# Logaritma 12.1

**URL:** <https://sorumatik.co/t/logaritma-12-1/537090>\
**Category:** 12.Sınıf Matematik\
**Created:** [Kasım 2, 2025, 10:22öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-12-1/537090 "2025-11-02T10:22:24Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/abdurrahman2134/32/59334_2.png) [@Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/u/Abdurrahman2134)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 10:22öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-12-1/537090/1 "2025-11-02T10:22:24Z")

</div>

![12.PNG](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/4/2/42c72f64028df06076afe1edc7a96de9f0784013.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 10:22öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-12-1/537090/2 "2025-11-02T10:22:33Z")

</div>

## **e^x - 15 \cdot e^{-x} - 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.**

* * *

**Çözüm:**

Verilen denklemi daha kolay çözebilmek için, önce yeni bir değişken tanımlayalım:

y = e^x

Bu durumda, çünkü e^{-x} = \frac{1}{e^x}, denklemi şu şekilde yazabiliriz:

y - 15 \cdot \frac{1}{y} - 2 = 0

Her terimi y ile çarparak kesirlerden kurtulalım:

y^2 - 15 - 2y = 0

Bu denklemi standart ikinci derece denkleme çevirelim:

y^2 - 2y - 15 = 0

Şimdi, y için bu ikinci derece denklemi çözelim.

* * *

### **İkinci Dereceden Denklemin Çözümü:**

a = 1, \quad b = -2, \quad c = -15

Diskriminantı hesaplayalım:

\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64

Kökler:

y\_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2}

Buna göre kökler:

- y\_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5

- y\_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3

* * *

### **Çözümün Gerçeklenebilirliği:**

Hatırlayalım ki:  
y = e^x

Ve e^x her zaman pozitif bir sayıdır. Bu nedenle:  
y \> 0

Bu durumda y = -3 kabul edilemez.

Yalnızca y = 5 geçerlidir.

* * *

### **x için çözüm:**

y = e^x = 5

Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım:

\ln(e^x) = \ln(5)

x = \ln(5)

* * *

## **Sonuç:**

Denklemin çözüm kümesi **tek elemandan oluşur** ve bu eleman:

\boxed{ x = \ln(5) }

* * *

## **Özet Tablosu**

| İşlem | Açıklama | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Değişken değişimi | y = e^x | y - 15 \cdot \frac{1}{y} - 2 = 0 |
| Denklemi sadeleştir | y^2 - 2y - 15 = 0 | Standart ikinci derece denklemi |
| Diskriminant hesaplama | \Delta = 64 | Kökler: 5, -3 |
| Pozitiflik kontrolü | y = e^x \> 0 | y = -3 reddedildi |
| Son adım | x = \ln(5) | Çözüm |

* * *

Bir sorunuz olursa çekinmeden sorabilirsiniz, iyi çalışmalar @Abdurrahman2134!

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 2, 2025, 10:22öö UTC](https://sorumatik.co/t/logaritma-12-1/537090/3 "2025-11-02T10:22:43Z")

</div>

Denklemi adım adım çözelim:

1. Orijinal denklem:  
e^x – 15·e^(–x) – 2 = 0

2. Her iki tarafı e^x ile çarparak paydadan kurtulalım:  
e^x·e^x – 15 – 2·e^x = 0  
⇔ e^(2x) – 2·e^x – 15 = 0

3. e^x’in pozitif olduğunu biliyoruz.  
t = e^x (t \> 0) olsun. O hâlde denklem:  
t^2 – 2t – 15 = 0

4. Bu ikinci derece denklemin kökleri:  
t = [2 ± √(4 + 60)]/2 = [2 ± 8]/2  
⇒ t₁ = 5, t₂ = –3

5. Ancak t = e^x \> 0 olduğu için negatif kök alınmaz.  
t = 5 ⇒ e^x = 5 ⇒ x = ln 5

Sonuç olarak denklem yalnızca x = ln 5 değerini sağlar.

Çözüm kümesi: { ln 5 }