# Logaritma 8.1

**URL:** <https://sorumatik.co/t/logaritma-8-1/537026>\
**Category:** 12.Sınıf Matematik\
**Created:** [Kasım 2, 2025, 9:45öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-8-1/537026 "2025-11-02T09:45:03Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/abdurrahman2134/32/59334_2.png) [@Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/u/Abdurrahman2134)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 9:45öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-8-1/537026/1 "2025-11-02T09:45:03Z")

</div>

![8.PNG](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/8/b/8b2d689a3504a196b77bff58d9d688daba90ea66.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 9:45öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-8-1/537026/2 "2025-11-02T09:45:24Z")

</div>

## **5^{\log\_x 3} + 3^{\log\_x 5} = 50 denkleminde x değerini bulmak**

* * *

**Verilen denklem:**

5^{\log\_x 3} + 3^{\log\_x 5} = 50

**Amacımız:** bu denklemi sağlayan x değerini bulmak.

* * *

### **1. Logaritma ve üstel ifadelerin dönüşümü**

Öncelikle, üstel ifadenin tabanları ve logaritma arasındaki ilişkiyi kullanarak ifadeleri sadeleştirebiliriz.

Hatırlayalım:

- a^{\log\_b c} = c^{\log\_b a} eşitliği vardır.

Ama burada hemen farklı yoldan ilerlemek daha kolay olabilir.

* * *

### **2. Değişken tanımlama ve işlem**

Deneme yapalım:

Şu ifadeleri yazalım:

A = \log\_x 3

B = \log\_x 5

O halde denklem:

5^A + 3^B = 50

Fakat A ve B arasında bir ilişki var. Çünkü,

A = \log\_x 3 \implies x^A = 3

B = \log\_x 5 \implies x^B = 5

İki ifadeden de:

- x^A = 3
- x^B = 5

Ayrıca logaritmanın özelliklerinden,

\log\_x 3 = \frac{\log 3}{\log x}

\log\_x 5 = \frac{\log 5}{\log x}

Burada logaritma tabanı ne olursa olsun (örneğin 10 veya e), oran aynı kalır.

* * *

### **3. Alternatif yaklaşım, eksponentlerin tersini kullanma**

Denklemi sadeleştirmek için, 5^{\log\_x 3} ifadesini aşağıdaki şekilde yazabiliriz:

Not: Üstel ve logaritmik işlemler için:

a^{\log\_b c} = c^{\log\_b a}

Örneği:

5^{\log\_x 3} = 3^{\log\_x 5}

İki terim birbirine eşittir!

Bu durumda, denklemi yazarsak:

5^{\log\_x 3} + 3^{\log\_x 5} = 3^{\log\_x 5} + 3^{\log\_x 5} = 2 \times 3^{\log\_x 5} = 50

Böylece:

2 \times 3^{\log\_x 5} = 50

3^{\log\_x 5} = 25

Ancak 3^{\log\_x 5} ifadesini aşağıdaki gibi de yazabiliriz.

Hatırlayalım ki:

3^{\log\_x 5} = e^{\log (3) \cdot \log\_x 5}

Ama daha basit bir yöntem olarak:

3^{\log\_x 5} = (x^{\log\_x 3})^{\log\_x 5} = ?

Bu biraz karmaşık olabilir, o yüzden farklı bir yöntem deneyelim.

* * *

### **4. Logaritmik yöntemle çözüm**

Denekleyelim,

5^{\log\_x 3} = e^{\log 5 \cdot \log\_x 3} = e^{ \log 5 \cdot \frac{\log 3}{\log x}}

3^{\log\_x 5} = e^{\log 3 \cdot \log\_x 5} = e^{\log 3 \cdot \frac{\log 5}{\log x}}

Görüyoruz ki iki terim eşittir; çünkü \log 5 \cdot \log 3 = \log 3 \cdot \log 5.

Bu nedenle 5^{\log\_x 3} = 3^{\log\_x 5}.

* * *

### **5. Denklemde sadeleşme**

Denklem:

5^{\log\_x 3} + 3^{\log\_x 5} = 2 \times 5^{\log\_x 3} = 50

Böylece,

2 \times 5^{\log\_x 3} = 50 \implies 5^{\log\_x 3} = 25

* * *

### **6. Üs eşitliği çözümü**

5^{\log\_x 3} = 25

25 = 5^2 olduğu için,

5^{\log\_x 3} = 5^2

Tabanlar aynı, üsler eşit olmalı:

\log\_x 3 = 2

* * *

### **7. Logaritmanın anlamı**

\log\_x 3 = 2 \implies x^2 = 3

Buradan,

x = \sqrt{3} \quad (\>0)

* * *

### **Sonuç:**

**Denklemi sağlayan x değeri:**

\boxed{x = \sqrt{3}}

* * *

## **Özet Tablosu**

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Denklem | 5^{\log\_x 3} + 3^{\log\_x 5} = 50 | Başlangıç |
| Eşitlik | 5^{\log\_x 3} = 3^{\log\_x 5} | İki terim eşit |
| Sadeleştirme | 2 \times 5^{\log\_x 3} = 50 | Toplam terim |
| Üs eşitleme | 5^{\log\_x 3} = 25 = 5^2 | Tabandan üs eşitliği |
| Üs olarak eşitleme | \log\_x 3 = 2 | Üs eşitliği |
| x ifadesini çıkarma | x^2 = 3 | Logaritma tanımı |
| Nihai sonuç | x = \sqrt{3} | Sonuç |

* * *

Eğer daha fazla açıklama veya başka bir sorunuz varsa, memnuniyetle yardımcı olurum. @Abdurrahman2134

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 9:45öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-8-1/537026/3 "2025-11-02T09:45:35Z")

</div>

## **Soru:**

5logₓ 3 + 3logₓ 5 = 50 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

* * *

## **Çözüm Adımları**

### 1. alogᵦ c = clogᵦ a Özelliği

Logaritma ve üs içeren ifadelerde sıkça kullandığımız önemli bir özelliktir:  
alogᵦ c = clogᵦ a

Buna göre:  
5logₓ 3 = 3logₓ 5

### 2. Denklemin Sadeleşmesi

Orijinal denklemimiz:  
5logₓ 3 + 3logₓ 5 = 50

Özellikten dolayı iki terim eşittir; dolayısıyla:  
2·5logₓ 3 = 50  
5logₓ 3 = 25

### 3. Üst–logaritma Dönüşümü

25 = 5² olduğuna göre:  
5logₓ 3 = 5²  
⇒ logₓ 3 = 2

### 4. x’in Bulunması ve Tabân Koşulları

logₓ 3 = 2 ise:  
x² = 3  
x = ±√3

Ancak logaritmanın tanımına göre taban

- **Pozitif olmalı** (x \> 0)
- **1’e eşit olmamalı** (x ≠ 1)

Bunları sağladığı için tek geçerli çözüm:  
**x = √3**

* * *

## **Özet Tablosu**

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| 1. Özellik kullanımı | 5logₓ 3 = 3logₓ 5 | |
| 2. Denklemin sadeleşmesi | 2·5logₓ 3 = 50 → 5logₓ 3 = 25 | |
| 3. Üst–log dönüşümü | 5logₓ 3 = 5² → logₓ 3 = 2 | |
| 4. x değeri ve şartlar | x² = 3, x \> 0, x ≠ 1 | x = √3 |

* * *

**Cevap:** x = √3

Kolay gelsin @Abdurrahman2134!