# Leöwleöwlsmwle

**URL:** <https://sorumatik.co/t/leowleowlsmwle/214941>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Nisan 26, 2025, 9:20ös UTC](https://sorumatik.co/t/leowleowlsmwle/214941 "2025-04-26T21:20:07Z")\
**Posts on this page:** 5\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Acbdeadcvw.1](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/a/57b2e6/32.png) [@Acbdeadcvw.1](https://sorumatik.co/u/Acbdeadcvw.1)\
**Post date:** [Nisan 26, 2025, 9:20ös UTC](https://sorumatik.co/t/leowleowlsmwle/214941/1 "2025-04-26T21:20:07Z")

</div>

![IMG_3642](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/7/2/7283fc8684cab982f92f70e4a8f51d875cb1bbbc.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Nisan 26, 2025, 9:20ös UTC](https://sorumatik.co/t/leowleowlsmwle/214941/2 "2025-04-26T21:20:20Z")

</div>

## **Verilen Matematik Sorusu için Çözüm**

Soruda aşağıdaki bilgiler veriliyor:

- İki ikinci-dereceden denklem var:
x^2 - ax + b = 0

x^2 - cx + 3b = 0
- İki denklemin ortak kökü **x = 2**.
- Ayrıca, **\frac{a}{c} = \frac{2}{5}** bağıntısı verilmiş.
- Soruda istenen ise şu limit değeri:
\lim\_{x \to 2} \frac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b}

* * *

### **Adım 1: Ortak Kök Bilgisine Göre Kapsama**

**x = 2** , her iki denklemin kökü olduğu için denklemleri **x = 2** yerine yazarız:

#### **Birinci Denklem:**

2^2 - 2a + b = 0

4 - 2a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 2a - 4

#### **İkinci Denklem:**

2^2 - 2c + 3b = 0

4 - 2c + 3b = 0 \quad \Rightarrow \quad 3b = 2c - 4

Buradan, **b** ’yi yukarıdaki ifadeden yerine koyarız:

3(2a - 4) = 2c - 4

6a - 12 = 2c - 4

2c = 6a - 8 \quad \Rightarrow \quad c = 3a - 4

* * *

### **Adım 2: \frac{a}{c} = \frac{2}{5} Bilgisini Kullanma**

\frac{a}{c} = \frac{2}{5} \quad \Rightarrow \quad 5a = 2c

Burada **c = 3a - 4** olduğundan:

5a = 2(3a - 4)

5a = 6a - 8

a = 8

Bulduğumuz **a** değerini, **c** ve **b** eşitliklerinde yerine koyarız:

c = 3a - 4 = 3(8) - 4 = 24 - 4 = 20

b = 2a - 4 = 2(8) - 4 = 16 - 4 = 12

* * *

### **Adım 3: Limitte İfadeyi Yerine Koyma**

Limitte verilen ifade:

\lim\_{x \to 2} \frac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b}

**Pay ve paydada denklemleri açalım:**

#### **Pay:**

x^2 - cx + 3b = x^2 - 20x + 3(12) = x^2 - 20x + 36

#### **Payda:**

x^2 - ax + b = x^2 - 8x + 12

* * *

### **Adım 4: Ortak Kök Durumu ile Sadeleştirme**

**x = 2** , hem payın hem de paydanın kökü olduğu için **(x - 2)** çarpanı ortak:

#### **Pay:**

x^2 - 20x + 36 = (x - 2)(x - 18)

#### **Payda:**

x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)

**Limit ifadesi sadeleşir:**

\lim\_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 18)}{(x - 2)(x - 6)} = \lim\_{x \to 2} \frac{x - 18}{x - 6}

* * *

### **Adım 5: x \to 2 için Limit Hesabı**

Yerine koyarak:

\frac{x - 18}{x - 6} = \frac{2 - 18}{2 - 6} = \frac{-16}{-4} = 4

* * *

### **Sonuç:**

\lim\_{x \to 2} \frac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b} = 4

* * *

Sorunun çözümü tamamlandı. Eğer başka sorularınız varsa yardımcı olabilirim!

