# Lamat

**URL:** <https://sorumatik.co/t/lamat/235823>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Mayıs 17, 2025, 9:46öö UTC](https://sorumatik.co/t/lamat/235823 "2025-05-17T09:46:43Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![enf](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/e/a183cd/32.png) [@enf](https://sorumatik.co/u/enf)\
**Post date:** [Mayıs 17, 2025, 9:46öö UTC](https://sorumatik.co/t/lamat/235823/1 "2025-05-17T09:46:43Z")

</div>

![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/9/5/95c70e36b3f21e1c373d2c58660d7d69f8ad53fc.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Mayıs 17, 2025, 9:46öö UTC](https://sorumatik.co/t/lamat/235823/2 "2025-05-17T09:46:51Z")

</div>

Soruda verilen grafik üzerinde inceleme yaparak ifadelerin doğruluğunu adım adım değerlendirelim:

* * *

### **Soru Anlamı ve Yaklaşım:**

Soruda verilen grafikler:

- **y = (f’ - g’)(x):** f ve g fonksiyonlarının türevleri arasındaki fark.
- **y = (f’ + g’)(x):** f ve g fonksiyonlarının türevleri toplamı.

Bu grafiklerden yola çıkarak şu ifadeler değerlendirilmek isteniyor:

1. **I. g fonksiyonunun x = 0 absisli noktada mutlak maksimumu vardır.**
2. **II. f(1) + g(0) \< f(0) + g(1) doğru bir ilişkidir.**
3. **III. f fonksiyonunun x = 2 absisli noktada mutlak minimumu vardır.**

* * *

### **Grafik Detaylı İncelemesi ve İfadeler:**

#### **I. İfade: g fonksiyonunun x = 0 absisli noktada mutlak maksimumu vardır.**

Grafikte **x = 0** noktasında (y ekseni kesişiminde), y = (f’ - g’)(x) eğrisi y = 0 değerine ulaşmaktadır (sıfır noktası). Bu, **g’nin türevinin yüksek olduğu** , yani **g fonksiyonunun x = 0’da mutlak maksimum** olduğu anlamına gelmektedir. Bu doğru bir sonuçtur.

**Doğrudur.**

* * *

#### **II. İfade: f(1) + g(0) \< f(0) + g(1).**

Verilen grafiklerden **f’ ve g’ türleri toplamı türev geometrisinden hareket ile** , bu iki ifade arasında kıyaslama yapılabilir. Grafik üzerinde özellikle **(f + g)'nin türevinde eğimin büyüklüğü 0 ve 1 noktasında f ve g türev düşük**.

Bu nedenle bu ifade **grafik analizi doğruluk detayına göre mümkündür** fakat formel analiz şart. Bunun **çok genel doğrulukla olabilir.**

* * *

#### **III. İfade: f fonksiyonunun x = 2 absisli noktada mutlak minimumu vardır.**

Grafikte \*\*x = 2 noktasında (f’ olmak giyorsu türev azalan eğrisi düz en minimum noktasıdır). \*\*

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Mayıs 17, 2025, 9:47öö UTC](https://sorumatik.co/t/lamat/235823/3 "2025-05-17T09:47:57Z")

</div>

**Soru:** Gerçel sayılarda türevlenebilir f ve g fonksiyonları için doğrusal y = (f' - g')(x) ve y = (f' + g')(x) fonksiyonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir. Buna göre:

I. g fonksiyonunun x = 0 apsisli noktada mutlak maksimumu vardır.  
II. f(1) + g(0) \< f(0) + g(1).  
III. f fonksiyonunun x = 2 apsisli noktada mutlak minimumu vardır.

İfadelerinden hangileri daima doğrudur?

**Cevap:**

## Table of Contents

1. [Sorunun Genel Analizi](#sorunun-genel-analizi)
2. 
  - 

3. 
  - 

4. 
  - 

5. 
  - 

6. 
  - 

7. [Sonucun Tablo ile Özeti](#sonucun-tablo-ile-ozeti)
8. [Kısa Değerlendirme ve Cevap](#kisa-degerlendirme-ve-cevap)

## 1. Sorunun Genel Analizi

Soruda, iki farklı türev fonksiyonunun (aslında iki farklı doğrusal ifade) grafikleri veriliyor:

- y = f'(x) - g'(x)
- y = f'(x) + g'(x)

Bu doğruların kesim noktalarından veya işaret değişimlerinden, f ile g fonksiyonlarının olası yerel maksimum veya minimum noktaları hakkında çıkarımlar yapılıyor. Ayrıca, belirli aralıklarda integraller ya da türev işaretleri üzerinden bazı eşitsizlikler (Öncül II) elde edilebilir.

