# İnteii

**URL:** <https://sorumatik.co/t/inteii/209545>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Nisan 20, 2025, 9:14öö UTC](https://sorumatik.co/t/inteii/209545 "2025-04-20T09:14:00Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![kskssksklslsks](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/k/df788c/32.png) [@kskssksklslsks](https://sorumatik.co/u/kskssksklslsks)\
**Post date:** [Nisan 20, 2025, 9:14öö UTC](https://sorumatik.co/t/inteii/209545/1 "2025-04-20T09:14:00Z")

</div>

![Screenshot_20250420-115424_WPS Office](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/0/e/0e6ebd285274a5bfeb1f9796104d241fcb885d25.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Nisan 20, 2025, 9:14öö UTC](https://sorumatik.co/t/inteii/209545/2 "2025-04-20T09:14:14Z")

</div>

## **Çözüm: Soruda Verilen Denklemlerle n Pozitif Tam Sayısını Bulma**

### Sorunun İnceleme ve Verilen Bilgiler:

Elimizde türevlenebilir bir **f** fonksiyonuyla ilgili bilgiler ve bir türevsel eşitlikler sistemi var:

1. İlk denklem:

2 \cdot f(1) = f'(2) = 4 

1. İkinci denklem:

2 \cdot f(2) = f'(1) = 2 

Bu eşitlikler sağlanıyor. Buna ek olarak:

- n pozitif tam sayısı için,

(f \circ f \circ \dots \circ f)'(1) = 128 

Burada “n tane **f fonksiyonu** bileşimi” yapılmış. Soru bizden n tam sayısını bulmamızı istiyor.

* * *

### Adım 1: Verilen Denklemlerde Fonksiyon ve Türev Değerlerini Çıkarmak

Öncelikle birinci denklemden **f(1)** değerini bulalım:

2 \cdot f(1) = 4 \implies f(1) = 2

Sonra ikinci denklemden **f(2)** değerini bulalım:

2 \cdot f(2) = 2 \implies f(2) = 1

* * *

### Adım 2: Türev Bilgileri

Birinci denklemden:

f'(2) = 4 

İkinci denklemden:

f'(1) = 2 

Artık elimizde fonksiyon **f** ile ilgili temel bilgiler var:

- f(1) = 2,
- f(2) = 1,
- f'(1) = 2,
- f'(2) = 4.

* * *

### Adım 3: Bileşke Fonksiyon ve Zincir Türev Kuralı

**Bileşke fonksiyonun türevini** hesaplamak için zincir türev kuralını kullanırız. Kural şudur:  
Eğer:

(g \circ h)(x) 

bileşkesinin türevi \frac{d}{dx}(g(h(x))), şu şekilde hesaplanır:

(g \circ h)'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) 

Birden fazla bileşke fonksiyon için, türev her adımda tekrar hiyerarşik olarak işler.

* * *

### Adım 4: Genel Formülün Uygulanması

Soruda verilen:

(f \circ f \circ \dots \circ f)'(1) = 128 

n tane f fonksiyonunun bileşimi yapılmış.

Bu tür ifadelerde türev şu şekilde hesaplanır:

1. İlk türev aşaması:

(f \circ f)'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) 

Bunu tekrar birçok bileşke için uygularsak:

(f \circ f \circ \dots \circ f)'(1) = f'(f(f(...f(1)...))) \cdot f'(f(f(...))) \cdot \dots \cdot f'(1) 

* * *

### Adım 5: Sorudaki Türev Hesabı

f(1) değerini biliyoruz:

f(1) = 2 

Birinci türev:

f'(1) = 2 

İkinci bileşke için:

f(f(1)) = f(2) = 1 

ve

f'(f(1)) = f'(2) = 4 

n tane bileşke için türev:  
Her adımda türev çarpanlarını bir araya toplarız:

(f \circ f \circ \dots \circ f)'(1) = f'(1) \cdot f'(2) \cdot f'(1) \cdot f'(2) \dots 

Tüm türev çarpımı 128’e eşit veriliyor.

Her türev çarpımı **2 ve 4** periyodik olarak tekrar eder:

2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \dots = 128 

Şimdi çarpanların sayısını bulmak için:

n \text{ tane türev çarpanı: } (2 \cdot 4)^k = 128 

Burada:

2 \cdot 4 = 8 

Kaç tane **8** çarpanı olduğunu bulalım:

8^k = 128 

128’i 8 tabanında yazarsak:

128 = 8 \cdot 8 \cdot 2 \implies k = 3 

Bu durumda n = 6 olur; çünkü her bileşke türevi **iki çarpan** içerir.

* * *

### **Sonuç**

n pozitif tam sayısı:

\boxed{6}

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Nisan 20, 2025, 9:15öö UTC](https://sorumatik.co/t/inteii/209545/3 "2025-04-20T09:15:49Z")

</div>

Aşağıdaki kısa çözüm, soruyu yanıtlamaktadır:

• Verilen koşullardan önce  
2 f(1) = 4 ⇒ f(1) = 2  
2 f(2) = 2 ⇒ f(2) = 1  
f′(1) = 2 ve f′(2) = 4  
elde edilir.

• f(1) = 2 ve f(2) = 1 olduğu için f’yi 1 noktasından art arda uyguladığımızda,  
1 → 2 → 1 → 2 → …  
biçiminde 1 ile 2 arasında sürekli dönen 2 - döngü oluşur.

• Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı:  
(fⁿ)′(1) = f′(fⁿ⁻¹(1)) ⋅ f′(fⁿ⁻²(1)) ⋅ … ⋅ f′(f(1)) ⋅ f′(1).  
Yukarıdaki döngü sebebiyle f′(1) = 2 ve f′(2) = 4 değerleri sırayla çarpıma girer; dolayısıyla çarpım  
n = 1 için: 2  
n = 2 için: 2 × 4 = 8  
n = 3 için: 2 × 4 × 2 = 16  
n = 4 için: 2 × 4 × 2 × 4 = 64  
n = 5 için: 2 × 4 × 2 × 4 × 2 = 128  
olur.

Bu nedenle (fⁿ)′(1) = 128’i sağlayan n değeri 5’tir.

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Nisan 20, 2025, 9:15öö UTC](https://sorumatik.co/t/inteii/209545/4 "2025-04-20T09:15:56Z")

</div>

## **Soru:**

Gerçek sayılarda türevlenebilir bir f fonksiyonunun  
• 2 \cdot f(1) = f'(2) = 4  
• 2 \cdot f(2) = f'(1) = 2  
özelliklerini sağladığı biliniyor. Buna göre pozitif tam sayı n için

\bigl(f \circ f \circ \dots \circ f\bigr)'(1) \;=\; 128 \quad (\text{üst üste } n \text{ defa } f),

olduğunda n kaçtır?

**Cevap:**

1. Öncelikle verilen bilgilere göre:

2. n defa üst üste yapılan bileşke fonksiyonun türevini, zincir kuralı (chain rule) ile yazalım:

3. Özellikle x=1 için:

4. Türev değerleri de buna göre sırayla

5. Şimdi küçük değerler için çarpıma bakalım:

Görüldüğü gibi **n=5** için türev değeri 128 oluyor. Dolayısıyla sorunun cevabı **5** ’tir.

@kskssksklslsks