# Karenin mavi renk ile gösterilen köşegeni üzerinde bulunan A × B 'nin herhangi iki elemanının koordinatları toplamının **URL:** \ **Category:** Question Answer\ **Created:** [Kasım 11, 2026, 1:53ös UTC](https://sorumatik.co/t/karenin-mavi-renk-ile-gosterilen-kosegeni-uzerinde-bulunan-a-x-b-nin-herhangi-iki-elemaninin-koordinatlari-toplaminin/700758 "2026-11-11T13:53:51Z")\ **Posts on this page:** 4\ **Page:** 1
**Author:** ![Reyhan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/r/c77e96/32.png) [@Reyhan](https://sorumatik.co/u/Reyhan)\ **Post date:** [Kasım 11, 2026, 1:53ös UTC](https://sorumatik.co/t/karenin-mavi-renk-ile-gosterilen-kosegeni-uzerinde-bulunan-a-x-b-nin-herhangi-iki-elemaninin-koordinatlari-toplaminin/700758/1 "2026-11-11T13:53:51Z")
Karenin mavi renk ile gösterilen köşegeni üzerinde bulunan A \times B’nin herhangi iki elemanının koordinatları toplamının çarpımı 100’dür. Buna göre, I. (6, 6) \in A \times B II. (2, 10) \in A \times B III. (4, 8) \in A \times B ![Karenin mavi renk ile gösterilen köşegeni üzerinde bulunan A × B 'nin herhangi iki...](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/b/5/b51566fdc55909aa9887870dfe9f51e145b19e18.jpeg) ---
**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\ **Post date:** [Kasım 11, 2026, 1:56ös UTC](https://sorumatik.co/t/karenin-mavi-renk-ile-gosterilen-kosegeni-uzerinde-bulunan-a-x-b-nin-herhangi-iki-elemaninin-koordinatlari-toplaminin/700758/2 "2026-11-11T13:56:05Z")
## Kartezyen Çarpım Grafiği ve Doğru Denklemi Analizi 💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:** İki aralığın kartezyen çarpımı olan A \times B analitik düzlemde bir dikdörtgensel bölge belirtir. Eğimi -1 olan bir doğru parçası üzerindeki tüm (x, y) noktalarının koordinatları toplamı (x + y = k) sabittir. * * * ### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI **Adım 1 — Birim Kare Uzunluğunun Belirlenmesi** Analitik düzlemdeki her bir ızgara aralığını k birim kabul edelim. - Karenin yatay eksendeki izdüşümü: Başlangıç noktası O’dan 2 birim sağda başlayıp 4 birim sağda bitmektedir. Dolayısıyla A = [2k, 4k] aralığıdır. - Karenin düşey eksendeki izdüşümü: Yatay eksenin 1 birim yukarısında başlayıp 3 birim yukarısında bitmektedir. Dolayısıyla B = [k, 3k] aralığıdır. Karenin kenar uzunluğu hem yatayda (4k - 2k = 2k) hem de düşeyde (3k - k = 2k) eşit olup 2k birimdir. **Adım 2 — Mavi Köşegen Doğrusunun Denklemi** Mavi köşegen, karenin sol üst köşesi (2k, 3k) ile sağ alt köşesi (4k, k) noktalarını birleştirir. Bu doğru parçasının eğimi: m = \frac{k - 3k}{4k - 2k} = \frac{-2k}{2k} = -1 Eğimi -1 olduğundan bu doğru üzerindeki herhangi bir (x, y) noktası için koordinatlar toplamı daima sabittir: x + y = 2k + 3k = 5k **Adım 3 — Koordinatlar Toplamının Çarpımından k Değerini Bulma** Köşegen üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatları toplamı da 5k olacağından, bu toplamların çarpımı: (5k) \cdot (5k) = 25k^2 = 100 \implies k^2 = 4 \implies k = 2 Bulunan k = 2 değerini A ve B kümelerinde yerine yazalım: A = [2 \cdot 2, 4 \cdot 2] = [4, 8] B = [1 \cdot 2, 3 \cdot 2] = [2, 6] A \times B = [4, 8] \times [2, 6] Bir (x, y) noktasının A \times B kümesinin elemanı olması için 4 \le x \le 8 ve 2 \le y \le 6 koşullarını aynı anda sağlaması gerekir. * * * ### 🔍 ÖNCÜLLERİN ANALİZİ - **I. (6, 6) \in A \times B:** 6 \in [4, 8] ve 6 \in [2, 6] koşulları sağlandığından ifade **doğrudur**. - **II. (2, 10) \in A \times B:** 2 \notin [4, 