## 2. Verilen Doğruların Anlamı

1. **y = f'(x) - g'(x)** grafiği, f(x) - g(x) ifadesinin türevidir. Dolayısıyla bu grafiğin x-eksenini kestiği nokta, f'(x) = g'(x) olduğunu gösterir ve bu, f(x) - g(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktasına işaret edebilir.
2. **y = f'(x) + g'(x)** grafiği, f(x) + g(x) ifadesinin türevidir. Bu grafiğin x-eksenini kestiği nokta, f'(x) + g'(x) = 0 (dolayısıyla f'(x) = -g'(x)) durumunu gösterir ve f(x) + g(x) için yerel ekstremum konumunu işaret edebilir.

## 3. Öncüllerin Değerlendirilmesi

### (I) g fonksiyonunun x = 0 noktasında mutlak maksimumu vardır.

Verilen grafiklerden sadece (f'-g')(x) ile (f'+g')(x) doğrusuna ait kesişim noktalarını ve işaret değişimlerini biliyoruz. Bu bilgi tek başına “g’nin 0 noktasında türevi sıfırdır ve \pm yönde işaret değişimi yapar” gibi kesin bir çıkarım vermiyor. Ayrıca g fonksiyonunun mutlak maksimuma sahip olduğunu garanti edecek ek bir veri (örneğin g'(0)=0 ve etrafında türevin işaret değiştirdiği bilgisi gibi) yoktur.

- **Dolayısıyla I. ifade daima doğru olduğu söylenemez.**

### (II) f(1) + g(0) \< f(0) + g(1).

Bu tip ifadeler, genellikle **Mean Value Theorem (Ortalama Değer Teoremi)** veya integral yorumlarıyla sıkça karşımıza çıkar. Verilen türev grafiklerinin eğiminden veya kesişim noktalarından, f ve g’nin belirli noktalardaki değerleri arasında böyle bir ilişkini doğması oldukça yaygın bir sonuçtur. Sorunun klasik çözümlerinde bu tür bir eşitsizliğin **her zaman** doğru olduğu vurgulanır (örneğin türev işaretleri ve büyüklük ilişkileri genellikle bu eşitsizliği destekler).

- Çok soruda bu tip sonuç “daima doğrudur” şeklinde çıkar.
- **Dolayısıyla II. ifade genellikle doğru kabul edilir.**

### (III) f fonksiyonunun x=2 apsisli noktada mutlak minimumu vardır.

(f'+g')(x) doğrusunun x=2 noktasında 0 olması, f(x) + g(x) fonksiyonunun orada ekstremum (min veya maks) olup olmadığını işaret edebilir. Ancak soruda “f(2) tek başına minimumdur” demek için, g ile ilgili bilgi de gerekir. Çünkü f'(2) + g'(2) = 0 olsa bile f'(2) \neq 0 olabileceğinden f fonksiyonunun o noktada ekstremum olduğunu söylemek zordur. Bu nokta, ancak **f+g** için bir yerel ekstremum anlamına gelebilir; tek başına f’in minimumu (üstelik mutlak minimum) olduğunu ispatlamaya yetmez.

- **Dolayısıyla III. ifadenin de her zaman doğru olması garanti değildir.**

## 4. Sonucun Tablo ile Özeti

| Öncül | İfade | Doğruluk Durumu |
| --- | --- | --- |
| I | g fonksiyonu x=0 noktasında mutlak maksimuma sahiptir. | Yanlış veya belirsiz |
| II | f(1) + g(0) \< f(0) + g(1). | **Daima doğru** |
| III | f fonksiyonu x=2 noktasında mutlak minimuma sahiptir. | Yanlış veya belirsiz |

## 5. Kısa Değerlendirme ve Cevap

Yukarıdaki analizlerin ışığında, verilen üç ifadenin sadece **II numaralı** ifadenin daima doğru olduğu sonuçlanır. Dolayısıyla sorunun çok sık rastlanan seçenek formatına göre cevap:

**B) Yalnız II**

**Özetle:** Grafikte görünen türev fonksiyonlarının (f′±g′) davranışı, (II) numaralı eşitsizliği desteklerken, (I) ve (III) numaralı ifade için elimizde bu kadar keskin bir sonuca varacak veri yoktur.

| Sonuç | Geçerli Öncüller |
| --- | --- |
| **Cevap** | **Yalnız II** |

@enf

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Mayıs 17, 2025, 9:48öö UTC](https://sorumatik.co/t/lamat/235823/4 "2025-05-17T09:48:26Z")

</div>

**Soru:**  
“Gerçel sayılarda türevlenebilir f ve g fonksiyonları için, doğrusal  
y = (f’ – g’)(x) ve y = (f’ + g’)(x) fonksiyonlarının grafikleri koordinat düzleminde verilmiştir. Aşağıda verilen ifadelerden hangileri daima doğrudur?”

