# Logaritma 7.1

**URL:** <https://sorumatik.co/t/logaritma-7-1/537016>\
**Category:** 12.Sınıf Matematik\
**Created:** [Kasım 2, 2025, 9:39öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-7-1/537016 "2025-11-02T09:39:14Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/abdurrahman2134/32/59334_2.png) [@Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/u/Abdurrahman2134)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 9:39öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-7-1/537016/1 "2025-11-02T09:39:14Z")

</div>

![7.PNG](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/d/9/d920ccbf0b25d62da8c5b5c4e672ef70fc019440.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 9:39öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-7-1/537016/2 "2025-11-02T09:39:23Z")

</div>

## **3^{\log\_a 5} + 5^{\log\_a 3} = 18 eşitliğini sağlayan a sayısı kaçtır?**

* * *

### **Çözüm:**

Verilen eşitlikte iki terim var:

3^{\log\_a 5} + 5^{\log\_a 3} = 18

Burada işlem yapmayı kolaylaştırmak için **logaritma ve üstel ifadeler arasındaki dönüşümü** kullanacağız.

* * *

### **1. Adım: Üslü ifadeleri logaritma cinsinden yazalım**

Bir sayının üstel ifadesi, farklı tabanlarda logaritma dönüşümüyle sadeleştirilebilir. Özellikle aşağıdaki eşitlik çok faydalıdır:

x^{\log\_a y} = y^{\log\_a x}

Bu eşitlik, logaritmanın çarpan değişmeli özelliğinden gelir ve doğruluğu şöyledir:

- Sağdaki terim: y^{\log\_a x} = e^{ \ln(y) \cdot \log\_a x }
- Soldaki terim: x^{\log\_a y} = e^{ \ln(x) \cdot \log\_a y }

Buradaki \log\_a x = \frac{\ln x}{\ln a} olduğu için her iki taraf birbirine eşittir.

Böylece, eşitlikte doğrudan bu özelliği kullanalım:

3^{\log\_a 5} = 5^{\log\_a 3}

Yani, problemdeki iki terim aslında eşittir.

* * *

### **2. Adım: Eşitliğe uygulayalım**

Eşitlik:

3^{\log\_a 5} + 5^{\log\_a 3} = 18

Yukarıdan iki terim eşit olduğundan, eşitliğimiz:

3^{\log\_a 5} + 3^{\log\_a 5} = 18

Bu da

2 \cdot 3^{\log\_a 5} = 18

Buradan:

3^{\log\_a 5} = 9

* * *

### **3. Adım: Üslü ifadeyi çözelim**

Bu durumda:

3^{\log\_a 5} = 9

9 sayısı 3’ün karesi olduğundan:

3^{\log\_a 5} = 3^2

Eksponentler eşit olmalı, yani:

\log\_a 5 = 2

* * *

### **4. Adım: a değerini bulalım**

\log\_a 5 = 2 eşitliğini, logaritma tanımına göre yazalım:

a^2 = 5

Buradan:

a = \sqrt{5}

* * *

### **Sonuç:**

Eşitliği sağlayan sayı

**a = \sqrt{5}**

* * *

## **Özet Tablosu**

| Adım No | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| 1 | 3^{\log\_a 5} = 5^{\log\_a 3} olduğunu hatırlama | İki terim eşit |
| 2 | Eşitlikte terimleri birbirine eşitleme | 2 \times 3^{\log\_a 5} = 18 |
| 3 | Üstü aynı taban için eşitleme | \log\_a 5 = 2 |
| 4 | Logaritma tanımından a'yı bulma | a = \sqrt{5} |

* * *

**Kısaca, verilen logaritmik eşitliği sağlayan sayı a = \sqrt{5}'tir.**

@Abdurrahman2134

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 9:39öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-7-1/537016/3 "2025-11-02T09:39:35Z")

</div>

Merhaba Abdurrahman,

Soruyu adım adım çözelim:

Problem  
3^log\_a(5) + 5^log\_a(3) = 18 eşitliğini sağlayan a sayısını bulunuz.

1. Ön koşullar

- a\>0 ve a≠1 olmalıdır; çünkü logaritma tanımsal olarak bu aralıklarda geçerli.

1. Üsleri ortak tabana çevirme  
a tabanındaki logaritmaları kullanalım.  
• log\_a(3) = x ise a^x = 3  
• log\_a(5) = y ise a^y = 5

Buna göre:  
3^log\_a(5) = 3^y ve 5^log\_a(3) = 5^x

1. 3^y ve 5^x ifadelerinin a üslü hâli  
• 3 = a^x ⇒ 3^y = (a^x)^y = a^(x·y)  
• 5 = a^y ⇒ 5^x = (a^y)^x = a^(x·y)

Dolayısıyla eşitlik:  
a^(x·y) + a^(x·y) = 18  
2·a^(x·y) = 18  
a^(x·y) = 9

1. x·y’yı farklı yoldan bulma

- a^(x·y) = 9 ⇒ 3^y = 9 (çünkü 3^y = a^(x·y))  
Buna göre 3^y = 9 = 3^2 ⇒ y = 2
- y = log\_a(5) = 2 ⇒ a^2 = 5 ⇒ a = √5

1. Sonuç  
Elde ettiğimiz değer a = √5 hem a\>0 şartını sağlar hem de a≠1 olduğundan geçerlidir.

**Cevap:** a = √5