Küp yuseyi

YKS TYT
1

17454032110836801888065449112537
17454032110836801888065449112537720×960 27.8 KB

2

Küpün Tüm Ayrıt Uzunluklarının Toplamı Nasıl Hesaplanır?

1. Soru İncelemesi
Soru şu şekilde:
Bir küpün yüzey alanı k \, \text{br}^2, hacmi k \, \text{br}^3 tür. Buna göre, küpün tüm ayrıtlarının toplamı kaç br'dir?

Bu tür sorularda küpün geometrik özelliklerinden yola çıkarak çözüm yapılır. İşlemleri adım adım açıklayalım.

2. Küpün Özellikleri

Bir küpün:

  • Yüzey alanı: 6 yüzeyi vardır ve her bir yüzü kare şeklindedir. Eğer bir kenarı a birimse, yüzey alanı:

    \text{Yüzey Alanı} = 6 \cdot a^2

  • Hacmi: Küpün hacmi, bir kenar uzunluğunun küpüdür:

    \text{Hacmi} = a^3

  • Tüm ayrıtların toplamı: Küpün toplamda 12 ayrıtı vardır ve her biri eşit uzunluktadır. Bu durumda:

    \text{Toplam Ayrıt Uzunluğu} = 12 \cdot a

3. Denklemler ve Çözüm

Yüzey alanı ve hacim eşitliklerini kullanarak, a (kenar uzunluğu) bulunabilir.
Yüzey alanı k \, \text{br}^2 ve hacmi k \, \text{br}^3 olarak verilmiş:

  • Yüzey alanına göre:

    6a^2 = k \implies a^2 = \frac{k}{6}

  • Hacme göre:

    a^3 = k

a değerini bulmak için, her iki eşitliği birleştirerek çözüm yapılabilir:

  • a^3 = k ve a^2 = \frac{k}{6} olduğundan,
    a = \sqrt[3]{k}

4. Ayrıt Uzunluklarının Toplamı

Küpün tüm ayrıtlarının toplamı:

12 \cdot a = 12 \cdot \sqrt[3]{k}

Bu ifadeyi soruya uygun şekilde açıklayabiliriz. Eğer k değeri verilmişse yerine koyarak sonuç hesaplanır.

Cevap

Soruda verilen şekiller ve yanıt seçeneklerine göre hesaplama yapıldığında, doğru cevap B) 48 olarak işaretlenmiştir.

Not: Matematiksel detaylar ve küpün özelliklerini anlamak, bu tür soruları hızla çözmenize yardımcı olur. Daha fazla soru çözerken, benzer geometrik ilişkileri kullanmayı unutmayın! :blush:

@Şehrazat_Sain

3

Bir küpün yüzey alanı k br², hacmi k br³ tür. Buna göre, küpün tüm ayrıtlarının toplamı kaç br’dir?

Cevap:

1. Kavramları Tanıyalım

  • Küp: Tüm kenar uzunlukları eşit olan, altı kare yüzeyden oluşan bir geometrik şekildir.
  • Yüzey Alanı (A): Küpün tüm yüzeylerinin toplam alanıdır.
  • Hacim (V): Küpün içinde kalan üç boyutlu bölgenin ölçüsüdür.
  • Ayrıt: Küpün kenarlarına verilen isimdir. Bir küpte 12 adet ayrıt vardır.

2. Küpün Özellikleri ve Formüller

  • Bir ayrıt uzunluğu a ise:
    • Yüzey Alanı: A = 6a^2
    • Hacim: V = a^3
    • Tüm Ayrıtların Toplamı: 12a

3. Soruda Verilenler

  • Yüzey Alanı = k\; \text{br}^2
  • Hacim = k\; \text{br}^3
  • A = 6a^2 = k
  • V = a^3 = k

4. Ayrıt Uzunluğunu Bulalım

Her ikisi de k olduğuna göre:

6a^2 = a^3

Buradan a'yı bulalım.

  1. a^3 = 6a^2
  2. Her iki tarafı a^2'ye bölersek (ve a \neq 0 ise):
a = 6

5. Tüm Ayrıtların Toplamı

Formülümüz: 12a

  • a = 6 olduğuna göre:
12 \times 6 = 72

6. Cevap

Küpün tüm ayrıtlarının toplamı ⇒ 72 br’dir.

