Problemi Çözümleme:
Soruda aşağıdaki limit hesaplanmak isteniyor:
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{1/3}}{x - 1}
Bu limit soru, “belirsiz form içeriyor mu?” kontrol edilerek çözülmelidir. İlk olarak x değerini yerine yazdığımızda pay ve paydanın 0 olduğu görülecek (çünkü \sqrt{1} - 1^{1/3} = 0 ve 1 - 1 = 0). Dolayısıyla bu ifade “0/0 belirsiz formda” olduğundan L’Hopital kuralı uygulanabilir.
Adım Adım Çözüm:
1. L’Hopital Kuralı’nı Uygula
L’Hopital kuralı şu şekilde:
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}
Burada f(x) = \sqrt{x} - x^{1/3} ve g(x) = x - 1. Şimdi türevleri hesaplanıyor:
Payın Türevi (f’(x)):
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{3}x^{-2/3}
Paydanın Türevi (g’(x)):
g'(x) = 1
2. Türevleri Limitte Yerine Koy:
L’Hopital kuralına göre:
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{1/3}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{3}x^{-2/3}}{1}
Burada artık yalnızca paydaki ifadeyi değerlendirmemiz gerekiyor.
3. x = 1 Değerini Yerine Koy:
\frac{1}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{3}(1)^{-2/3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}
Bu durumda limit:
\frac{1}{6}
Sonuç:
Sorunun limit değeri “1/6” çıktı. Ancak sorunun verilen seçenekleri göz önüne alındığında yazım hatası olabileceği yanıtların uyuşmadığı araştırılmalı
lim (x → 1) ( (√x - 1) / (³√x - 1) ) kaçtır?
Cevap:
Bu limitin değerini bulmak için en pratik yöntemlerden biri l’Hôpital kuralı veya üstel (seri) açılım kullanmaktır. Burada her iki yaklaşım da aynı sonuca götürür.
1. Yöntem: l’Hôpital Kuralı
Verilen ifade, x → 1 olduğunda 0/0 şeklinde belirsizliğe sahiptir:
• Üst (pay) → √1 - 1 = 0
• Alt (payda) → ³√1 - 1 = 0
Bu yüzden l’Hôpital kuralını uygulayabiliriz. Kural, 0/0 (ya da ∞/∞) belirsizliği durumunda payın türevi ile paydanın türevini oranlamamızı söyler.
-
Payın türevi:
d/dx (√x - 1) = d/dx (x^(1/2)) = 1 / (2√x) -
Paydanın türevi:
d/dx (³√x - 1) = d/dx (x^(1/3)) = 1 / (3x^(2/3))
Artık limiti, bu türevlerin oranı şeklinde yazarız:
lim (x → 1) ( (√x - 1) / (³√x - 1) ) = lim (x → 1) ( (1 / (2√x)) / (1 / (3x^(2/3))) )
Bu ifade sadeleştirildiğinde:
= lim (x → 1) ( (1 / (2√x)) × (3x^(2/3) / 1) )
= lim (x → 1) ( 3x^(2/3) / (2√x) )
x = 1 koyduğumuzda:
√1 = 1 ve 1^(2/3) = 1 olduğu için:
= 3 × 1 / (2 × 1) = 3/2
2. Yöntem: Seri Yaklaşımı (Kısa Hatırlatma)
x → 1 için, √x ≈ 1 + (x-1)/2 ve ³√x ≈ 1 + (x-1)/3 ifadesiyle bir yaklaşım yaparsak:
• (√x - 1) ≈ (x-1)/2
• (³√x - 1) ≈ (x-1)/3
Oranlayınca:
((x-1)/2) / ((x-1)/3) = (3/2)
Görüldüğü gibi yine 3/2 elde ederiz.
Sonuç
Bu limitin değeri 3/2’dir.
