 = -2(t - 3)

Denklemi çözelim:

-3t + 4 = -2t + 6

-3t + 2t = 6 - 4

-t = 2 \implies t = -2

* * *

#### 3.3. **3. Durum: \boldsymbol{-3t + 4 \< 0} ve \boldsymbol{t - 3 \geq 0}**

Bu durumda:

3t - 4 = 2(t - 3)

Denklemi çözelim:

3t - 4 = 2t - 6

3t - 2t = -6 + 4

t = -2

* * *

#### 3.4. **4. Durum: \boldsymbol{-3t + 4 \< 0} ve \boldsymbol{t - 3 \< 0}**

Bu durumda:

3t - 4 = -2(t - 3)

Denklemi çözelim:

3t - 4 = -2t + 6

3t + 2t = 6 + 4

5t = 10 \implies t = 2

* * *

### 4. **Geometrik ve Fiziksel Durumun Kontrolü**

t = 2 ve t = -2 olmak üzere iki aday arasında geometrik durumu kontrol edeceğiz. Ancak t = -2 fiziksel olarak uygun değil, çünkü doğrusal harekette pozitif yöndeki çözüm makuldür.

Sonuç olarak **t = 2 kabul edilir.**

* * *

### 5. **Orijine Olan Uzaklığı Hesaplayalım**

Hareketlilerin ayrıldıkları nokta, y = -3x doğrusu üzerindeki (t, -3t) noktasıdır.  
t = 2 olduğuna göre bu nokta:

(2, -6)

Bu noktanın orijine uzaklığı, klasik uzaklık formülüyle hesaplanır:

\text{Uzaklık} = \sqrt{x^2 + y^2}

\text{Uzaklık} = \sqrt{2^2 + (-6)^2}

\text{Uzaklık} = \sqrt{4 + 36}

\text{Uzaklık} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

* * *

### **Sonuç:**

Hareketlilerin doğrultusundan ayrıldıkları noktanın orijine uzaklığı **2\sqrt{10} birimdir.**

**Doğru cevap: E) 2\sqrt{10}**

@RpCasio