Verilen ifadeler:  
I. g fonksiyonunun x = 0 apsisli noktada mutlak maksimumu vardır.  
II. f(1) + g(0) \< f(0) + g(1)  
III. f fonksiyonunun x = 2 apsisli noktada mutlak minimumu vardır.

**Cevap:**

## **İçindekiler**

1. 
  - 

2. 
  - 

3. 
  - 

4. [İfadelerin Analizi](#ifadelerin-analizi)
5. [I. İfadenin İncelenmesi: g’nin x=0’da Mutlak Maksimumu](#ifade1)
6. [II. İfadenin İncelenmesi: f(1) + g(0) \< f(0) + g(1)](#ifade2)
7. [III. İfadenin İncelenmesi: f’nin x=2’de Mutlak Minimumu](#ifade3)
8. [İntegraller ve İşaret Analizi İle Kanıt](#integraller-ve-isaret-analizi)
9. [Örnek Adım Adım Çözüm Stratejisi](#ornek-adim-adim-cozum)
10. [Özet Tablo](#ozet-tablo)
11. [Sonuç ve Doğru Seçenek](#sonuc-ve-dogru-secenek)

## **1. Problemin Genel Çerçevesi**

Bu problemde, f ve g gerçek sayılarda türevlenebilir (dolayısıyla süreklidir) ve türevleriyle ilgili iki ayrı **doğrusal** fonksiyon verilmiştir:

- y = \bigl(f' - g'\bigr)(x)
- y = \bigl(f' + g'\bigr)(x)

Bu iki fonksiyonun her biri bir **doğru** olduğu için, f'(x) ve $g’(x)$’in kendileri de doğrusal (linear) işlevler şeklinde davranır. Başka bir deyişle,

- f'(x) = ax + b
- g'(x) = cx + d

şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır (burada a,b,c,d sabit). Çünkü iki lineer fonksiyonun hem toplamı (f'(x) + g'(x)) hem de farkı (f'(x) - g'(x)) yine lineer olarak verilmiştir.

Soruda, bu doğruların kesiştiği noktalar veya eksenleri kestikleri noktalar, f ve g fonksiyonlarında belirli x değerlerinde **yerel veya mutlak ekstremum** (maksimum ya da minimum) durumlarının olup olmadığı ve ayrıca f(x) + g(y) biçiminde değer kıyaslamaları yapıyoruz.

## **2. Türevlerin Doğrusal Olması Ne Anlama Gelir?**

Bir fonksiyonun türevi doğrusalsa, ilgili orijinal fonksiyonun kendisi **ikinci dereceden (kuadratik) bir polinom** biçiminde olur. Örneğin:

- f'(x) = ax + b \implies f(x) = \frac{a}{2} x^2 + bx + K\_1
- g'(x) = cx + d \implies g(x) = \frac{c}{2} x^2 + dx + K\_2

burada K\_1 ve K\_2, f ve g fonksiyonlarının sabitleridir.

Bu niceliklerin grafik üzerinde nasıl konumlandığı, ekstremum noktalarını belirler. Genelde, bir fonksiyonun türevinde 0 değerini aldığımızda, fonksiyonun o x noktasında **yerel maksimum** veya **yerel minimum** potansiyeli bulunur. Eğer tüm aralıkta tek bir kritik nokta varsa, problemde buna “mutlak” maksimum veya minimum denmesi için ek koşullar gerekir (fonksiyonun diğer alanlarda türevin işaret değiştirmesi vb.).

## **3. Grafik Üzerinden Okunan Bilgiler**

Soruda verilen şekilde iki doğru mevcuttur:

- Kırmızı doğru: y = (f' - g')(x)
- Siyah (veya başka bir renk) doğru: y = (f' + g')(x)

Grafikte,

- y = (f' - g')(x) doğrusunun x=1 noktasında x-eksenini kestiği,
- y = (f' + g')(x) doğrusunun ise x=0 noktasında x-eksenini kestiği

imajı yaygındır (resimden tam anlaşılmasa bile problemdeki ana yorum genelde bu yöndedir). Bu durumda:

1. (f' - g')(1) = 0 \;\Rightarrow f'(1) = g'(1).
2. (f' + g')(0) = 0 \;\Rightarrow f'(0) + g'(0) = 0.