@Acbdeadcvw.1

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 26, 2025, 9:20ös UTC](https://sorumatik.co/t/leowleowlsmwle/214941/3 "2025-04-26T21:20:26Z")

</div>

## **Yukarıda verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin ortak kökü 2’dir. Buna göre, \displaystyle \lim\_{x \to 2} \frac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b} ifadesinin değeri nedir?**

**Cevap:**

### Sorunun Analizi

Verilen denklemler:

1. x^2 - a x + b = 0
2. x^2 - c x + 3b = 0

Bu iki denklemin **ortak kökü 2’dir.** Ayrıca, \dfrac{a}{c} = \dfrac{2}{5}.

İstenen:

\lim\_{x \to 2} \frac{x^2 - c x + 3b}{x^2 - a x + b}

* * *

### 1. Ortak kökü kullan

2 her iki denklemin de köküdür, yani:

**Birinci denklemde yerine koyalım:**

2^2 - 2a + b = 0 \implies 4 - 2a + b = 0 \implies b = 2a - 4 \tag{1}

**İkinci denklem için:**

2^2 - 2c + 3b = 0 \implies 4 - 2c + 3b = 0 \implies 3b = 2c - 4 \implies b = \frac{2c - 4}{3} \tag{2}

Şimdi b’leri birbirine eşitleyelim:

2a - 4 = \frac{2c - 4}{3}

Her iki tarafı 3 ile çarpalım:

3(2a - 4) = 2c - 4 \\ 6a - 12 = 2c - 4 \\ 6a - 2c = 12 - 4 \\ 6a - 2c = 8 \\ 3a - c = 4 \tag{3}

* * *

### 2. \frac{a}{c} = \frac{2}{5} oranını kullan

a = \frac{2}{5}c

Bunu (3) denklemine yerleştir:

3a - c = 4 \\ 3 \left(\frac{2}{5}c\right) - c = 4 \\ \frac{6}{5}c - c = 4 \\ \frac{6}{5}c - \frac{5}{5}c = 4 \\ \frac{1}{5}c = 4 \implies c = 20

Bunu kullanarak a’yı bul:

a = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8

Şimdi b’yi bulmak için (1) ya da (2)'yi kullan:

b = 2a - 4 = 2 \cdot 8 - 4 = 16 - 4 = 12

* * *

### 3. Limit Hesabı (Belirsizlik Kontrolü!)

Soruda limit soruluyor:

\lim\_{x \to 2} \frac{x^2 - c x + 3b}{x^2 - a x + b}

a = 8, c = 20, b = 12

Alt ve üst ifadelerinde x=2 koyarsak:

#### Alt:

x^2 - a x + b = 4 - 16 + 12 = 0

#### Üst:

x^2 - c x + 3b = 4 - 40 + 36 = 0

Yani **\frac{0}{0}** belirsizliği var! Limitte pay ve paydayı sadeleştireceğiz.

* * *

### 4. Pay ve paydayı çarpanlara ayır

Denklemlerin köklerinden birisi **2** idi. Hem üst hem alt polinomun kökü x=2’dir, dolayısıyla payda ve payda sadeleşir.

#### Alt:

x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)

#### Üst:

x^2 - 20x + 36 = (x-2)(x-18)

#### Limit:

\lim\_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-18)}{(x-2)(x-6)} = \lim\_{x \to 2} \frac{x-18}{x-6}

x \to 2 için:

\frac{2-18}{2-6} = \frac{-16}{-4} = 4

* * *

## **Sonuç (Cevap):**

**İstenen limitin değeri \boxed{4}'tür.**

@Acbdeadcvw.1

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Nisan 26, 2025, 9:20ös UTC](https://sorumatik.co/t/leowleowlsmwle/214941/4 "2025-04-26T21:20:38Z")

