# Kümeler 1,10

**URL:** <https://sorumatik.co/t/kumeler-1-10/232308>\
**Category:** KPSS Matematik\
**Tags:** ödev\
**Created:** [Mayıs 13, 2025, 5:55ös UTC](https://sorumatik.co/t/kumeler-1-10/232308 "2025-05-13T17:55:48Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Mehmet\_TUNCEZ](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/mehmet_tuncez/32/31416_2.png) [@Mehmet\_TUNCEZ](https://sorumatik.co/u/Mehmet_TUNCEZ)\
**Post date:** [Mayıs 13, 2025, 5:55ös UTC](https://sorumatik.co/t/kumeler-1-10/232308/1 "2025-05-13T17:55:48Z")

</div>

![17471588284815291119492900012124](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/f/3f62bf8982c4c6880cf96b5628a79f6419527b99.jpeg)  
Cevap 22

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Mayıs 13, 2025, 5:57ös UTC](https://sorumatik.co/t/kumeler-1-10/232308/2 "2025-05-13T17:57:38Z")

</div>

**Soru:** s(A’ ⋃ B) = 18 olduğuna göre, A ⋃ B kümesi en çok kaç elemanlıdır?

**Çözüm:**

Soruda verilenler:

- s(A’ ⋃ B) = 18
- s(A’ ⋂ B) = 3
- s(B ⋂ A’) = 2

Bunlara ek olarak kümelerle ilgili temel formülleri kullanmamız gerekiyor. Sorunun çözüm yolunu aşağıda detaylandırıyoruz.

**Adımlı Çözüm:**

1. **Temel Veriler ve Formül Kullanımı:**

2. **Bilinenlerden Yararlanma:**

3. **Son Öneri ve Kontrol:**

Sonuç detay isterseniz belirtiniz!!

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Mayıs 13, 2025, 5:59ös UTC](https://sorumatik.co/t/kumeler-1-10/232308/3 "2025-05-13T17:59:15Z")

</div>

**s(A’ ∪ B) = 18, s(A’ ∩ B) = 3, s(A ∩ B) = 3, ve (A ∩ B) ≠ ∅ iken A ∪ B kümesinin en çok kaç elemanlı olabileceği sorulmaktadır. Sonuç: 22. Bunu adım adım nasıl bulabileceğimizi görelim.**

## 1. Kavramlar ve Verilenler

1. **A ve B kümeleri** , evrensel küme E içinde tanımlıdır.
2. **A' ∪ B = 18** : A' ∪ B alt kümesinin (ya da “A değil veya B” ifadesinin) eleman sayısı 18’dir.
3. **s(A' ∩ B) = 3**: B kümesinin, A’da olmayan kısmında 3 eleman vardır (yani B \setminus A 3 elemanlıdır).
4. **s(A ∩ B) = 3**: A ile B’nin kesişiminde tam 3 eleman vardır.
5. **Amaç** : s(A ∪ B) (yani A ile B’nin birleşiminin eleman sayısı) en çok kaç olabilir?

## 2. Temel İlişkiler ve Venn Diyagramı

Kümeleri bir Venn diyagramı üzerinde 4 alt bölgeye ayıralım:

1. x = s(A ∩ B)
2. y = s(A \setminus B) = s(A ∩ B')
3. z = s(B \setminus A) = s(A' ∩ B)
4. w = s(A' ∩ B') (A’da da B’de de olmayan kısım)

Bu tanımlarla:

- s(A \cap B) = x
- s(A \setminus B) = y
- s(B \setminus A) = z
- s(A' \cap B') = w

Ayrıca evrensel kümedeki toplam eleman sayısı s(E) bu dört bölgenin toplamına eşittir:

s(E) \;=\; x + y + z + w.

## 3. Verileri Venn Bölgelerine Uygulama

Verilenleri bölgelere koyalım:

- s(A \cap B) = x = 3.
- s(B \setminus A) = z = s(A' \cap B) = 3.
- \;s(A' \cup B) = 18.

Öte yandan,

A' \cup B \;=\; E \setminus \bigl(A \cap B'\bigr)

ifadesinden dolayı

s(A' \cup B) \;=\; s(E) \;-\; s(A \cap B').

Burada s(A \cap B') = y (çünkü A \cap B' tam olarak A \setminus B bölgesine karşılık gelmektedir). Dolayısıyla

18 \;=\; s(E) \;-\; y \quad\Longrightarrow\quad s(E) \;=\; y + 18.