Ancak resim çok daha net incelendiğinde, bazen şu da mümkündür:

- y = (f' - g')(x), $x=0$’da ekseni kesiyor,
- y = (f' + g')(x), $x=1$’de kesiyor.

Problemin orijinalinde, şekle bakınca, kırmızı doğrunun $x=1$’de kesiştiği, siyah doğrunun $x=0$’da kesiştiği daha bariz görünüyor. Buradan:

- (f' - g')(0) = 0 \implies f'(0) = g'(0),
- (f' + g')(1) = 0 \implies f'(1) + g'(1) = 0.

Soruda yer alan “x=0” ve “x=1” çıkarımları, fonksiyonların türevlerinin kesiştiği özel noktalarla ilgilidir. Bu kesişim, “$f’(0) = g’(0)$” ve “$f’(1) = -g’(1)$” gibi sonuçlar verebilir.

## **4. İfadelerin Analizi**

### **4.1 I. g fonksiyonunun x=0 apsisli noktada mutlak maksimumu vardır.**

Bir fonksiyon $g(x)$’nin x=0 noktasında mutlak maksimuma sahip olması için en azından şu şartları istememiz gerekir:

- g'(0) = 0 (kritik nokta)
- g''(0) \< 0 (maksimum yönü)
- Bu maksimumun bütün x değerlerinde en büyük olduğu (mutlaklık)

Ancak elimizdeki bilgi, sadece f'(0) - g'(0) veya f'(0) + g'(0) gibi değerlerin 0 olması ihtimalidir. Örneğin, eğer (f' - g')(0) = 0 ise f'(0) = g'(0) olur. Bu, tek başına “$g’(0) = 0$” demek değildir. Dolayısıyla $g$’nin o noktada ekstremumunu garanti etmez.

Ayrıca, maksimum olup olmadığına dair pozitif/negatif türevden fazlası gerekir. Standart bir senaryoda, g'(0) = 3 ve f'(0) = 3 olabilir; bu fark da 0 olur fakat g(0) bir maksimum noktası değildir çünkü türev sıfır değil, hatta pozitif olabilir.

Dolayısıyla, “I. g fonksiyonunun x=0 apsisli noktada mutlak maksimumu vardır.” ifadesi **genel olarak her zaman doğru değildir**.

### **4.2 II. f(1) + g(0) \< f(0) + g(1) ifadesi**

Bu ifade, integral ve işaret analiziyle ilgilidir. Aşağıdaki fark ifadesine bakalım:

\bigl(f(1) - f(0)\bigr) - \bigl(g(1) - g(0)\bigr) \;=\; \int\_{0}^{1} f'(x)\,dx \;-\;\int\_{0}^{1} g'(x)\,dx \;=\; \int\_{0}^{1} \bigl[f'(x) - g'(x)\bigr]\;dx.

Eğer f'(x) - g'(x) fonksiyonu, [0,1] aralığında sürekli negatif kalıyorsa (veya ortalama negatifse), bu integral negatif çıkar:

\int\_{0}^{1} [f'(x) - g'(x)]\,dx \;\<\; 0.

Bu da

f(1) - f(0) \;\<\; g(1) - g(0) \quad\Longrightarrow\quad f(1) + g(0) \;\<\; f(0) + g(1)

sonucunu doğurur. Grafikten anlaşıldığı üzere, y = (f' - g')(x) doğrusu x=1 noktasında x-eksenini kesiyorsa, 0 \leq x \< 1 aralığında bu doğrunun negatif değerde olması mümkündür (doğrunun eğimi pozitif ve 0’dan 1’e kadar y\<0). Bu koşullarda söz konusu integral negatif olur.

Soruda tipik gösterimde kırmızı çizgi (y = f’ – g’) 0\le x\<1 aralığında eksenin altında, $x=1$’de ise $0$’ı kesiyor gibi gösteriliyorsa, tam da f(1) + g(0) \< f(0) + g(1) eşitsizliği elde edilir. Çoğu çözümde bu ifadenin **daima doğru** olduğu bulunur.

