# Kümeler ve Alt Küme Sorunu Çözümü

**URL:** <https://sorumatik.co/t/kumeler-ve-alt-kume-sorunu-cozumu/631655>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Mart 6, 2026, 8:11öö UTC](https://sorumatik.co/t/kumeler-ve-alt-kume-sorunu-cozumu/631655 "2026-03-06T08:11:11Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Elif\_Yolcu](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/elif_yolcu/32/61605_2.png) [@Elif\_Yolcu](https://sorumatik.co/u/Elif_Yolcu)\
**Post date:** [Mart 6, 2026, 8:11öö UTC](https://sorumatik.co/t/kumeler-ve-alt-kume-sorunu-cozumu/631655/1 "2026-03-06T08:11:11Z")

</div>

1. Elemanları rakamlardan oluşan A, B ve C kümeleri veriliyor. A = {2, 3, 5, a, b} B= (3, 4, 5, 7} A) 18 C={1, 2, 3, 4) olmak üzere B ve C kümelerinden yalnız birinin A kümesinin alt kümesi olduğu bilinmektedir. Buna göre a b çarpımınin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? B) 22 C) 28 D) 32 E) 38

 ![Resim](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/3/3347231587e5a53f2413157b5de622ca943d3797.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Mart 6, 2026, 8:11öö UTC](https://sorumatik.co/t/kumeler-ve-alt-kume-sorunu-cozumu/631655/2 "2026-03-06T08:11:50Z")

</div>

**Cevap:**  **a·b** ’nin alabileceği değerler **4** ve **28** olup toplamları **32** ’dir; doğru seçenek **D) 32**. Çünkü **B** ⊆ **A** olması için { **a,b** } = { **4,7** }, **C** ⊆ **A** olması için { **a,b** } = { **1,4** } olmalıdır ve bu iki durum dışındaki seçenekler koşulu sağlamaz.

### Önemli Noktalar

- **A** = { **2** , **3** , **5** , **a** , **b** } (elemanlar rakam)
- **B** = { **3** , **4** , **5** , **7** } ve **C** = { **1** , **2** , **3** , **4** }
- Yalnızca birinin **A** ’nın alt kümesi olduğu bilgisi, { **a,b** } için yalnızca iki olası ikiliyi verir: { **4,7** } veya { **1,4** }.
- Bu ikililerin çarpımları **28** ve **4** ; toplam **32**.

### İçindekiler

1. [Çözüm ve Mantık](#subset-sets-analysis)
2. [Detaylı İnceleme](#subset-sets-details)
3. [Karşılaştırma Tablosu](#subset-sets-comparison)
4. [Özet Tablo](#subset-sets-summary)
5. [Sık Sorulan Sorular](#subset-sets-faq)

* * *

## Çözüm ve Mantık

A kümesinde zaten **2** , **3** , **5** olduğuna göre geriye kalan iki boşluk **a** ve **b** ile doldurulacaktır.

- Eğer **B** ⊆ **A** ise B içindeki tüm elemanlar A’da olmalı: {3,4,5,7}. A’da 3 ve 5 hazır olduğundan eksik olanlar **4** ve **7** olmalıdır → {a,b} = {4,7}. Bu durumda C içindeki **1** A’da yok, dolayısıyla **C** ⊈ **A** olur; koşul sağlanır.
- Eğer **C** ⊆ **A** ise C = {1,2,3,4}. A’da 2 ve 3 hazır olduğundan eksik olanlar **1** ve **4** olmalıdır → {a,b} = {1,4}. Bu durumda B içindeki **7** A’da yok, dolayısıyla **B** ⊈ **A** olur; koşul sağlanır.  
Her iki durum da birbirini dışladığı için sadece bu iki ikili mümkündür. Çarpımlar: **4·7 = 28** ve **1·4 = 4**. Toplam = **28 + 4 = 32**.

> 💡 **Pro Tip:** Altküme koşulünü kontrol ederken kümelerde zaten bulunan elemanları çıkarın; kalan elemanların tam olarak a ve b olması gerekir çünkü A’nın iki bilinmeyeni vardır.

* * *

## Detaylı İnceleme

- A’nın beş elemanı sabit verildiği için **a** ve **b** birbirinden farklı ve 2,3,5’ten farklı rakamlardır (aksi halde A beş farklı eleman içermez).
- Hem B hem C’nin A alt kümesi olması durumunu sağlayacak şekilde A’nın tüm gerekli elemanları barındırması gerekirdi; ancak B ∪ C = {1,2,3,4,5,7} altı farklı eleman içerir; A yalnızca beş elemanlı olduğundan her iki küme aynı anda altküme olamaz. Bu nedenle “yalnız birinin” ifadesi zaten tutarlıdır.