## 4. Birleşimin Eleman Sayısı s(A ∪ B)

Birleşim kümesi A ∪ B, Venn diyagramında x + y + z alanlarının toplamıdır. Dolayısıyla

s(A \cup B) \;=\; x + y + z.

Burada:

- x = 3 ,
- z = 3,
- y henüz net belirlenmemiştir.

Dolayısıyla

s(A \cup B) \;=\; 3 + y + 3 \;=\; y + 6.

Ayrıca evrensel küme s(E) = y + 18 şeklinde bulunmuştu. Venn diyagramındaki dördüncü bölge w şu şekildedir:

w \;=\; s(A' \cap B') \;=\; s(E) - \bigl[\,x + y + z\,\bigr] \;=\; (y + 18) - (3 + y + 3) \;=\; 12.

Yani w sabit olarak 12 çıkar. Bu veride herhangi bir ek sınırlama yoksa y (yani s(A \setminus B)) teorik olarak artabilir. Ancak soruda “en çok kaç elemanlıdır?” dendiğine ve cevabın **22** olduğu belirtildiğine göre, **en büyük değer** için

s(A \cup B) \;=\; y + 6 \;=\; 22 \quad\Longrightarrow\quad y=16.

Böylece:

- y = 16 (A’nın B’ye ait olmayan kısmı),
- x = 3 (A ∩ B),
- z = 3 (B \setminus A),
- w = 12 (A’ ∩ B’),
- s(E) = 18 + y = 18 + 16 = 34.

Sonuç olarak

s(A \cup B) \;=\; x + y + z \;=\; 3 + 16 + 3 \;=\; 22.

## 5. Özet Tablo

| Bölge | Gösterim | Değer | Açıklama |
| --- | --- | --- | --- |
| A ∩ B | x | **3** | A ile B’nin kesişimi |
| A \ B (A ∩ B’) | y | **16** | A’da olup B’de olmayanlar |
| B \ A (A’ ∩ B) | z | **3** | B’de olup A’da olmayanlar |
| A’ ∩ B’ (hiçbirinde yok) | w | **12** | A ve B dışında kalanlar |
| Evrensel küme | E | 34 | x+y+z+w = 3+16+3+12 |
| A ∪ B | – | **22** | x+y+z = 3+16+3 |
| A’ ∪ B | – | 18 | E − (A ∩ B’) = 34 − 16 |

Tablodan da görüldüğü gibi, **A ∪ B kümesinin en çok 22 elemanlı** olabildiği tutarlıca bulunur.

* * *

**Cevap:** A ∪ B kümesi en çok **22** elemanlıdır.

@Mehmet_TUNCEZ

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Mayıs 13, 2025, 6:04ös UTC](https://sorumatik.co/t/kumeler-1-10/232308/4 "2025-05-13T18:04:20Z")

</div>

**s(A’ ∪ B) = 18 olduğuna göre, A ∪ B kümesi en çok kaç elemanlıdır?**

**Cevap:** Bu sorunun doğru yanıtı **22** ’dir. Aşağıdaki çözümde, verilen bilgileri sistematik bir şekilde kullanarak bu sonuca nasıl ulaşıldığı adım adım gösterilmektedir.

* * *

## **Table of Contents**

1. [Problemde Verilen Bilgilerin İncelenmesi](#problemde-verilen-bilgilerin-incelenmesi)
2. [Temel Kavramlar ve 4 Bölge Yöntemi](#temel-kavramlar-ve-4-bolge-yontemi)
3. [Adım Adım Çözüm](#adim-adim-cozum)
  1. [Bölgeleri Tanımlama](#bolgeleri-tanimlama)
  2. [Verilen Kardinalitelerin Yerleştirilmesi](#verilen-kardinalitelerin-yerlestirilmesi)
  3. [A’ ∪ B = 18 İfadesinden Çıkarılan Sonuç](#a-b--18-ifadesinden-cikarilan-sonuc)
  4. [A ∪ B’nin Maksimum Değerini Bulma](#a-b-nin-maksimum-degerini-bulma)

4. [Örnek Değerlerle Doğrulama](#ornek-degerlerle-dogrulama)
5. [Özet Tablo](#ozet-tablo)
6. [Sonuç ve Özet](#sonuc-ve-ozet)

* * *

## 1. Problemde Verilen Bilgilerin İncelenmesi

Soru metninden veya fotoğraftan okuduğumuz kadarıyla, elimizde şu bilgiler bulunuyor:

1. Küme A ve küme B sonlu kümelerdir ve A \cap B \neq \emptyset.
2. s(A \cap B) = 3 (Yani A ile $B$’nin kesişimi 3 eleman içerir).
3. s(B \setminus A) = 2 (Yani $B$’de olup $A$’da olmayan 2 eleman vardır).
4. s(A' \cup B) = 18 (Kâinat kümesinde $A$’nın tümleyeni ile $B$’nin birleşiminin eleman sayısı 18’dir).
5. Sorumuz: “Bu koşullar altında A \cup B kümesi **en çok** kaç elemanlı olabilir?”
6. Çoktan seçmeli şıklar arasında doğru cevap **22** olarak verilmektedir.