@user
(Soru 18) Aşağıdaki limitin değeri nedir?
x → 1
( (√x + 1/x) · (√x − 1)⁶ ) / (3√x − 1)
Cevap: [Detaylı Çözüm Aşağıdadır]
İçindekiler
- Limit Kavramına Genel Bakış
- Verilen İfadenin İncelenmesi
- Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi
- Yaygın Hatalar ve Kontroller
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Bir Tablo ile Adımların Özeti
- Alternatif Düşünceler ve Kısa Hatırlatmalar
- Sonuç ve Geniş Özet
1. Limit Kavramına Genel Bakış
Bir fonksiyonun, x değeri belirli bir noktaya yaklaştığında fonksiyon değerinin neye yaklaştığını ifade eden değere “limit” denir. Limitler özellikle belirsizlik durumlarını (0/0, ∞/∞ gibi) çözmek, süreklilik veya türev konularında temel oluşturmak açısından çok önemlidir. Bu soru kapsamındaki fonksiyon, x değerinin 1’e yaklaşması durumunda ifadenin hangi değere yaklaştığını (ya da tam olarak ulaştığını) araştırmaktadır.
2. Verilen İfadenin İncelenmesi
Soruda verilen ifade:
\lim_{x \to 1} \frac{\bigl(\sqrt{x} + \frac{1}{x}\bigr)\,\bigl(\sqrt{x} - 1\bigr)^6}{3\sqrt{x} - 1}.
Burada:
- \sqrt{x}, $x$‘in karekökü,
- (\sqrt{x}-1)^6 altııncı kuvvet,
- \frac{1}{x} ise $x$‘in tersi,
- 3\sqrt{x}-1 ifadesi ise paydada yer alıyor.
Bu tarz sorularda tipik olarak x=1 doğrudan yerine konduğunda pay ve paydada bir belirsizlik oluşup oluşmayacağı incelenir.
3. Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi
Bir limit sorusunu çözerken ilk adım, her zaman doğrudan yerine koyma (direct substitution) yöntemini denemektir. Eğer bu yöntemle belirsizlik (yani 0/0, \infty/\infty vb.) elde etmiyorsak, limit değeri hızlıca bulunabilir.
4. Yaygın Hatalar ve Kontroller
- Pay veya paydanın sıfıra yaklaştığı ama aynı zamanda birbirlerini götürebilecek faktörlerin olup olmadığına bakılmalıdır.
- Özellikle (\sqrt{x}-1) gibi ifadelere dikkat edilir; x=1 için \sqrt{x}-1=0 olduğundan bu tür faktörler belirsizlik yaratabilir. Ancak bu kuvvetin (örneğin 6 gibi) sıfırı direkt olarak $0$’a götürüyorsa payın sıfır olması kaçınılmaz olabilir.
- Paydanın da sıfır olması durumunda \frac{0}{0} belirsizliği oluşur ve L’Hôpital kuralı veya başka sadeleştirme yöntemleri gerekir. Eğer payda sıfır olmuyorsa, sonuç 0’a bölünme olmadığı sürece net ortaya çıkar.
5. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Pay ve Paydanın Değerlerini Saptama
Verilen limit ifadesinde x=1 doğrudan yerine konur:
- \sqrt{1} = 1.
- 1/x ifadesinde x=1 konursa 1/1 = 1.
- (\sqrt{1} - 1)^6 = (1 - 1)^6 = 0^6 = 0.
- 3 \sqrt{1} - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 3 - 1 = 2.
Buna göre pay:
(\sqrt{1} + \frac{1}{1}) \cdot (\sqrt{1}-1)^6 = (1 + 1)\cdot 0 = 2 \cdot 0 = 0.
Payda:
3 \sqrt{1} - 1 = 2.
Adım 2: Sıfır Bölme veya Belirsizlik İncelemesi
Pay 0, payda ise 2 olduğundan payda sıfır değil. Bu durumda ifade \frac{0}{2} = 0 gibi net bir sayıyı vermektedir. Yani herhangi bir belirsizlik (0/0 gibi) söz konusu değildir.
