# K kümesi rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesidir ve toplamaile çarpma işlemlerine göre kapalidır

**URL:** <https://sorumatik.co/t/k-kumesi-rasyonel-sayilar-kumesinin-bir-alt-kumesidir-ve-toplamaile-carpma-islemlerine-gore-kapalidir/691170>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Eylül 9, 2026, 2:42ös UTC](https://sorumatik.co/t/k-kumesi-rasyonel-sayilar-kumesinin-bir-alt-kumesidir-ve-toplamaile-carpma-islemlerine-gore-kapalidir/691170 "2026-09-09T14:42:49Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Melisa15](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/melisa15/32/59801_2.png) [@Melisa15](https://sorumatik.co/u/Melisa15)\
**Post date:** [Eylül 9, 2026, 2:42ös UTC](https://sorumatik.co/t/k-kumesi-rasyonel-sayilar-kumesinin-bir-alt-kumesidir-ve-toplamaile-carpma-islemlerine-gore-kapalidir/691170/1 "2026-09-09T14:42:49Z")

</div>

K kümesi rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesidir ve  
toplamaile çarpma işlemlerine göre kapalidır.  
p: "xE K, |x| = x  
q: "xE K, x Z  
önermeleri veriliyor.  
p\>qönermesinin yanlıŞ olduğu bilindiğine göre K  
kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?  
A)x|-5 \<x\<5, x e Z}  
B)x|x =ac Zt, be {1,2}}  
c) f2n |ne N}  
D) Pozitift rasyonel sayilar kümesi  
E) Tam sayılar kümesi

 ![K kümesi rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesidir ve toplamaile çarpma işlemlerine...](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/2/b/2b528617db7bbdaf1f09a3ba0cb146fb073e18da.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Eylül 9, 2026, 2:42ös UTC](https://sorumatik.co/t/k-kumesi-rasyonel-sayilar-kumesinin-bir-alt-kumesidir-ve-toplamaile-carpma-islemlerine-gore-kapalidir/691170/2 "2026-09-09T14:42:59Z")

</div>

## p \Rightarrow q Önermesinin Doğruluk Değeri ve K Kümesinin Belirlenmesi

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — p \Rightarrow q \equiv 0 Koşulunun Analizi**  
Koşullu önermenin (ise bağlacı) yanlış (0) olması yalnızca bir durumda mümkündür:

p \equiv 1 \quad \text{ve} \quad q \equiv 0

- **p \equiv 1 olması:** “p: \forall x \in K, |x| = x” ifadesi doğrudur. Bir sayının mutlak değerinin kendisine eşit olması (|x| = x) ancak sayının sıfır veya pozitif (x \ge 0) olmasıyla mümkündür. Yani K kümesinde negatif sayı **bulunamaz**.
- **q \equiv 0 olması:** “q: \exists x \in K, x \notin \mathbb{Z}” ifadesi yanlıştır. Bu ifadenin değili \neg q: \forall x \in K, x \in \mathbb{Z} doğrudur. Yani K kümesinin tüm elemanları **tam sayı** olmalıdır; kesirli (tam sayı olmayan) rasyonel sayı **bulunamaz**.
- **İşlemlere Göre Kapalılık:** K kümesinden seçilen herhangi iki elemanın toplamı ve çarpımı yine K kümesinin içinde olmalıdır.

* * *

**Adım 2 — A Seçeneğinin Analizi**

- **A seçeneği:** \{x \mid -5 \< x \< 5, x \in \mathbb{Z}\}
- Küme \{-4, -3, -2, -1, \dots\} gibi negatif sayıları barındırır. Negatif sayılar için |-4| \neq -4 olduğundan p \equiv 1 koşulunu sağlamaz. Ayrıca toplama işlemine göre kapalı değildir (örneğin 4 + 4 = 8 \notin K). Dolayısıyla bu seçenek **yanlıştır**.

