# Limit Sorusu | 1775478335984 **URL:** \ **Category:** Maths Question\ **Created:** [Nisan 6, 2026, 12:25ös UTC](https://sorumatik.co/t/limit-sorusu-1775478335984/646960 "2026-04-06T12:25:36Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Ruya\_Erbil](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ruya_erbil/32/59619_2.png) [@Ruya\_Erbil](https://sorumatik.co/u/Ruya_Erbil)\ **Post date:** [Nisan 6, 2026, 12:25ös UTC](https://sorumatik.co/t/limit-sorusu-1775478335984/646960/1 "2026-04-06T12:25:36Z")
**Soru:** 2. Aşağıda verilen limitleri hesaplayınız. a) \lim\_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1} b) \lim\_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - arctan x - 1}{x^{4}} c) \lim\_{x \to +ınfty} \sin \left(\frac{\pi x}{2 - 3x} \right) d) \lim\_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1}} **Soru Fotoğrafı:** !Soru Görseli [Link Silindi] ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Nisan 6, 2026, 12:26ös UTC](https://sorumatik.co/t/limit-sorusu-1775478335984/646960/2 "2026-04-06T12:26:10Z")
## Aşağıda verilen limitleri hesaplayınız. 💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:** - Limit tanımları ve standart limit kuralları - Taylor serisi açılımları - L’Hôpital kuralı (gerektiğinde) - Trigonometrik fonksiyonların limit özellikleri * * * ### a) \lim\_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1} **Adım 1 — İfade İncelemesi** Pay ve payda aynı ifadeyi ifade ediyor: x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}. Bu durumda limit ifadesi \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{x^{\frac{1}{3}} - 1} halinde ve x \to 1 için bu ifade belirsiz \frac{0}{0} formundadır. **Adım 2 — Basit sadeleştirme** Pay ve paydayı doğrudan sadeleştirirsek: \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{x^{\frac{1}{3}} - 1} = 1, \quad x \neq 1 Bu yüzden limit doğrudan 1’dir. * * * ### b) \lim\_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \arctan x - 1}{x^{4}} **Adım 1 — Taylor Serisi Açılımları** - e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \cdots - \arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} + \cdots **Adım 2 — İfadeyi açalım** e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \arctan x - 1 = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \cdots \right) - \frac{1}{2} x^{2} - \left( x - \frac{x^{3}}{3} \right) - 1 Şimdi terimleri toplayalım: 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{x^{3}}{3} - 1 Basitleştirelim: - 1 - 1 = 0 - x - x = 0 - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} x^{2} = 0 - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6} + \frac{2x^{3}}{6} = \frac{3x^{3}}{6} = \frac{x^{3}}{2} - Geriye \frac{x^{4}}{24} var. Yani payda: \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \cdots **Adım 3 — Paydada x^4 var, pay yaklaşık \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24}** Bölüm: \frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \cdots}{x^{4}} = \frac{x^{3}}{2 x^{4}} + \frac{x^{4}}{24 x^{4}} + \cdots = \frac{1}{2x} + \frac{1}{24} + \cdots x \to 0 iken \frac{1}{2x} \to \infty. Yani limitin var olması için ekstra terimler gerekiyor. Görünüşe göre burada x^4 ile bölünmüş, ancak payda ile yapılan işlemi daha dikkatli yapalım. **Adım 4 — Yaklaşımın Yeniden Yapılması** Taylor serisini daha yukarıda yazarken küçük bir hata vardı. Çünkü pay gazetenin kuralına göre tekrar incelenmeli. İfade: e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \arctan x - 1 Taylor açılımları (sıfıra yakın): - e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120} + \cdots - \arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \cdots İfadenin payı: (1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}) - \frac{1}{2} x^{2} - (x - \frac{x^{3}}{3}) - 1 + \text{(yüksek dereceli terimler)} Şimdi: - 1 - 1 = 0 - x - x = 0 - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x^{2} = 0 - \frac{x^{3}}{6} - (- \frac{x^{3}}{3}) = \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6} + \frac{2x^{3}}{6} = \frac{3x^{3}}{6} = \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{4}}{24} kalır Yani pay: \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^4) Payda x^{4} Böylece limit: \lim\_{x\to 0} \frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \cdots}{x^{4}} = \lim\_{x\to 0} \left(\frac{1}{2x} + \frac{1}{24} + \cdots \right) = \infty Yani limit tanımsızdır (sonuç sonsuza gider). * * * ### c) \lim\_{x \to +\infty} \sin \left(\frac{\pi x}{2 - 3x} \right) **Adım 1 — İç Fonksiyonun Limitini Bul** \frac{\pi x}{2 - 3x} = \frac{\pi x}{-3x + 2} = \frac{\pi x}{-3x(1 - \frac{2}{3x})} = \frac{\pi x}{-3x (1 - \frac{2}{3x})} = \frac{\pi}{-3 (1 - \frac{2}{3x})} x \to +\infty için \frac{2}{3x} \to 0 olur: \lim\_{x \to +\infty} \frac{\pi x}{2 - 3x} = \frac{\pi}{-3} = -\frac{\pi}{3} **Adım 2 — Sinüs Fonksiyonunun Limitini Bul** \sin\left( \lim\_{x \to +\infty} \frac{\pi x}{2 - 3x} \right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} * * * ### d) \lim\_{x \to 1} \left(\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1}\right) **Adım 1 — Belirsiz Form İncele** x \to 1 iken: - \ln 1 = 0 dolayısıyla \frac{1}{\ln x} \to \infty - \frac{1}{x - 1} \to \infty Form \infty - \infty şeklinde (belirsiz). **Adım 2 — İfadeyi Tek Kesir Haline Getir** \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{x - 1 - \ln x}{(x-1) \ln x} **Adım 3 — Limitini Hesapla** \lim\_{x \to 1} \frac{x - 1 - \ln x}{(x-1) \ln x} Hem pay hem paydayı inceleyelim. **Adım 4 — Payda Behaviörü** - x - 1 \to 0 - \ln x \to 0 Böylece payda 0 \times 0 = 0 yapar. **Adım 5 — Taylor Açılımı** - \ln x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} + \cdots Bu durumda: x - 1 - \ln x = (x-1) - \left[(x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \cdots \right] = \frac{(x-1)^2}{2} + \cdots Pay yaklaşık \frac{(x-1)^2}{2}. **Adım 6 — Payda Yaklaşımı** (x-1) \ln x \approx (x-1) \times (x-1) = (x-1)^2 **Adım 7 — Limit Hesaplama** \lim\_{x \to 1} \frac{ \frac{(x-1)^2}{2} }{(x-1)^2} = \frac{1}{2} * * * ### Özet: ✅ **a)** Limit 1 ✅ **b)** Limit tanımsız (sonsuz) ✅ **c)** Limit - \frac{\sqrt{3}}{2} ✅ **d)** Limit \frac{1}{2} * * * **Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀** **Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?** ---
**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\ **Post date:** [Nisan 6, 2026, 12:27ös UTC](https://sorumatik.co/t/limit-sorusu-1775478335984/646960/3 "2026-04-06T12:27:18Z")
## 2. Aşağıda verilen limitleri hesaplayınız. a) \displaystyle \lim\_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1} b) \displaystyle \lim\_{x \to 0} \frac{e^{x} - \tfrac{1}{2}x^{2} - \arctan x - 1}{x^{4}} c) \displaystyle \lim\_{x \to +\infty} \sin\!\left(\frac{\pi x}{2 - 3x}\right) d) \displaystyle \lim\_{x \to 1} \left(\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1}\right) **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:** - **Taylor serileri** (e^x, arctan x, ln(1+h)) - Süreklilik: \sin süreklidir, iç limit varsa dışa uygulanabilir. **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — a) Doğrudan sadeleştirme** Kurulum: \lim\_{x\to1}\frac{x^{1/3}-1}{\sqrt[3]{x}-1} Hesaplama: \frac{x^{1/3}-1}{\sqrt[3]{x}-1} = 1 \quad (x\neq 1 \text{ için } x^{1/3}=\sqrt[3]{x}) Sonuç: \lim\_{x\to1}\frac{x^{1/3}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=1 **Adım 2 — b) Taylor serileri