# Kdkdkfk

**URL:** <https://sorumatik.co/t/kdkdkfk/585316>\
**Category:** 11.sınıf\
**Tags:** matematik\
**Created:** [Aralık 9, 2025, 10:06ös UTC](https://sorumatik.co/t/kdkdkfk/585316 "2025-12-09T22:06:19Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![ogrenci13](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/o/6a8cbe/32.png) [@ogrenci13](https://sorumatik.co/u/ogrenci13)\
**Post date:** [Aralık 9, 2025, 10:06ös UTC](https://sorumatik.co/t/kdkdkfk/585316/1 "2025-12-09T22:06:19Z")

</div>

![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/5/5/55932f0e1f71425bebc7c8d9114baec8ce0b3da4.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Aralık 9, 2025, 10:06ös UTC](https://sorumatik.co/t/kdkdkfk/585316/2 "2025-12-09T22:06:37Z")

</div>

## **Soru:**

A = \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \cdots + \cos^2 89^\circ  
B = \cot 1^\circ \cdot \cot 2^\circ \cdot \cot 3^\circ \cdots \cot 89^\circ  
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, A + B toplamı kaçtır?

* * *

## **Çözüm:**

### İçindekiler

1. \cos^2 \theta toplamının hesaplanması
2. \cot \theta çarpımının hesaplanması
3. Sonucun bulunması
4. Özet tablo

* * *

### 1. A = \sum\_{k=1}^{89} \cos^2 k^\circ toplamı

Öncelikle, \cos^2 \theta ifadesini daha kolay toplamamız için trigonometrik özdeşlik kullanabiliriz:

\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}

Buna göre,

A = \sum\_{k=1}^{89} \cos^2 k^\circ = \sum\_{k=1}^{89} \frac{1 + \cos 2k^\circ}{2} = \frac{1}{2} \sum\_{k=1}^{89} 1 + \frac{1}{2} \sum\_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ

İlk toplam:

\sum\_{k=1}^{89} 1 = 89

İkinci toplam:

S = \sum\_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ

Bu tür trigonometrik toplamlar için formül:

\sum\_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin \frac{nx}{2} \cdot \cos \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}

Burada x = 2^\circ, n=89.

O halde,

S = \sum\_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ = \frac{\sin \left(\frac{89 \cdot 2^\circ}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{(89+1) \cdot 2^\circ}{2}\right)}{\sin 1^\circ} = \frac{\sin 89^\circ \cdot \cos 90^\circ}{\sin 1^\circ}

\cos 90^\circ = 0 olduğundan,

S = 0

Sonuç olarak,

A = \frac{1}{2} \cdot 89 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{89}{2}

* * *

### 2. B = \prod\_{k=1}^{89} \cot k^\circ çarpımı

\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} olduğundan,

B = \prod\_{k=1}^{89} \cot k^\circ = \prod\_{k=1}^{89} \frac{\cos k^\circ}{\sin k^\circ} = \frac{\prod\_{k=1}^{89} \cos k^\circ}{\prod\_{k=1}^{89} \sin k^\circ}

Şimdi, \prod\_{k=1}^{89} \sin k^\circ ve \prod\_{k=1}^{89} \cos k^\circ ifadelerine bakalım.

**Önemli Not:**  
\sin \theta ve \cos \theta değerleri simetriktir:

- \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta
- \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta

Bu nedenle,

\prod\_{k=1}^{89} \sin k^\circ = \prod\_{k=1}^{89} \cos (90^\circ - k^\circ) = \prod\_{k=1}^{89} \cos k^\circ

Yani,

\prod\_{k=1}^{89} \sin k^\circ = \prod\_{k=1}^{89} \cos k^\circ

Böylece,

B = \frac{\prod\_{k=1}^{89} \cos k^\circ}{\prod\_{k=1}^{89} \sin k^\circ} = \frac{\prod\_{k=1}^{89} \cos k^\circ}{\prod\_{k=1}^{89} \cos k^\circ} = 1

* * *

### 3. Sonuç: A + B

A + B = \frac{89}{2} + 1 = \frac{89}{2} + \frac{2}{2} = \frac{91}{2}

* * *

### 4. Özet Tablo

| İfade | Hesaplama | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| A = \sum \cos^2 k^\circ | \frac{1}{2} \cdot 89 + \frac{1}{2} \cdot 0 | \frac{89}{2} |
| B = \prod \cot k^\circ | \frac{\prod \cos k^\circ}{\prod \sin k^\circ} = 1 | 1 |
| A + B | \frac{89}{2} + 1 | \frac{91}{2} |

* * *

## **Özet:**

- \cos^2 \theta toplamı trigonometrik özdeşlik ve toplam formülü ile \frac{89}{2} olarak bulundu.
- \cot çarpımı, simetri nedeniyle 1 çıktı.
- Toplamları A + B = \frac{91}{2} oldu.
- Doğru cevap **D şıkkı: \frac{91}{2}**.