Adım 3: Sadeleştirme Gerekip Gerekmediğini Kontrol Etme
Her ne kadar (\sqrt{x}-1)^6 ve paydada (\sqrt{x}-1) benzeri ifadeler aransa da, bu soru özelinde payda (\sqrt{x}-1) yerine (3\sqrt{x}-1) vardır. Bunun $x=1$’de sıfır olup olmadığı zaten hesaplandığı gibi 2 sonucunu verdi, yani sıfır değil. Dolayısıyla balon gibi şişen bir belirsizlik yok. Fazladan sadeleştirme veya L’Hôpital kuralına gerek kalmadan sonuç doğrudan 0 çıkmıştır.
Adım 4: Nihai Limit Değerinin Hesabı
Tüm bu adımların sonunda:
\lim_{x \to 1} \frac{\bigl(\sqrt{x} + \frac{1}{x}\bigr)\,\bigl(\sqrt{x} - 1\bigr)^6}{3\sqrt{x} - 1} = \frac{0}{2} = 0.
Dolayısıyla sorunun cevabı 0’dır.
6. Örnek Bir Tablo ile Adımların Özeti
Aşağıda kısaca adımları toplu halde gösteren bir tablo bulunmaktadır:
| Adım | Yapılan İşlem | Hesaplanan Değer |
|---|---|---|
| 1. Yerine Koyma | x=1 doğrudan yerine konulur. | – |
| 2. Pay Hesaplama | (\sqrt{1} + 1/1) \cdot (\sqrt{1}-1)^6 = (1+1)\cdot (0)^6 = 2\cdot 0 = 0 | 0 |
| 3. Payda Hesaplama | 3\sqrt{1} - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2 | 2 |
| 4. Sonuç | \frac{0}{2} = 0 | 0 |
| 5. Belirsizlik Kontrolü | Pay 0, payda 2 → 0/2 bal gibi 0, \frac{0}{0} türünden belirsizlik olmaz. | Belirsizlik yok |
| 6. Nihai Değer | Limit = 0 | 0 |
7. Alternatif Düşünceler ve Kısa Hatırlatmalar
- Eğer payda da (\sqrt{x}-1) gibi bir ifade olsaydı ve x=1 koyduğumuzda payda 0 gelseydi, o zaman 0/0 gibi bir belirsizlik oluşurdu. Bu durumda ya çarpanlara ayırma ya da L’Hôpital Kuralı kullanmak gerekli olurdu.
- Soruda çarpan (\sqrt{x}-1) altıncı dereceden ((\sqrt{x}-1)^6) olduğundan, küçük bir x=1 yakınlaşması bile payı hızla 0’a yaklaştırır. Ancak payda sıradan bir sabit olan 2’ye yaklaştığı için limit doğrudan 0’a eşit oldu.
- Limitin sıfır olmasının en önemli sebebi, yüksek kuvvetli (\sqrt{x}-1)^6 terimi ve paydada sıfır yapmayan (3\sqrt{x} -1) ifadesinin birleşimidir.
8. Sonuç ve Geniş Özet
Bu limit sorusunda, x 1’e yaklaşırken pay kısmında (\sqrt{x}-1)^6 terimi hızla 0’a gitmektedir. Diğer çarpanlar (\sqrt{x} + 1/x) ise x=1 konumunda toplamda 2 yapar. Payda 3\sqrt{x} -1 ifadesi ise $x=1$‘de 2 yapar ve sıfır olmadığı için pay 0 olduğu takdirde bize 0 sonucunu vermektedir. Dolayısıyla limit hesabının net yanıtı 0 çıkmaktadır.
Bu tür sorularda en önemli püf noktası, payın ve paydanın aynı anda 0 olup olmadığını veya paydanın da 0 yapmasıyla belirsizlik oluşup oluşmadığını hızlıca kontrol etmektir. Burada açıkça pay 0, payda sabit ve 2 olduğu için limit değeri 0’dır.
Cevap şıkları arasında 0 seçeneği varsa (ki genelde A şıkkında görünüyor), limit sonucu kesinlikle 0’dır.
Çözümün Nihai Cevabı = 0