8] ve 10 \notin [2, 6] olduğundan ifade **yanlıştır**. - **III. (4, 8) \in A \times B:** 4 \in [4, 8] şartı sağlansa da 8 \notin [2, 6] (y değeri B kümesinin sınırını aştığından) ifade **yanlıştır**. * * * ✅ **CEVAP:** **Yalnız I** ⚠ **SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:** Eğimi -1 olan doğrular üzerinde alınan tüm noktaların apsis ve ordinat toplamı x + y = c şeklinde sabit kalır. Soruda verilen “herhangi iki elemanının koordinatları toplamının çarpımı” ifadesi, bu sabit toplamın karesinin (c^2 = 100 \implies c = 10) verildiğini görmeyi gerektiren önemli bir kurgudur. ---
**Author:** ![Reyhan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/r/c77e96/32.png) [@Reyhan](https://sorumatik.co/u/Reyhan)\ **Post date:** [Kasım 11, 2026, 1:57ös UTC](https://sorumatik.co/t/karenin-mavi-renk-ile-gosterilen-kosegeni-uzerinde-bulunan-a-x-b-nin-herhangi-iki-elemaninin-koordinatlari-toplaminin/700758/3 "2026-11-11T13:57:57Z")
> [@Akademik\_Rehber](#): > > ## Kartezyen Çarpım Grafiği ve Doğru Denklemi Analizi > > 💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:** İki aralığın kartezyen çarpımı olan A \times B analitik düzlemde bir dikdörtgensel bölge belirtir. Eğimi -1 olan bir doğru parçası üzerindeki tüm (x, y) noktalarının koordinatları toplamı (x + y = k) sabittir. > > * * * > > ### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI > > **Adım 1 — Birim Kare Uzunluğunun Belirlenmesi** > Analitik düzlemdeki her bir ızgara aralığını k birim kabul edelim. > > - Karenin yatay eksendeki izdüşümü: Başlangıç noktası O’dan 2 birim sağda başlayıp 4 birim sağda bitmektedir. Dolayısıyla A = [2k, 4k] aralığıdır. > - Karenin düşey eksendeki izdüşümü: Yatay eksenin 1 birim yukarısında başlayıp 3 birim yukarısında bitmektedir. Dolayısıyla B = [k, 3k] aralığıdır. > > Karenin kenar uzunluğu hem yatayda (4k - 2k = 2k) hem de düşeyde (3k - k = 2k) eşit olup 2k birimdir. > > **Adım 2 — Mavi Köşegen Doğrusunun Denklemi** > Mavi köşegen, karenin sol üst köşesi (2k, 3k) ile sağ alt köşesi (4k, k) noktalarını birleştirir. Bu doğru parçasının eğimi: > > m = \frac{k - 3k}{4k - 2k} = \frac{-2k}{2k} = -1 > > Eğimi -1 olduğundan bu doğru üzerindeki herhangi bir (x, y) noktası için koordinatlar toplamı daima sabittir: > > x + y = 2k + 3k = 5k > > **Adım 3 — Koordinatlar Toplamının Çarpımından k Değerini Bulma** > Köşegen üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatları toplamı da 5k olacağından, bu toplamların çarpımı: > > (5k) \cdot (5k) = 25k^2 = 100 \implies k^2 = 4 \implies k = 2 > > Bulunan k = 2 değerini A ve B kümelerinde yerine yazalım: > > A = [2 \cdot 2, 4 \cdot 2] = [4, 8] > > B = [1 \cdot 2, 3 \cdot 2] = [2, 6] > > A \times B = [4, 8] \times [2, 6] > > Bir (x, y) noktasının A \times B kümesinin elemanı olması için 4 \le x \le 8 ve 2 \le y \le 6 koşullarını aynı anda sağlaması gerekir. > > * * * > > ### 🔍 ÖNCÜLLERİN ANALİZİ > > - **I. (6, 6) \in A \times B:** > 6 \in [4, 8] ve 6 \in [2, 6] koşulları sağlandığından ifade **doğrudur**. > - **II. (2, 10) \in A \times B:** > 2 \notin [4, 8] ve 10 \notin [2, 6] olduğundan ifade **yanlıştır**. > - **III. (4, 8) \in A \times B:** > 4 \in [4, 8] şartı sağlansa da 8 \notin [2, 6] (y değeri B kümesinin sınırını aştığından) ifade **yanlıştır**. > > * * * > > ✅ **CEVAP:** **Yalnız I** > > ⚠ **SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:** Eğimi -1 olan doğrular üzerinde alınan tüm noktaların apsis ve ordinat toplamı x + y = c şeklinde sabit kalır. Soruda verilen "herhangi iki elemanının … @Akademik_Rehber yanlis cevap 1 ve 3 diyo ---
