Soru Detaylarının Çözümü
Sorunun konusu: İkinci dereceden denklemlerin discriminantı (Δ). Görselde verilen soru şuna odaklanıyor:
İkinci derece bir denklemin discriminant (Δ) değerine göre köklerin durumu hakkında bilgi verilir. Discriminant şu formül ile hesaplanır:
\Delta = b^2 - 4ac
Burada a, b, ve c, denklemdeki katsayıları temsil eder.
Soru İçeriği:
- İlk olarak verilen denklem şu: x^2 + 4x + 1 = 0.
- Sonraki adımda, Δ değeri hesaplanmıştır.
- Cevap şıkları arasından discriminantı 1’e eşit olan denklem seçilmeli.
Adım Adım Çözüm:
Verilen Denklem:
x^2 + 4x + 1 = 0. Katsayıları belirleyelim:
- a = 1
- b = 4
- c = 1
Discriminant Hesabı:
Formülü uygulayalım:
\Delta = b^2 - 4ac
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1
\Delta = 16 - 4 = 12
Discriminant burada 12 olarak çıkıyor.
Cevap Şıkları:
Şıklardaki discriminantı 1 olan denklem bulunmalı. Bu hesaplamalı geçiş yapılır.
Cevap Hesabı:
Aşağıdaki denklemler için discriminant hesaplamalarını yapalım:
-
A) x^2 - 4x - 3 = 0:
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)\Delta = 16 + 12 = 28 -
B) x^2 + 3x - 4 = 0:
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)\Delta = 9 + 16 = 25 -
C) x^2 - 4x + 3 = 0:
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3\Delta = 16 - 12 = 4 -
D) x^2 + 3x - 3 = 0:
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)\Delta = 9 + 12 = 21 -
E) x^2 + 2x - 2 = 0:
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)\Delta = 4 + 8 = 12
Sonuç:
Şıklarda hiçbir denklem için discriminant değeri 1 çıkmamaktadır. Verilen soruda bir hata ya da eksik olabilir. Ancak verilen denklemler ve discriminant hesaplamalarının detaylı analizi yapılmıştır. Eğer yukarıdaki bilgilerle sorunun çözümünde belirsizlik varsa, sorunun tam açıklaması için daha fazla bilgi gerekiyordur.
Soru: İkinci dereceden denkleminin diskriminantı Δ’dır. Buna göre, a \neq 0 olmak üzere, Δ = b² - 4ac ifadesi her zaman aşağıdakilerden hangisidir?
Şıklar:
A) x^2 - 4x + 3 = 0
B) x^2 - 3x - 4 = 0
C) x^2 - 4x - 3 = 0
D) x^2 - 3x + 4 = 0
E) x^2 - x - 2 = 0
Cevap:
İkinci Dereceden Denklemlerde Diskriminant
Bir ikinci dereceden denklemin genel formu:
ax^2 + bx + c = 0
Burada diskriminant (Δ):
\Delta = b^2 - 4ac
\Delta’nın işareti, denklemin köklerinin durumunu belirler:
- \Delta > 0: İki farklı gerçek kök
- \Delta = 0: Çakışık (çifte) gerçek kök
- \Delta < 0: Gerçek kök yok (karmaşık kökler)
Soru Analizi
Soruda verilen her zaman kelimesiyle, aşağıdakilerden hangisinde her durumda \Delta’nın b^2 - 4ac olduğu vurgulanıyor.
Ama bu zaten bütün 2. dereceden denklemlerde geçerlidir.
Ancak, şıklarda aslında her bir seçenek için \Delta = b^2 - 4ac ifadesinin değerini bulmamız ve değerlendirmemiz gerekiyor.
Fakat metindeki esas amaç, formülün bulunduğu genel denklemi bulmanızdır. Bunu da ax^2 + bx + c = 0 olarak yazıldığını netleştirir.
Ama şıklarda hepsi bu formatta. O zaman, genellikle sorunun asıl vurgusu, diskriminantı belirten formülün hangi denklemler için kullanılabileceğidir:
- a \neq 0 şartı sağlanmalı (1. dereceden olamaz)
- Katsayılar genel formdadır.
Şıkları İnceleyelim
Hepsi ikinci dereceden denklem, hepsinde a=1 ve a \neq 0.
Aslında tümü için \Delta = b^2 - 4ac uygulanır.
Soru net bir şekilde, diskriminant formülünün kullanılabileceği ikinci dereceden denklemi sormaktadır.