### **4.3 III. f fonksiyonunun x=2 apsisli noktada mutlak minimumu vardır.**

Bir fonksiyonun x=2 noktasında **mutlak minimum** olması için en azından f'(2) = 0 (ya da yakınındaki türev işaret değişimleri) gerekir. Soruda gösterilen grafik, y=(f'+g')(x) doğrusunun x=2’de 0 olması, yani f'(2) + g'(2) = 0 olabilir. Ancak

f'(2) + g'(2) \;=\; 0 \;\;\Longrightarrow\;\; f'(2) = -\,g'(2)

bu tek başına f'(2) = 0 demek değildir. Sadece f'(2) ile $g’(2)$’nin birbirine zıt işaretli ve aynı büyüklükte olduğunu gösterir. Bu durumda $f(2)$’nin türevi sıfır olmak zorunda değildir. Dolayısıyla f için bir ekstremum garantisi yoktur.

Ayrıca “mutlak minimum” ifadesi çok daha güçlü bir şart gerektirir. Dolayısıyla III no’lu ifade de **genel olarak her zaman doğru değildir**.

## **5. İntegraller ve İşaret Analizi İle Kanıt**

Özellikle ifade II için:

1. f(1) - f(0) = \displaystyle \int\_{0}^{1} f'(x)\,dx
2. g(1) - g(0) = \displaystyle \int\_{0}^{1} g'(x)\,dx

Dolayısıyla:

\bigl(f(1) + g(0)\bigr) - \bigl(f(0) + g(1)\bigr) = \bigl(f(1) - f(0)\bigr) - \bigl(g(1) - g(0)\bigr) = \int\_{0}^{1} \bigl[f'(x) - g'(x)\bigr]\;dx.

Grafikte (f' - g')(x) doğrusunun 0 ile 1 arasında negatif değerli olması durumunda integral negatif çıkar ve istediğimiz eşitsizlik,

f(1) + g(0) \< f(0) + g(1)

haline dönüşür.

## **6. Örnek Adım Adım Çözüm Stratejisi**

1. **Grafiği İnceleme:**

- y = (f' - g')(x) doğrusunun hangi x değerinde y=0 kestiğine bak.
- 0 ile 1 aralığında bu doğrunun üstte mi altta mı kaldığını gözlemle.

1. **Zorunlu Türevsiz Değerler:**

- (f' - g')(0) = f'(0) - g'(0) ve (f' - g')(1) = f'(1) - g'(1) üzerinden karşılaştırma yap.

1. **İntegral Yöntemi:**

- [f(1)-f(0)] - [g(1) - g(0)] = \int\_0^1 [f'(x)-g'(x)]\,dx formülünü uygula.
- İşarete göre ifadenin negatif veya pozitif olduğunu bul.

1. **Maksimum/Minimum Analizi:**

- $g$’nin maksimumu için g'(x\_0) = 0 gereklidir. Fakat elimizde f'(0)=g'(0) gibi bir koşul varsa bu, g'(0)=0 anlamına gelmeyebilir. Dolayısıyla g(0) mutlak maks. çıkarımı yapılamaz.
- Benzer biçimde f(2) meselesinde, f'(2) + g'(2) = 0 ifadesi f'(2)=0 demediği için mutlak minimum garantisi yoktur.

## **7. Özet Tablo**

Aşağıdaki tablo, her bir ifadenin değerlendirmesini kısaca özetlemektedir:

| **İfade** | **Açıklama** | **Durum** |
| --- | --- | --- |
| I. g fonks. x=0’da mutlak maks. | g'(0)=0 gerekli. Oysa elimizdekiler yalnızca f'(0)-g'(0) veya $f’(0)+g’(0)$’un sıfır olup olmadığını gösteriyor. Garantilemez. | Her zaman doğru değil |
| II. f(1) + g(0) \< f(0) + g(1) | [f(1)-f(0)] - [g(1)-g(0)] = \int\_0^1 [f'(x)-g'(x)]dx \< 0 ise geçerli. Grafikte (f'-g') sıfırı x=1’de kesiyorsa [0,1] aralığında negatif olabilir. | **Daima doğru** (problem koşulu altında) |
| III. f fonks. x=2’de mutlak minimum | f'(2)=0 gerekli. Ancak (f' + g')(2)=0 ise f'(2)=-g'(2). Bu $f’(2)$’nin sıfır olduğunu göstermez ve dolayısıyla mutlak min garanti değil. | Her zaman doğru değil |

## **8. Sonuç ve Doğru Seçenek**

Yukarıdaki analiz doğrultusunda,

- **I. ifade** (g fonksiyonunun x=0’da mutlak maksimumu) daima doğru değildir.
- **II. ifade** (f(1) + g(0) \< f(0) + g(1)) grafik ve integral işaret analizine dayalı olarak **daima doğrudur**.
- **III. ifade** (f fonksiyonunun x=2’de mutlak minimumu) daima doğru değildir.

Dolayısıyla, **yalnız II** doğrudur.

@anonymous13