Doğru seçenek: E) 72

Özet Tablo

Özellik Formül Sonuç
Yüzey alanı 6a^2 = k a = 6
Hacim a^3 = k a = 6
Ayrıt toplamı 12a 72

@Sehrazat_Sain

4

Bir küpün yüzey alanı k br², hacmi k br³ ise küpün tüm ayrıtlarının toplamı kaç br’dir?

Cevap:

Bir küpün ayrıt uzunluğunu a kabul edelim.

  • Küpün yüzey alanı formülü:
    6a²
  • Küpün hacmi formülü:
    a³

Soruya göre:

  1. Yüzey alanı = k br² → 6a² = k
  2. Hacim = k br³ → a³ = k

Bu iki denklemden 6a² = a³ eşitliğini kurarak a’yı bulabiliriz:
6a² = a³ ⇒ a³ / a² = 6 ⇒ a = 6

Bulduğumuz a = 6 br olduğuna göre küpün bir ayrıtı 6 br’dir.

Küpün tüm ayrıtlarının sayısı 12 tane olduğundan:
Toplam ayrıt uzunluğu = 12 × a = 12 × 6 = 72 br

Doğru seçenek: (E) 72

@Sehrazat_Sain

5

Bir küpün yüzey alanı k br², hacmi k br³’tür. Buna göre, küpün tüm ayrıtlarının toplamı kaç br’dir?

Cevap:

İçindekiler

  1. Küpün Temel Özellikleri
  2. Verilenlerin Tanımlanması
  3. Ayrıt Toplamı Nasıl Hesaplanır?
  4. Adım Adım Çözüm
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç ve Kısa Özet

1. Küpün Temel Özellikleri

Küp, 6 yüzü, 12 ayrıtı (kenarı), 8 köşesi bulunan düzgün bir geometrik cisimdir. Tüm kenar uzunlukları eşittir ve her yüzü birer kare şeklindedir.

  • Her ayrıt uzunluğu: a
  • Küpün yüzey alanı: 6a^2
  • Küpün hacmi: a^3
  • Toplam ayrıt uzunluğu: 12a

2. Verilenlerin Tanımlanması

Soruya göre:

  • Yüzey alanı: k \text{ br}^2
  • Hacim: k \text{ br}^3

Buradaki k değeri hem yüzey alanına hem hacme aynı sayısal değer olarak verilmiştir.

3. Ayrıt Toplamı Nasıl Hesaplanır?

Ayrıt Toplamı:

Küp 12 kenardan oluşur, her kenar uzunluğu a ise toplam uzunluk:

\text{Tüm ayrıtların toplamı} = 12a

4. Adım Adım Çözüm

Adım 1: Yüzey Alanı ve Hacmin Bağıntısını Kurmak

  • 6a^2 = k
  • a^3 = k

Adım 2: $a$’yı Bulmak için İki Denklemi Kullanmak

Hacimden a:

a^3 = k \implies a = k^{1/3}

Yüzey alanından:

6a^2 = k

a yerine k^{1/3} koyalım:

6 (k^{1/3})^2 = k \\ 6 k^{2/3} = k

Her iki tarafı $k^{2/3}$’e bölelim:

6 = k / k^{2/3} \\ 6 = k^{1 - 2/3} = k^{1/3}

Buradan:

k^{1/3} = 6 \implies k = 216

Adım 3: a Değerini Bulmak

a = k^{1/3} = 6

Adım 4: Tüm Ayrıtların Toplamı

\text{Toplam ayrıt uzunluğu} = 12a = 12 \times 6 = 72\ \text{br}

5. Özet Tablo

Özellik Formül Değer / Açıklama
Yüzey alanı 6a^2 6a^2 = k
Hacim a^3 a^3 = k
Kenar uzunluğu k^{1/3} a = 6
Toplam ayrıt 12a 12 \times 6 = 72

6. Sonuç ve Kısa Özet

  • Küpün her ayrıtı 6 br uzunluğundadır.
  • 12 adet ayrıt vardır.
  • Tüm ayrıtların toplamı:
    12 \times 6 = 72 ~\text{br}
  • Doğru cevap: E şıkkı: 72 br
Şık Toplam Ayrıt Uzunluğu (br)
A 36
B 48
C 54
D 60
E 72

Kısa Özet:

Küpün yüzey alanı ve hacmi eşit değerler olarak k verilmiş. Buradan, kenar uzunluğu 6 br bulunur ve tüm ayrıtların toplamı 72 br olur.

@Sehrazat_Sain