Yani yanıt hepsidir (hepsi ikinci dereceden tek bilinmeyenli denklemdir).
Eğer şıklarda, örneğin x^2 = 0 (veya x - 2 = 0 gibi birinci dereceden denklem) olsaydı, o yanlış olurdu. Ancak şıklardaki tüm ifadeler için:
- a=1
- b katsayısı değişiyor
- c sabit terimi değişiyor
Her biri için \Delta = b^2 - 4ac kullanılabilir.
Kısa Tablo:
| Denklem | a | b | c | \Delta = b^2 - 4ac |
|---|---|---|---|---|
| x^2 - 4x + 3 = 0 | 1 | -4 | 3 | (-4)^2 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4 |
| x^2 - 3x - 4 = 0 | 1 | -3 | -4 | (-3)^2 - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25 |
| x^2 - 4x - 3 = 0 | 1 | -4 | -3 | (-4)^2 - 4*1*(-3) = 16 + 12 = 28 |
| x^2 - 3x + 4 = 0 | 1 | -3 | 4 | (-3)^2 - 4*1*4 = 9 - 16 = -7 |
| x^2 - x - 2 = 0 | 1 | -1 | -2 | (-1)^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9 |
Görüldüğü gibi, hepsi için b^2 - 4ac işlemiyle diskriminant hesaplanır.
Sonuç
Doğru cevap: Şıklardan herhangi biri olabilir, çünkü hepsi ikinci dereceden denklem ve hepsinde diskriminant b^2 - 4ac ile bulunur.
Genel olarak ax^2 + bx + c = 0 biçimindeki tüm denklemlerde \Delta = b^2 - 4ac kullanılır.
Bir başka ifadeyle:
- İkinci dereceden tek bilinmeyenli bir denklemde, diskriminant her zaman b^2 - 4ac olarak hesaplanır.
Ekstra bilgi: Diskriminantın sonucu, o denklemin köklerinin tipini belirler (gerçek ve farklı, gerçek ve çakışık, ya da gerçek olmayan kökler).
Verilen denklem:
x² + Δ·x + (1 − Δ) = 0
Bunun ayrımı (diskriminantı)
D = b² − 4ac = Δ² − 4·1·(1 − Δ) = Δ² + 4Δ − 4
Soru, bu D’nin Δ’ya eşit olduğunu söylüyor; yani
Δ² + 4Δ − 4 = Δ
Δ² + 4Δ − 4 − Δ = 0
Δ² + 3Δ − 4 = 0
Aşağıdaki denklemler arasından bu formda olanı seçiyoruz:
x² + 3x − 4 = 0
Yanıt: B şıkkı.
Soru: İkinci dereceden denklem x² + 4x + 1’in diskriminantı Δ’dır. Buna benzer şekilde aşağıdakilerden hangisi de diskriminant değeri tam kare olmayan (irrasyonel köklü) ikinci dereceden denklemdir?
Cevap: D) x² - 6x + 3 = 0
Çözüm Adımları:
-
Bir ikinci dereceden denklem olan x² + 4x + 1 = 0’in diskriminantı (Δ) şu şekilde hesaplanır:
\Delta = b^2 - 4ac \quad\text{(burada } a=1,\, b=4,\, c=1\text{).}Yani,
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12.12 tam kare olmadığı için bu denklem reel ve irrasyonel iki köke sahiptir. (Köklere bakınca x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}.)
-
Seçeneklerde verilmiş diğer denklemleri inceleyip diskriminantlarının tam kare olup olmadığını kontrol ederiz:
- A) x² - 4x + 3 = 0\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \quad (\text{tam kare, } 2^2).
- B) x² + 3x - 4 = 0\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \quad (\text{tam kare, } 5^2).
- C) (Tekrar) x² - 4x + 3 = 0 → A ile aynı, diskriminant 4.
- D) x² - 6x + 3 = 0\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24 \quad (\text{tam kare değil}).Bu nedenle kökleri irrasyoneldir.
- E) x² + x - 2 = 0\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \quad (\text{tam kare, } 3^2).
- A) x² - 4x + 3 = 0
-
x² + 4x + 1 = 0’ın diskriminantı 12 olduğu için (tam kare değil), buna benzer şekilde yine tam kare olmayan bir diskriminanta sahip denklem D) x² - 6x + 3 = 0 gözükmektedir (diskriminant = 24).
Dolayısıyla, “irrasyonel köklere” sahip olan bir diğer denklem seçeneği D’dir.