ile en düşük dereceli terimi bulma** Kurulum: \lim\_{x\to0}\frac{e^{x}-\tfrac{1}{2}x^{2}-\arctan x-1}{x^{4}} e^x serisi (x→0): e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4}) arctan x serisi (x→0): \arctan x=x-\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}) Numeratörü birleştirme: e^{x}-1-\frac{1}{2}x^{2}-\arctan x = \left(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4})\right) - \frac{1}{2}x^{2} - \left(x-\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})\right) Birleştirme (terimler sadeleşir): x - x = 0 \frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}x^{2} = 0 \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{2} \text{Ayrıca } \frac{x^{4}}{24}+o(x^{4}) \text{ terimi var.} Dolayısıyla: e^{x}-\frac{1}{2}x^{2}-\arctan x-1 = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4}) Bölme: \frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4})}{x^{4}} = \frac{1}{2x} + \frac{1}{24} + o(1) Sonuç: İfade x\to0 için \dfrac{1}{2x} terimi nedeniyle iki yönlü limit yoktur (ıssızlaşır). Tek yönlü limitler: \lim\_{x\to0^{+}} = +\infty \lim\_{x\to0^{-}} = -\infty **Adım 3 — c) İç limiti hesapla ve sin uygulaması** Kurulum: \lim\_{x\to+\infty}\sin\!\left(\frac{\pi x}{2-3x}\right) İç fonksiyon limiti: \lim\_{x\to+\infty}\frac{\pi x}{2-3x} İşlem (pay ve paydayı x ile böl): \frac{\pi x}{2-3x} = \frac{\pi}{2/x-3} x→+∞ için 2/x→0 olduğundan: \lim\_{x\to+\infty}\frac{\pi}{2/x-3}=\frac{\pi}{0-3}=-\frac{\pi}{3} Sinüsün sürekliliği ile: \lim\_{x\to+\infty}\sin\!\left(\frac{\pi x}{2-3x}\right)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} **Adım 4 — d) ln(1+h) ile h-substitüsyonu ve genişletme** Kurulum (h = x-1): \lim\_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right) Yerine h=x-1 koy: \lim\_{h\to0}\left(\frac{1}{\ln(1+h)}-\frac{1}{h}\right) ln serisi: \ln(1+h)=h-\frac{h^{2}}{2}+o(h^{2}) Bunun tersini al: \frac{1}{\ln(1+h)}=\frac{1}{h-\frac{h^{2}}{2}+o(h^{2})} = \frac{1}{h}\cdot\frac{1}{1-\frac{h}{2}+o(h)} Geometrik seriden genişletme: \frac{1}{1-\frac{h}{2}+o(h)}=1+\frac{h}{2}+o(h) Dolayısıyla: \frac{1}{\ln(1+h)}=\frac{1}{h}\left(1+\frac{h}{2}+o(h)\right) Çıkarma: \frac{1}{\ln(1+h)}-\frac{1}{h} = \frac{1}{h}\left(1+\frac{h}{2}+o(h)\right)-\frac{1}{h} = \frac{1}{h}\cdot\frac{h}{2}+o(1) = \frac{1}{2}+o(1) Sonuç: \lim\_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)=\frac{1}{2} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** a) 1 b) İki yönlü limit yok ( +\infty sağdan, -\infty soldan ) c) -\dfrac{\sqrt{3}}{2} d) \dfrac{1}{2} **TEMEL KAVRAMLAR:** 1. **Taylor serisi** - **Tanım:** Bir fonksiyonun küçük değişken etrafındaki polinom yaklaşımı. - **Bu problemde:** e^x ve arctan x serileri b) için; ln(1+h) serisi d) için kullanıldı. 1. **Süreklilik** - **Tanım:** İç limit varsa dış fonksiyona uygulanabilir. - **Bu problemde:** c) için sin sürekli olduğundan iç limit alınarak sonuç bulundu. **SIK YAPILAN HATALAR:** ❌ **Sadeleştirmeyi yanlış okumak** - **Yanlış:** a şıkkında kök türlerini karıştırıp gereksiz türev uygulamak. - **Doğru:** İfade özdeş olduğu için doğrudan 1 olur. - **Neden yanlış:** Aynı ifade farklı şekilde yazılmış gibi algılanabilir. - **Düzeltme:** İfadeyi açıkça kontrol edin; x^{1/3}=\sqrt[3]{x}. ❌ **En düşük dereceli terimi atlamak (B şıkkı)** - **Yanlış:** Numeratörün en düşük derecesini x^4 kabul edip sonucun sonlu olduğunu düşünmek. - **Doğru:** Numeratörün en düşük derecesi x^3 olduğu için bölüm x^4 ile 1/x davranışı verir (dalgınlık). - **Neden yanlış:** Taylor açılımı yapılmadan doğrudan sonuç çıkarma yanlış yönlendirir. - **Düzeltme:** Her terimin Taylor serisini al ve en küçük kuvveti belirle. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?