> ⚠ **Uyarı:** a veya b’yi mevcut elemanlarla aynı seçip tekrar saymak küme tanımına aykırıdır (küme elemanları tekrarlanmaz); soruda A’nın 5 elemanı açıkça listelendiği için a ve b farklı olmalıdır.

* * *

## Karşılaştırma Tablosu

| Aspect | B ⊆ A durumu | C ⊆ A durumu |
| --- | --- | --- |
| **Gerekli {a,b}** | { **4,7** } | { **1,4** } |
| **A içeriği** | {2,3,5,4,7} | {2,3,5,1,4} |
| **Diğer küme alt küme mi?** | **C** değil (çünkü 1 eksik) | **B** değil (çünkü 7 eksik) |
| **a·b değeri** | **28** | **4** |

* * *

## Özet Tablo

| Element | Detay |
| --- | --- |
| **Olası {a,b}** | { **4,7** }, { **1,4** } |
| **a·b değerleri** | **28** , **4** |
| **Toplam** | **32** |
| **Doğru seçenek** | **D) 32** |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. a veya b 2, 3 veya 5 olabilir mi?**  
Hayır. Soruda A beş elemanlı bir küme olarak veriliyor; a ve b, 2,3,5 ile aynı olsaydı farklı beş eleman olmazdı. Dolayısıyla a ve b farklı rakamlar olmalıdır.

**2. Hem B hem C A’nın alt kümesi olabilir mi?**  
Hayır. B ∪ C altı farklı eleman içerir ({1,2,3,4,5,7}) ve A yalnızca beş elemanlıdır; bu yüzden ikisi aynı anda altküme olamaz.

**3. Sorunun kısa çözümü nasıl özetlenir?**  
Eksik elemanları B ve C için ayrı ayrı tamamlayın: B için {4,7}, C için {1,4}. Bunların çarpımları 28 ve 4, toplam 32.

* * *

## Sonraki Adımlar

Çözümü adım adım gösterelim mi? @Elif_Yolcu

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Mart 6, 2026, 8:12öö UTC](https://sorumatik.co/t/kumeler-ve-alt-kume-sorunu-cozumu/631655/3 "2026-03-06T08:12:16Z")

</div>

## Kümeler ve Alt Küme Sorunu Çözümü

### Önemli Noktalar

- **A kümesi** = {2, 3, 5, a, b} şeklinde verilmiş olup, a ve b rakamlar (0-9 arası tek haneli sayılar) olup, kümelerdeki elemanlar benzersiz kabul edilir.
- **B kümesi** = {3, 4, 5, 7} için alt küme olması, 4 ve 7’nin A’da bulunmasını gerektirir.
- **C kümesi** = {1, 2, 3, 4} için alt küme olması, 1 ve 4’ün A’da bulunmasını gerektirir.
- Yalnız birinin (B veya C) A’nın alt kümesi olması koşuluyla, a·b çarpımının olası değerleri 4 ve 28’dir; toplamları **32** ’dir.

**Sorunun çözümü** , B ve C kümelerinden yalnız birinin A kümesinin alt kümesi olması koşuluna dayanır. A kümesi {2, 3, 5, a, b} olup, a ve b rakamlarıdır. Bu koşul altında a·b çarpımının alabileceği değerlerin toplamı **32** ’dir (D seçeneği). Aşağıda adım adım açıklanmıştır.

### İçindekiler

1. [Temel Kavramlar ve Koşullar](#kume-altkume-tanim)
2. [Olası Durum 1: B ⊆ A ve C ⊈ A](#durum-b-altkume)
3. [Olası Durum 2: C ⊆ A ve B ⊈ A](#durum-c-altkume)
4. [Karşılaştırma Tablosu: İki Durum](#karsilastirma-tablo)
5. [Özet Tablo](#ozet-tablo)
6. [Sık Sorulan Sorular](#sss)

* * *

## Temel Kavramlar ve Koşullar

Küme teorisinde, **X ⊆ Y** (X, Y’nin alt kümesi) demek, X’in her elemanının Y’de bulunması anlamına gelir. Burada:

- **A** = {2, 3, 5, a, b} (a ve b, 0-9 arası rakamlar; kümelerde tekrarlar otomatik silinir, yani A en fazla 5 elemanlıdır).
- **B** = {3, 4, 5, 7}: 3 ve 5 zaten A’da var; 4 ve 7 için a veya b’den sağlanmalı.
- **C** = {1, 2, 3, 4}: 2 ve 3 zaten A’da var; 1 ve 4 için a veya b’den sağlanmalı.

**Koşul:** Yalnız **bir tanesi** (B veya C) A’nın alt kümesi olsun; ikisi birden olmasın. a ve b, A’nın elemanlarını belirler.

> 💡 **Pro İpucu:** a ve b, {2, 3, 5} dışındaki rakamlar olmalıdır ki A yeni elemanlar kazansın; ancak matematiksel olarak tekrar mümkün olsa da, alt küme koşulu için yeni elemanlar şarttır.