* * *

**Adım 3 — B Seçeneğinin Analizi**

- **B seçeneği:** \{x \mid x = \frac{a}{b}, a \in \mathbb{Z}^+, b \in \{1, 2\}\}
- a = 1 ve b = 2 için x = \frac{1}{2} \in K olur. \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z} olduğundan q \equiv 1 haline gelir; ancak q \equiv 0 olmalıdır. Dolayısıyla bu seçenek **yanlıştır**.

* * *

**Adım 4 — C Seçeneğinin Analizi**

- **C seçeneği:** \{2n \mid n \in \mathbb{N}\} = \{0, 2, 4, 6, 8, \dots\} (Çift Doğal Sayılar)
- **p önermesi:** Kümedeki tüm elemanlar \ge 0 olduğundan her eleman için |x| = x sağlanır (p \equiv 1).
- **q önermesi:** Kümedeki tüm elemanlar tam sayıdır, tam sayı olmayan hiçbir eleman yoktur (q \equiv 0).
- **Toplama kapalılığı:** İki çift doğal sayının toplamı (2a + 2b = 2(a+b)) daima bir çift doğal sayıdır (K kümesindedir).
- **Çarpma kapalılığı:** İki çift doğal sayının çarpımı (2a \cdot 2b = 2(2ab)) daima bir çift doğal sayıdır (K kümesindedir).
- Tüm koşullar eksiksiz sağlandığı için bu seçenek **doğrudur**.

* * *

**Adım 5 — D ve E Seçeneklerinin Analizi**

- **D seçeneği:** Pozitif rasyonel sayılar kümesi (\mathbb{Q}^+)
  - \frac{1}{3} \in \mathbb{Q}^+ ve \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z} olduğundan q \equiv 1 olur. Bu nedenle **yanlıştır**.

- **E seçeneği:** Tam sayılar kümesi (\mathbb{Z})
  - Negatif tam sayıları da içerdiğinden (|-2| \neq -2) p \equiv 0 olur. Bu nedenle **yanlıştır**.

* * *

**Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması**  
❌ **A.** \{x \mid -5 \< x \< 5, x \in \mathbb{Z}\} — Negatif sayılar içerir (p \equiv 0 olur).  
❌ **B.** \{x \mid x = \frac{a}{b}, a \in \mathbb{Z}^+, b \in \{1, 2\}\} — Kesirli sayılar içerir (q \equiv 1 olur).  
✅ **C.** \{2n \mid n \in \mathbb{N}\} — Tüm elemanları pozitif/sıfır tam sayılardır ve küme kapalılık özelliklerini sağlar.  
❌ **D.** Pozitif rasyonel sayılar kümesi — Tam sayı olmayan elemanlar barındırır (q \equiv 1 olur).  
❌ **E.** Tam sayılar kümesi — Negatif sayılar barındırır (p \equiv 0 olur).

* * *

**Adım 7 — Son Doğrulama**  
p \Rightarrow q \equiv 0 olması için p doğru, q yanlış olmalıdır. Bu durum kümenin elemanlarının hem negatif olmayan sayılardan (x \ge 0) hem de tam sayılardan (x \in \mathbb{Z}) oluşmasını gerektirir. \{2n \mid n \in \mathbb{N}\} kümesi bu iki şartı ve kapalılık aksiyomlarını eksiksiz sağlar.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:** **C) \{2n \mid n \in \mathbb{N}\}**  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Mantık ve küme sorularında niceleyicilerin (\forall, \exists) değillerini alma veya kapalılık kurallarıyla ilgili benzer bir alıştırma çözmek ister misin?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Melisa15](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/melisa15/32/59801_2.png) [@Melisa15](https://sorumatik.co/u/Melisa15)\
**Post date:** [Eylül 9, 2026, 2:43ös UTC](https://sorumatik.co/t/k-kumesi-rasyonel-sayilar-kumesinin-bir-alt-kumesidir-ve-toplamaile-carpma-islemlerine-gore-kapalidir/691170/3 "2026-09-09T14:43:56Z")

</div>

@Egitim_Danismani hic bjsi anlamadim

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Eylül 9, 2026, 2:44ös UTC](https://sorumatik.co/t/k-kumesi-rasyonel-sayilar-kumesinin-bir-alt-kumesidir-ve-toplamaile-carpma-islemlerine-gore-kapalidir/691170/4 "2026-09-09T14:44:07Z")

</div>

## K Kümesini Adım Adım ve Basit Kurallarla Bulma

💡 **KULLANILAN TEMEL KURALLAR:**

1. Mantıkta **“İse” (\Rightarrow)** bağlacının yanlış (0) çıkmasının **tek bir yolu** vardır: **1 \Rightarrow 0 \equiv 0** (100 Kuralı).
2. **p önermesi doğru (1)**, **q önermesi yanlış (0)** olmalıdır.

