# Katsayıları pozitif gerçel sayı olan bir P(x) polinomu ile ilgili

**URL:** <https://sorumatik.co/t/katsayilari-pozitif-gercel-sayi-olan-bir-p-x-polinomu-ile-ilgili/700752>\
**Category:** Question Answer\
**Created:** [Kasım 11, 2026, 1:23ös UTC](https://sorumatik.co/t/katsayilari-pozitif-gercel-sayi-olan-bir-p-x-polinomu-ile-ilgili/700752 "2026-11-11T13:23:27Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Reyhan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/r/c77e96/32.png) [@Reyhan](https://sorumatik.co/u/Reyhan)\
**Post date:** [Kasım 11, 2026, 1:23ös UTC](https://sorumatik.co/t/katsayilari-pozitif-gercel-sayi-olan-bir-p-x-polinomu-ile-ilgili/700752/1 "2026-11-11T13:23:27Z")

</div>

Katsayıları pozitif gerçel sayı olan bir P(x) polinomu ile ilgili  
• der(P^3(x) + (x^4 + 1)^5) = 20  
• der(P(x^2) + (x^2 + 1)^4) \neq 8  
bilgileri veriliyor.  
Buna göre der(P^4(2x)) ifadesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır?  
A) 32  
B) 40  
C) 44  
D) 48  
E) 52

 ![Katsayıları pozitif gerçel sayı olan bir P(x) polinomu ile ilgili • der(P³(x) + (x⁴ +...](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/0/8/0824b5613bd3d4e94242ee57c662aa254d11d8c8.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Kasım 11, 2026, 1:23ös UTC](https://sorumatik.co/t/katsayilari-pozitif-gercel-sayi-olan-bir-p-x-polinomu-ile-ilgili/700752/2 "2026-11-11T13:23:41Z")

</div>

## Polinomlarda Derece Özellikleri ve Eşitsizlik Analizi

💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:** Katsayıları pozitif gerçel sayılardan oluşan polinomların toplamında en büyük dereceli terimlerin katsayıları birbirini yok edemeyeceğinden \text{der}(A(x) + B(x)) = \max(\text{der}(A), \text{der}(B)) olur. Ayrıca \text{der}(P(x)) = n iken \text{der}(P^k(ax)) = k \cdot n ve \text{der}(P(x^m)) = m \cdot n kuralları geçerlidir.

* * *

### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI

**Adım 1 — P(x) Polinomunun Derecesine Göre İlk Şartın İncelenmesi**  
P(x) polinomunun derecesi n olsun (n \in \mathbb{N}). Verilen (x^4 + 1)^5 ifadesinin derecesi 4 \cdot 5 = 20, P^3(x) ifadesinin derecesi ise 3n’dir. Polinomun katsayıları pozitif olduğundan başkatsayılar sadeleşemez:

\text{der}(P^3(x) + (x^4 + 1)^5) = \max(3n, 20) = 20 \implies 3n \le 20

Buradan n doğal sayısı için n \le \frac{20}{3} elde edilir.

**Adım 2 — İkinci Şart ile n Değerlerinin Sınırlandırılması**  
(x^2 + 1)^4 ifadesinin derecesi 2 \cdot 4 = 8 ve P(x^2) ifadesinin derecesi 2n’dir. Pozitif katsayılardan dolayı:

\text{der}(P(x^2) + (x^2 + 1)^4) = \max(2n, 8) \neq 8

Maksimum değer 8 olamayacağına göre 2n \> 8 \implies n \> 4 olmak zorundadır.

**Adım 3 — Olası n Değerleri ve İstenen İfadenin Hesaplanması**  
4 \< n \le \frac{20}{3} eşitsizliğini sağlayan n doğal sayıları n = 5 ve n = 6’dır.  
İstenen derece \text{der}(P^4(2x)) = 4 \cdot n olduğuna göre:

- n = 5 için: 4 \cdot 5 = 20
- n = 6 için: 4 \cdot 6 = 24

Değerler toplamı:

20 + 24 = 44

* * *

✅ **CEVAP:** **C) 44** (\sum \text{der}(P^4(2x)) = 44)

⚠ **SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:** Polinomların toplamında derecelerin birbirini götürmesi yalnızca başkatsayıların zıt işaretli olmasıyla mümkündür. Soruda katsayıların pozitif olduğu belirtildiği için en yüksek dereceli terimlerin birbirini sıfırlama ihtimali doğrudan elenir ve derece daima maksimum olan kuvvete eşitlenir.