* * *

## Olası Durum 1: B ⊆ A ve C ⊈ A

B’nin A’nın alt kümesi olması için:

- 4 ∈ A ve 7 ∈ A olmalı (3 ve 5 zaten var).
- {2, 3, 5} içinde 4 veya 7 yok, yani {a, b} = {4, 7} olmalı (sıra fark etmez: a=4, b=7 veya a=7, b=4).
- Bu durumda A = {2, 3, 4, 5, 7}.

Şimdi C’nin alt küme olmadığını kontrol edelim:

- C = {1, 2, 3, 4} için 1 ∈ A? Hayır (A’da 1 yok).
- Yani C ⊈ A. Koşul sağlanır.

**a·b çarpımı:** 4 × 7 = **28**.

> ⚠ **Uyarı:** Eğer a=4, b=4 olursa 7 ∉ A, B alt küme olmaz. Benzer şekilde, sadece {4,7} ile koşul tutulur.

* * *

## Olası Durum 2: C ⊆ A ve B ⊈ A

C’nin A’nın alt kümesi olması için:

- 1 ∈ A ve 4 ∈ A olmalı (2 ve 3 zaten var).
- {2, 3, 5} içinde 1 veya 4 yok, yani {a, b} = {1, 4} olmalı (a=1, b=4 veya a=4, b=1).
- Bu durumda A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Şimdi B’nin alt küme olmadığını kontrol edelim:

- B = {3, 4, 5, 7} için 7 ∈ A? Hayır (A’da 7 yok).
- Yani B ⊈ A. Koşul sağlanır.

**a·b çarpımı:** 1 × 4 = **4**.

> 🎯 **Anahtar Nokta:** İki durum çakışmaz çünkü {1,4} ile {4,7} farklı; her ikisini birden sağlamak için a ve b yetmez (üç eleman lazım).

* * *

## Karşılaştırma Tablosu: İki Durum

| Özellik | Durum 1 (B ⊆ A) | Durum 2 (C ⊆ A) |
| --- | --- | --- |
| **{a, b} Değeri** | {4, 7} | {1, 4} |
| **A Kümesi** | {2, 3, 4, 5, 7} | {1, 2, 3, 4, 5} |
| **a·b Çarpımı** | 28 | 4 |
| **B ⊆ A?** | Evet | Hayır |
| **C ⊆ A?** | Hayır | Evet |
| **Koşul Sağlanır mı?** | Evet (yalnız B) | Evet (yalnız C) |
| **A Eleman Sayısı** | 5 | 5 |

Bu tablo, olası iki senaryoyu net gösterir.

* * *

## Özet Tablo

| Unsur | Detay |
| --- | --- |
| **Olası Çarpımlar** | 4 ve 28 |
| **Toplam** | 4 + 28 = **32** |
| **Seçenek** | D) 32 |
| **Neden Yalnız İkisi?** | Diğer kombinasyonlar (örn. {1,7}) hem B hem C’yi alt küme yapmaz; koşul bozulur |
| **Rakam Kısıtı** | a, b ∈ {0,1,2,…,9}; burada 1,4,7 geçerli |
| **Küme Teorisi Kuralı** | Alt küme için her eleman birebir eşleşme |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. a ve b aynı rakam olabilir mi?**  
Hayır, çünkü örneğin {4,4} ile B ⊆ A olmaz (7 eksik). Benzer şekilde C için de {1,1} yetersiz. Koşul ancak farklı ve gereken çiftlerle sağlanır.

**2. A kümesinde tekrar olursa ne olur?**  
Kümelerde tekrar otomatik silinir (örn. a=2, b=4 ise A={2,3,4,5}). Ancak bu durumda ne B ne C tam alt küme olmaz; koşul ihlal edilir.

**3. Neden 4 değeri seçeneklerde yok, ama toplamda var?**  
Soru, a·b’nin olası **değerlerinin toplamını** sorar, bireysel değerleri değil. 4 ve 28’in toplamı 32’dir.

**4. Başka olası {a,b} var mı?**  
Hayır; örneğin {1,7} ile B ⊈ A (4 eksik) ve C ⊈ A (4 eksik). Veya {4} tek başına yetersiz. Sadece belirtilen ikililer çalışır.

**5. Soru YKS TYT seviyesinde mi?**  
Evet, temel küme teorisi ve mantık sorusu. Gerçek sınavda benzerleri **Kümeler** ünitesinde çıkar (Kaynak: ÖSYM TYT Matematik).

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için, benzer bir küme sorunu üzerinde çalışmak ister misiniz? Örneğin, “A = {1, x, y}, B={1,2}, C={3,4} için yalnız birinin alt küme olduğu durumları listeleyeyim mi?”

* * *

@Elif_Yolcu