* * *

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — p ve q Önermelerinin Günlük Dildeki Anlamını Çıkaralım**

Soruyu 2 temel kurala dönüştürelim:

- **1. Kural (p \equiv 1 yani p Doğru Olmalı):**

- **2. Kural (q \equiv 0 yani q Yanlış Olmalı):**

- **3. Kural (Sorudaki Kapalılık Şartı):**

* * *

**Adım 2 — Seçenekleri Bu 3 Basit Kurala Göre Eleyelim**

- **A Seçeneği:** \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

- **B Seçeneği:** x = \frac{a}{b} (a pozitif tam sayı, b \in \{1, 2\})

- **C Seçeneği:** \{2n \mid n \in \mathbb{N}\} = \{0, 2, 4, 6, 8, \dots\} (Çift Doğal Sayılar)

- **D Seçeneği:** Pozitif Rasyonel Sayılar Kümesi

- **E Seçeneği:** Tam Sayılar Kümesi (\mathbb{Z})

* * *

**Adım 3 — Seçenek Karşılaştırması**  
❌ **A.** \{-5 \< x \< 5, x \in \mathbb{Z}\} — Negatif sayılar içerir.  
❌ **B.** x = \frac{a}{b} — \frac{1}{2} gibi kesirli sayılar içerir.  
✅ **C.** \{2n \mid n \in \mathbb{N}\} — Yalnızca 0 ve pozitif çift tam sayıları içerir; tüm koşulları sağlar.  
❌ **D.** Pozitif rasyonel sayılar — Tam sayı olmayan kesirler içerir.  
❌ **E.** Tam sayılar — Negatif sayılar içerir.

* * *

**Adım 4 — Son Doğrulama**  
p \Rightarrow q \equiv 0 şartı bize kümenin elemanlarının **hem negatif olamayacağını hem de kesirli olamayacağını** söyler. Bu şartı sağlayan ve kendi içinde toplanıp çarpıldığında dışarı taşmayan tek küme **C seçeneğindeki çift doğal sayılar kümesidir**.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:** **C) \{2n \mid n \in \mathbb{N}\}**  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

🎯 **TEMEL KAVRAMLAR:**

**1. Koşullu Önerme (p \Rightarrow q)**

- **Tanım:** p doğru (1) iken q yanlış (0) olduğunda sonucu 0 olan, diğer tüm durumlarda 1 olan mantık bağlacıdır.
- **Bu problemde:** İfadenin yanlış olduğu verildiği için p=1 ve q=0 eşitliği temel çıkış noktamız oldu.

**2. İşleme Göre Kapalılık**

- **Tanım:** Bir kümeden alınan herhangi iki elemana bir işlem uygulandığında sonucun yine aynı kümede kalması durumudur.
- **Bu problemde:** İki çift sayının toplamı ve çarpımı daima çift sayı kaldığı için C kümesi kapalıdır.

⚠ **SIK YAPILAN HATALAR:**

**❌ q Önermesinin Değilini Karıştırmak**

- **Yanlış:** “q yanlışsa kümede sadece bir tane tam sayı vardır” diye düşünmek.
- **Doğru:** “q: Bazı elemanlar tam sayı değildir” önermesi yanlışsa, bunun tersi “Tüm elemanlar tam sayıdır” olur.
- **Neden yanlış:** “En az bir” (\exists) ifadesinin olumsuzu “Her” (\forall) ifadesidir.

Bu çözümdeki adımlardan kafana takılan veya birlikte üzerinden geçmek istediğin özel bir satır var mı?