</div>

## **Verilen sorunun çözümü (Ortak kök, limit ve oran)**

### **Table of Contents**

1. [Verilenlerin Özeti ve Terimler](#verilenlerin-ozeti)
2. [Ortak Kökten Katsayıların İlişkisi](#ortak-kokten-katsayilar)
3. 
  - 

4. [Limitin Çözümü](#limit-cozumu)
5. [Sonuç ve Özet Tablo](#sonuc-ve-ozet-tablo)

* * *

## **1. Verilenlerin Özeti ve Terimler**

**Verilenler:**

- x^2 - ax + b = 0
- x^2 - cx + 3b = 0
- Ortak kök: 2
- \dfrac{a}{c} = \dfrac{2}{5}
- Sorulan: \displaystyle \lim\_{x \to 2} \dfrac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b} 

### **Kavramlar:**

- **Ortak kök:** İki denklemin aynı kökü sağlıyor olması.
- **Limit:** Belirsizlikten dolayı (0/0 tipi), L’Hospital veya sadeleştirme gerekebilir.
- **Oran:** a/c = 2/5

* * *

## **2. Ortak Kökten Katsayıların İlişkisi**

### **Adım adım gidelim:**

#### a) x^2 - ax + b = 0 için x=2 yerine yaz:

2^2 - a \cdot 2 + b = 0 \implies 4 - 2a + b = 0 \implies b = 2a - 4

#### b) x^2 - cx + 3b = 0 için x=2 yerine yaz:

2^2 - c \cdot 2 + 3b = 0 \implies 4 - 2c + 3b = 0 \implies 3b = 2c - 4 \implies b = \frac{2c - 4}{3}

#### c) b değerlerini eşitle:

2a - 4 = \frac{2c - 4}{3}

Her iki tarafı 3 ile çarp:

3(2a - 4) = 2c - 4 \\ 6a - 12 = 2c - 4 \\ 6a - 2c = 12 - 4 \\ 6a - 2c = 8 \\ 3a - c = 4

#### d) a ve $c$’yi birbirine oranla:

a = \frac{2}{5}c

Bu oranı 3a - c = 4 denkleminde kullan:

3a - c = 4 \\ 3\left(\frac{2}{5}c\right) - c = 4 \\ \frac{6}{5}c - c = 4 \\ \left(\frac{6}{5}c - \frac{5}{5}c\right) = 4 \\ \frac{1}{5}c = 4 \implies c = 20

a = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8

a ve c’yi bulduk:

- a = 8
- c = 20

Şimdi b’yi bulalım:

b = 2a - 4 = 2 \times 8 - 4 = 16 - 4 = 12

Ya da,

b = \frac{2c - 4}{3} = \frac{2 \times 20 - 4}{3} = \frac{40 - 4}{3} = \frac{36}{3} = 12

* * *

## **3. Oranların Kullanılması ve b’nin İfadesi**

| **Parametre** | **Değer** |
| --- | --- |
| a | 8 |
| c | 20 |
| b | 12 |

* * *

## **4. Limitin Çözümü**

Limitte verilen ifadeye değerleri yazalım:

\lim\_{x \to 2} \frac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b}

a=8, c=20, b=12 yerine koyarsak:

\lim\_{x \to 2} \frac{x^2 - 20x + 36}{x^2 - 8x + 12}

Çünkü 3b = 3 \times 12 = 36

### **Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım**

#### Paydayı çarpanlara ayıralım:

x^2 - 8x + 12

Çarpanları: x^2 - 8x + 12 = (x-6)(x-2)

#### Payı çarpanlara ayıralım:

x^2 - 20x + 36

Kökler için:

x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \times 36}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 144}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{20 \pm 16}{2}

Kökler: x\_1 = \frac{20+16}{2} = 18, x\_2 = \frac{20-16}{2} = 2

Yani:

x^2 - 20x + 36 = (x-18)(x-2)

### **İfadeyi tekrar yazalım:**

\frac{(x-18)(x-2)}{(x-6)(x-2)}

Burada x=2 için hem payda hem payda (x-2) çarpanı var, yani $x=2$’de belirsizlik (0/0) var. Bu nedenle sadeleştirebiliriz:

\frac{x-18}{x-6}

(x \neq 2 için geçerli, ancak limitte $x \to 2$’de bu sadeleştirme geçerlidir.)

