# Logaritma 2

**URL:** <https://sorumatik.co/t/logaritma-2/536939>\
**Category:** 12.Sınıf Matematik\
**Created:** [Kasım 2, 2025, 6:32öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-2/536939 "2025-11-02T06:32:28Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/abdurrahman2134/32/59334_2.png) [@Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/u/Abdurrahman2134)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 6:32öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-2/536939/1 "2025-11-02T06:32:28Z")

</div>

![3.PNG](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/e/a/ea1914f6412dba089ce910d2677999bb9f5a67c5.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 6:32öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-2/536939/2 "2025-11-02T06:32:40Z")

</div>

Merhaba Abdurrahman,

Soruda;

- (m) ve (n), birden farklı pozitif gerçek sayılar,
- (m^3 = n^4) koşulu veriliyor.

İstenen ifade:  
[  
\log\_m n ;+;\log\_n m  
]

Aşağıda adım adım çözümü bulabilirsin.

1. İlişkiyi logaritmaya çevir  
[  
m^3 = n^4  
\quad\Longrightarrow\quad  
3\ln m = 4\ln n  
\quad\Longrightarrow\quad  
\frac{\ln n}{\ln m} = \frac{3}{4}  
]

2. (\log\_m n) değerini bul  
[  
\log\_m n = \frac{\ln n}{\ln m} = \frac{3}{4}  
]

3. (\log\_n m) ifadesi, logaritma değişim formülüne göre  
[  
\log\_n m = \frac{\ln m}{\ln n}  
= \frac{1}{\displaystyle\frac{\ln n}{\ln m}}  
= \frac{1}{\tfrac{3}{4}}  
= \frac{4}{3}  
]

4. Toplamı hesapla  
[  
\log\_m n + \log\_n m  
= \frac{3}{4} + \frac{4}{3}  
= \frac{3\cdot3}{4\cdot3} + \frac{4\cdot4}{3\cdot4}  
= \frac{9}{12} + \frac{16}{12}  
= \frac{25}{12}  
]

Cevap:  
**(\displaystyle \log\_m n + \log\_n m = \frac{25}{12}).**

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 6:32öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-2/536939/3 "2025-11-02T06:32:45Z")

</div>

## **Soru:**

m ve n, birden farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere,  
m^3 = n^4 olduğuna göre,  
\log\_m n + \log\_n m toplamının değerini bulunuz.

* * *

## **Cevap:**

Verilen ifadeyi adım adım çözelim.

### 1. Verilen denklemi yazalım:

m^3 = n^4

Bu eşitlikten m'yi n cinsinden ifade edebiliriz:

m = n^{\frac{4}{3}}

### 2. İlk logaritmayı yazalım:

\log\_m n = \frac{\log n}{\log m}

Burada logaritmanın tabanını belirtmedik; genellikle logaritmalar aynı tabanlıdır, örneğin 10 veya e, önemli değil çünkü oran kullanacağız.

### 3. İkinci logaritmayı yazalım:

\log\_n m = \frac{\log m}{\log n}

### 4. Şimdi toplamı yazalım:

\log\_m n + \log\_n m = \frac{\log n}{\log m} + \frac{\log m}{\log n}

### 5. Burada rahatlıkla aşağıdaki değişkenleri tanımlayabiliriz:

a = \log m, \quad b = \log n

Böylece toplam:

S = \frac{b}{a} + \frac{a}{b}

### 6. Bu ifadeyi ortak payda ile toplayalım:

S = \frac{b^2 + a^2}{ab}

### 7. a ve b arasındaki ilişkiyi kullanalım:

İlk eşitlikten logaritma alalım (ayrı tabanlar değil, aynı tabanda alacağımızı varsayıyoruz):

m^3 = n^4 \Rightarrow 3 \log m = 4 \log n \Rightarrow 3a = 4b

Buradan:

a = \frac{4b}{3}

### 8. Şimdi S'yi b cinsinden yazalım:

S = \frac{b^2 + a^2}{ab} = \frac{b^2 + \left(\frac{4b}{3}\right)^2}{b \cdot \frac{4b}{3}} = \frac{b^2 + \frac{16b^2}{9}}{\frac{4b^2}{3}} = \frac{b^2 \left(1 + \frac{16}{9}\right)}{\frac{4b^2}{3}} = \frac{b^2 \cdot \frac{25}{9}}{\frac{4b^2}{3}} 

### 9. Pay ve paydadaki b^2'ler sadeleşir:

S = \frac{\frac{25}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{25}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{25 \times 3}{9 \times 4} = \frac{75}{36} = \frac{25}{12}

* * *

## **Sonuç:**

**Aranan toplamın değeri:**

\boxed{\frac{25}{12}}

* * *

## **Özet Tablosu**

| Adım | Açıklama | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Verilen denklem | m^3 = n^4 | |
| m'yi n cinsinden ifade et | m = n^{4/3} | |
| Logaritma tanımı | \log\_m n = \frac{\log n}{\log m}, \quad \log\_n m = \frac{\log m}{\log n} | |
| Değişken tanımı | a = \log m, \quad b = \log n | |
| Toplam ifadesi | S = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{b^2 + a^2}{ab} | |
| Eşitlikten a ile b ilişkisi | 3a = 4b \Rightarrow a = \frac{4b}{3} | |
| S ifadesinin b gibi yazımı | S = \frac{25}{12} | |

* * *

İstersen denklemi sağlaması için farklı n değerleri deneyerek sonuç doğrulanabilir.

Başka soruların olursa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım, @Abdurrahman2134!