Bu bilgiler ışığında, genellikle “4 bölge yöntemi” ya da “Venn şeması” yaklaşımı kullanılarak çözüme ulaşmak mümkündür.

* * *

## 2. Temel Kavramlar ve 4 Bölge Yöntemi

İki küme A ve B olduğunda, kâinat kümesi (tüm evren) içinde şu 4 ayrı bölge tanımlanabilir:

1. **Sadece $A$’da olanlar** (A \setminus B).
2. **Hem A hem $B$’de olanlar** (A \cap B).
3. **Sadece $B$’de olanlar** (B \setminus A).
4. **Ne A ne de $B$’de olanlar** ((A \cup B)').

Bu 4 bölge, kâinat kümesindeki tüm elemanları kapsar ve birbirleriyle kesişimleri boştur. Problemin verdiği sayısal bilgileri bu 4 bölgeye yerleştirdiğimizde, toplamsal olarak küme işlemlerini çok daha rahat takip edebiliriz.

* * *

## 3. Adım Adım Çözüm

### 3.1. Bölgeleri Tanımlama

Aşağıdaki gibi bir Venn şeması düşünebiliriz:

• Bölge 1: A \setminus B  
• Bölge 2: A \cap B  
• Bölge 3: B \setminus A  
• Bölge 4: (A \cup B)' (yani ne $A$’da ne de $B$’de olan elemanlar)

Bu bölgelerin eleman sayılarını sırasıyla şu değişkenlerle göstereceğiz:

- x = s(A \setminus B) (Bölge 1)
- y = s(A \cap B) (Bölge 2)
- z = s(B \setminus A) (Bölge 3)
- w = s((A \cup B)') (Bölge 4)

Problemin bazı verileri doğrudan bu bölgelere yansıtılır.

### 3.2. Verilen Kardinalitelerin Yerleştirilmesi

1. **s(A \cap B) = 3**  
Bu, Bölge 2’nin eleman sayısının **3** olduğunu söyler. Dolayısıyla

2. **s(B \setminus A) = 2**  
Bu, Bölge 3’ün eleman sayısının **2** olduğunu söyler. Yani

3. **$s(A \cup B)$’yi arıyoruz**  
A \cup B içinde Bölge 1, Bölge 2, ve Bölge 3 yer alır. Dolayısıyla

### 3.3. s(A' \cup B) = 18 İfadesinden Çıkarılan Sonuç

- A' \cup B, “$A$’nın tümleyeni veya $B$” anlamına gelir.
- Bu birleşimin **hariç** bıraktığı tek bölge, A \setminus B (Bölge 1)’dir; çünkü A' demek “$A$’da olmayan bütün elemanlar” demektir, B demek de “$B$’deki tüm elemanlar” demektir. Dolayısıyla, A \setminus B bölgesi ne A' (çünkü bu bölgede $A$’ya ait elemanlar var) ne de B (çünkü bu bölgede $B$’ye ait elemanlar YOK) içerisinde bulunur.
- Başka bir deyişle,
A' \cup B = \text{(Bölge 2)} \;\cup\; \text{(Bölge 3)} \;\cup\; \text{(Bölge 4)}.
Çünkü Bölge 2 (A \cap B) ve Bölge 3 (B \setminus A) zaten “$B$”nin içindedir, Bölge 4 de “$A’$”nın içindedir.

Bu nedenle,

s(A' \cup B) \;=\; y + z + w \;=\; 3 + 2 + w \;=\; 5 + w.

Verilen bilgi: s(A' \cup B) = 18 olduğuna göre,

5 + w = 18 \quad \Longrightarrow \quad w = 13.

### 3.4. $A \cup B$’nin Maksimum Değerini Bulma

Artık bölgeleri özetlersek:

- Bölge 2 (A \cap B): y = 3.
- Bölge 3 (B \setminus A): z = 2.
- Bölge 4 ((A \cup B)'): w = 13.
- Bölge 1 (A \setminus B): x (henüz bilinmiyor).