Şimdi limite x=2 yazalım:

\lim\_{x \to 2} \frac{x-18}{x-6} = \frac{2-18}{2-6} = \frac{-16}{-4} = 4

* * *

## **5. Sonuç ve Özet Tablo**

### **Çözüm Özeti Tablosu**

| **Adım** | **İşlem / Sonuç** |
| --- | --- |
| Ortak kök ile b | b = 2a - 4 ve b = \frac{2c-4}{3} |
| Oran ile a ve c | a = 8, c = 20 ($a/c = 2/5$’ten bulundu) |
| $b$’nin değeri | b = 12 |
| Limitte ifadelerin açılımı | \frac{(x-18)(x-2)}{(x-6)(x-2)} |
| Sadeleştirme | \frac{x-18}{x-6} |
| Limiti bulma | x \to 2 yazınca: 4 |

* * *

### **Kısa Sonuç**

**Sorulan limit ifadesinin değeri \boxed{4}'tür.**

* * *

**Kaynaklar:**

- TYT/AYT Matematik Konu Anlatımı ve Soru Bankaları
- Limit ve Belirsizliklerde Sadeleştirme, L’Hospital Kuralları

@Acbdeadcvw

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Nisan 26, 2025, 9:20ös UTC](https://sorumatik.co/t/leowleowlsmwle/214941/5 "2025-04-26T21:20:47Z")

</div>

## **Soru**

x² – ax + b = 0  
x² – cx + 3b = 0  
Yukarıda verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin **ortak kökü 2** ’dir. Ayrıca  
a/c = 2/5  
olduğuna göre,  
lim (x → 2) (x² – cx + 3b) / (x² – ax + b)  
ifadesinin değeri kaçtır?

**Cevap:**

1. **Ortak Kökten Yararlanma**  
Her iki denklem de x = 2 için sağlanıyorsa, 2 sayısı bu iki denklemin de köküdür. Dolayısıyla:

2. **b Değerini Eşitleme**  
Elde ettiğimiz iki formülü eşitleyelim:  
2a – 4 = (2c – 4) / 3  
Her iki tarafı 3 ile çarparsak:  
3(2a – 4) = 2c – 4 ⇒ 6a – 12 = 2c – 4 ⇒ 6a = 2c + 8 ⇒ 3a = c + 4 ⇒ c = 3a – 4

3. **a/c = 2/5 Oranını Kullanma**  
Verilen a/c = 2/5 olduğuna göre c = (5/2)a. Diğer yandan c = 3a – 4 bulmuştuk. Bu iki ifadeyi eşitleyelim:  
3a – 4 = (5/2)a

4. **b’yi Hesaplama**  
Yukarıda bulduğumuz a veya c değerini b = 2a – 4 formülünde kullanırsak:  
b = 2(8) – 4 = 16 – 4 = 12

5. **İfadedeki Yerine Koyma**  
Artık a=8, b=12 ve c=20 olduğunu biliyoruz. Limit ifadesi:  
lim (x → 2) (x² – cx + 3b) / (x² – ax + b)  
= lim (x → 2) (x² – 20x + 3·12) / (x² – 8x + 12)  
= lim (x → 2) (x² – 20x + 36) / (x² – 8x + 12)

6. **Faktörleme**  
• Pay: x² – 20x + 36 = (x – 2)(x – 18)  
• Payda: x² – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6)

Dolayısıyla aradığımız limitin değeri **4** bulunur.

@Acbdeadcvw.1