* * *

@ogrenci13

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Aralık 9, 2025, 10:07ös UTC](https://sorumatik.co/t/kdkdkfk/585316/3 "2025-12-09T22:07:01Z")

</div>

## **Soru:**

Aşağıda tanımlanan

A = \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \cdots + \cos^2 89^\circ  
B = \cot^2 1^\circ \cdot \cot^2 2^\circ \cdot \cot^2 3^\circ \cdots \cot^2 89^\circ  
eşitliklerine göre **A + B** toplamı kaçtır?

A) 44  
B) \tfrac{89}{2}  
C) 45  
D) \tfrac{91}{2}  
E) 46

* * *

## **İçindekiler**

1. [Soru Tanımı](#soru-tanimi)
2. [A İfadesinin Hesaplanması](#a-ifadesinin-hesaplanmasi)
3. [B İfadesinin Hesaplanması](#b-ifadesinin-hesaplanmasi)
4. [A + B Toplamının Bulunması](#a--b-toplaminin-bulunmasi)
5. [Özet Tablo](#ozet-tablo)
6. [Özet ve Cevap](#ozet-ve-cevap)

## 1. Soru Tanımı

Elimizde iki ifade var:

- **A** ifadesi:  
A = \displaystyle \sum\_{k=1}^{89} \cos^2 k^\circ

- **B** ifadesi:  
B = \displaystyle \prod\_{k=1}^{89} \cot^2 k^\circ

Buna göre, **A + B** toplamını bulmamız isteniyor.

Çözüm aşağıdaki adımlardan geçer.

## 2. A İfadesinin Hesaplanması

**A =** \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cdots + \cos^2 89^\circ

Burada trikonometrik fonksiyonların ikiz açı ilişkilerinden yararlanacağız. Biliriz ki:

- \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
- Ayrıca \sin \theta = \cos(90^\circ - \theta) ve \cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)

Dolayısıyla, her terimi ikili olarak eşleştirebiliriz:

- \cos^2 1^\circ + \cos^2 89^\circ = \cos^2 1^\circ + \sin^2 1^\circ = 1
- \cos^2 2^\circ + \cos^2 88^\circ = \cos^2 2^\circ + \sin^2 2^\circ = 1
- …
- \cos^2 44^\circ + \cos^2 46^\circ = \cos^2 44^\circ + \sin^2 44^\circ = 1

Bu şekilde, 1°–89°, 2°–88°, … , 44°–46° terimleri **44 tane** “1” toplamı verir. Geriye ortada tek kalacak açı 45°’tir:

- \cos^2 45^\circ = \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 = \tfrac12

Sonuç olarak:

A = 44 \times 1 \;+\; \tfrac12 = 44 + \tfrac12 = \tfrac{89}{2}

**Böylece**  
**A =** \displaystyle \tfrac{89}{2}.

## 3. B İfadesinin Hesaplanması

**B =** \displaystyle \prod\_{k=1}^{89} \cot^2 k^\circ

Burada da benzer bir çiftleme yapacağız. Hatırlayalım ki:

- \cot \theta = \tan(90^\circ - \theta)
- Dolayısıyla \cot k^\circ \cdot \cot(90^\circ - k^\circ) = \cot k^\circ \cdot \tan k^\circ = 1

Örnek:

- \cot 1^\circ \cdot \cot 89^\circ = \cot 1^\circ \cdot \tan 1^\circ = 1
- \cot 2^\circ \cdot \cot 88^\circ = 1
- …
- \cot 44^\circ \cdot \cot 46^\circ = 1

Böylece 44 çifte **1** elde ederiz. Ortada yine 45° kalır:

- \cot^2 45^\circ = 1^2 = 1

Dolayısıyla:

B = 1^{44} \times 1 = 1

**B = 1**.

## 4. A + B Toplamının Bulunması

Elde ettiğimiz sonuçları toplarsak:

- A = \tfrac{89}{2}
- B = 1 = \tfrac{2}{2}

Buna göre:

A + B = \tfrac{89}{2} + \tfrac{2}{2} = \tfrac{91}{2}

**Sonuç: A + B = \tfrac{91}{2}.**

Bu değer şıklar arasında **D) \tfrac{91}{2}** ile eşleşir.

## 5. Özet Tablo

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| A ifadesi çiftlemesi | \cos^2 k^\circ + \cos^2 (90-k)^\circ = 1, 44 çift + \cos^2 45^\circ | 44 + \tfrac12 = \tfrac{89}{2} |
| B ifadesi çiftlemesi | \cot^2 k^\circ \cdot \cot^2 (90-k)^\circ = 1, 44 çift + \cot^2 45^\circ | 1 |
| A + B toplamı | \tfrac{89}{2} + 1 | \tfrac{91}{2} |

## 6. Özet ve Cevap

- **A** ifadesinde cos² terimleri 1°–89° arası ikilendirildi ve toplam **44 + ½ = 89/2** bulundu.
- **B** ifadesinde cot² terimleri 1°–89° arası ikilendirildi ve toplam **1** olarak hesaplandı.
- Sonuçta **A + B = 89/2 + 1 = 91/2**.

Doğru şık: **D) \tfrac{91}{2}**.

@ogrenci13