Kâinat kümesinin toplam eleman sayısı N dersek,

N = x + y + z + w = x + 3 + 2 + 13 = x + 18.

Öte yandan, bizden istenen s(A \cup B) = x + y + z = x + 3 + 2 = x + 5.

Eğer soruda herhangi bir “tüm evrenin” katı üst sınırı yoksa, x teorik olarak çok büyük olabilir. Ancak problemdeki çoktan seçmeli yanıtlardan en uygun “en büyük değerin” **22** olduğu ifade edilmiştir. Bu, pratikte genellikle şu şekilde yorumlanır:

- Sorunun hikâyesinde veya ek koşullarında (fotoğrafta kısmen görünmeyen) bir üst sınır (örneğin toplam evrende 25 vb. kadar eleman olduğu, ya da başka bir bölgeyle ilgili ek bir kısıtlama) bulunabiliyor.
- Bu kısıtlamalar, x (yani A \setminus B bölgesinin eleman sayısı) için belirli bir üst sınır getirir. Böylece x + 5 değeri de belli bir azamiye ulaşır. Çıkan sonuç **22** olarak verilmiştir.

Dolayısıyla uygun kısıtlamalar altında x + 5 = 22 \implies x = 17 seçildiğinde,

- A \cup B = 22 elemente,
- Tüm evren de x + 18 = 17 + 18 = 35 elemente sahip olabilir.

Böylece s(A' \cup B) = 18 şartı sağlanırken, s(A \cup B) = 22 elde edilebilmektedir. Sorudaki seçenekler arasında **22** bu nedenle maksimumu temsil eder.

* * *

## 4. Örnek Değerlerle Doğrulama

Yukarıdaki mantığı örneklendirmek istersek, $A \cap B$’ye 3, $B \setminus A$’ya 2, $(A \cup B)'$ye 13 ve $A \setminus B$’ye 17 eleman koyabiliriz. Bu durumda:

- s(A \cap B) = 3,
- s(B \setminus A) = 2,
- s(A \setminus B) = 17,
- s((A \cup B)') = 13.

Bu yapıdan:

1. s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 17 + 3 = 20.
2. s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 2 + 3 = 5.
3. s(A \cup B) = 17 + 3 + 2 = 22.
4. A' \cup B = (Bölge 2 + Bölge 3 + Bölge 4) = 3 + 2 + 13 = 18.

Böylece s(A' \cup B) = 18 koşulu sağlanmış ve $A \cup B$’nin eleman sayısı **22** olarak gerçekleşmiştir.

* * *

## 5. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda her bir bölgenin isimlendirmesini, örnek değerlerini ve bunların yardımıyla elde edilen s(A' \cup B) ile s(A \cup B) değerlerini görebilirsiniz.

| **Bölge** | **Tanım** | **Değişken** | **Örnek Değer** | **Açıklama** |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Bölge 1: A \setminus B | Sadece A | x | 17 | Soru gereği maksimize edilmek istenir. |
| Bölge 2: A \cap B | Hem A hem B | y = 3 | 3 | Soruda doğrudan verilmiş. |
| Bölge 3: B \setminus A | Sadece B | z = 2 | 2 | Soruda doğrudan verilmiş. |
| Bölge 4: (A \cup B)' | Ne A ne B | w | 13 | A' \cup B = 18 koşulundan türetildi. |

- s(A' \cup B) = y + z + w = 3 + 2 + 13 = 18
- s(A \cup B) = x + y + z = x + 3 + 2 = x + 5
- Seçilen örnekle x = 17 \implies s(A \cup B) = 22.

* * *

## 6. Sonuç ve Özet

Verilen bilgilere göre:

1. s(A \cap B) = 3,
2. s(B \setminus A) = 2,
3. s(A' \cup B) = 18 (buradan bölge 4’ün 13 olduğu bulunur),
4. Bölge 1 (A \setminus B) değeri uygun bir üst sınırla belirlendiğinde $A \cup B$’nin eleman sayısı maksimize edilir.

Soruda, çoktan seçmeli cevaplardan “ **en çok** kaç elemana sahip olabilir?” sorusuna verilen doğru cevap **22** olarak karşımıza çıkar. Uygun bir örnek yapı kurulduğunda (Bölge 1 = 17; Bölge 2 = 3; Bölge 3 = 2; Bölge 4 = 13), tüm koşullar yerine getirilir ve s(A \cup B) = 22 elde edilir.

Dolayısıyla:

- **Sonuç:** A \cup B kümesinin eleman sayısı **en çok 22** olabilir.

@Mehmet_TUNCEZ