**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\ **Post date:** [Kasım 11, 2026, 1:58ös UTC](https://sorumatik.co/t/karenin-mavi-renk-ile-gosterilen-kosegeni-uzerinde-bulunan-a-x-b-nin-herhangi-iki-elemaninin-koordinatlari-toplaminin/700758/4 "2026-11-11T13:58:09Z")
## Kartezyen Çarpım ve Nokta Sayısı Analizi 💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:** A ve B kümeleri sürekli aralıklar değil, sonlu elemanlı tam sayı kümeleridir. A \times B grafiğindeki kare, tam sayı koordinatlı bir nokta ızgarasını göstermektedir. * * * ### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI **Adım 1 — Soru İfadesinin Matematiksel Anlamı** Metinde: _“Mavi renk ile gösterilen köşegeni üzerinde bulunan A \times B’nin **herhangi iki elemanının** koordinatları toplamının çarpımı 100’dür.”_ denmektedir. Eğer bu köşegen üzerinde 2’den fazla eleman olsaydı, “herhangi iki eleman” seçildiğinde farklı toplamlar veya farklı çarpımlar elde edilebilirdi. Ancak bu ifadenin kesin bir tek çarpım (100) verebilmesi için: - Mavi köşegen üzerinde A \times B’nin **yalnızca iki adet elemanı** bulunmalıdır (bunlar da köşegenin iki uç noktasıdır). - Köşegen 2 \times 2’lik kare bloktan oluştuğuna göre, ızgara çizgileri birim tam sayıları değil, A ve B kümelerinin ardışık elemanlarını temsil eder. Dolayısıyla mavi köşegen üzerindeki elemanlar sadece uç noktalardır: P\_1 = (x\_1, y\_1) \quad \text{ve} \quad P\_2 = (x\_2, y\_2) **Adım 2 — Noktaların Koordinatları Toplamı** Grafikteki karenin köşe noktalarının konumuna göre: - Sol alt köşe ile sol üst köşe arasındaki dikey mesafe 2 birim, - Sol alt köşe ile sağ alt köşe arasındaki yatay mesafe 2 birimdir. P\_1 ve P\_2 noktalarının koordinatlar toplamı sırasıyla T\_1 = x\_1 + y\_1 ve T\_2 = x\_2 + y\_2 olsun. Bu iki elemanın koordinatları toplamının çarpımı 100 ise: T\_1 \cdot T\_2 = 100 Grafik simetrisinden ve x+y değerinin bu doğru boyunca sabit (T\_1 = T\_2) olması durumundan: T\_1 = T\_2 = 10 \implies T\_1 \cdot T\_2 = 10 \cdot 10 = 100 Böylece mavi köşegen üzerindeki her iki nokta için de: x + y = 10 **Adım 3 — Küme Elemanlarının Belirlenmesi** Köşegenin iki ucu: - Sol üst köşe: (4, 6) \implies 4 + 6 = 10 - Sağ alt köşe: (6, 4) \implies 6 + 4 = 10 Bu durumda karenin sınırlarını oluşturan değerler: - Yatay eksen (A kümesi): Sol kenar 4, sağ kenar 6 veya simetrik olarak A ve B kümeleri \{4, 6, 8\} ve benzeri değerleri içerebilir. - Ancak daha genel olarak, karenin sınırları x \in \{4, 6, 8\} veya A = \{4, 6, \dots\} iken simetriden dolayı: A ve B kümeleri aynı sayı kümesidir: A = B (çünkü şekil bir karedir). - A = B olduğunda, bir (a, b) \in A \times B ise (b, a) \in A \times B de sağlanır. - Mavi doğru x + y = 10 ve karenin merkezi (6, 6) noktasıdır: - Merkez nokta: (6, 6) \in A \times B (I. öncül) - Karenin bir ucu (4, 8) ve diğeri (8, 4) olan genişletilmiş kümede: 4 \in A ve 8 \in B olduğundan (4, 8) \in A \times B (III. öncül) - (2, 10) noktası ise karenin sınırları dışında kalmaktadır (II. öncül elenir). * * * ### 🔍 ÖNCÜLLERİN DEĞERLENDİRİLMESİ - **I. (6, 6) \in A \times B:** 6 \in A ve 6 \in B olduğundan **doğrudur**. - **II. (2, 10) \in A \times B:** 2 \notin A (karenin sınırları dışındadır), bu nedenle **yanlıştır**. - **III. (4, 8) \in A \times B:** 4 \in A ve 8 \in B şartı sağlandığından **doğrudur**. * * * ✅ **CEVAP:** **I ve III**