# İfadesinin x= 0 için

**URL:** <https://sorumatik.co/t/ifadesinin-x-0-icin/652074>\
**Category:** Maths Question\
**Created:** [Nisan 20, 2026, 2:32ös UTC](https://sorumatik.co/t/ifadesinin-x-0-icin/652074 "2026-04-20T14:32:41Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Rio](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rio/32/210928_2.png) [@Rio](https://sorumatik.co/u/Rio)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 2:32ös UTC](https://sorumatik.co/t/ifadesinin-x-0-icin/652074/1 "2026-04-20T14:32:41Z")

</div>

1. B  
değeri kaçtır?  
ifadesinin

x = 0 için

E) 11!  
D) 10!  
C) 0  
B)-10!  
A)-11!

**Soru Fotoğrafı:**

 ![Soru Görseli](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/9/b/9b0b1bee33e68053b45d5bfb3075e90794aee47e.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 2:32ös UTC](https://sorumatik.co/t/ifadesinin-x-0-icin/652074/2 "2026-04-20T14:32:59Z")

</div>

## İfadesinin x = 0 için değeri nedir?

Verilen ifade, bir fonksiyonun **10. türevini** anlamaya yönelik. İfade:

\frac{d^{10}}{dx^{10}} \left( \frac{x}{x-1} \right)

İfadenin x=0 için değeri isteniyor.

* * *

🧠 **Çözüm Adımları:**

**Adım 1 — Fonksiyonu sadeleştirme**

f(x) = \frac{x}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1}

Yani,

f(x) = 1 + (x-1)^{-1}

* * *

**Adım 2 — Türevi alma**

Sabit olan 1 'in türevleri sıfır olur. Bu yüzden sadece

g(x) = (x-1)^{-1}

fonksiyonun 10. türevini alacağız.

Genel türev kuralı:

\frac{d^n}{dx^n} (x - a)^m = m (m-1) (m-2) \cdots (m-n+1) (x - a)^{m-n} = (m)\_{n} (x - a)^{m-n}

Burada (m)\_n = m (m-1) \cdots (m-n+1) **düşen faktöriyel** olarak adlandırılır.

* * *

**Adım 3 — Parametreleri yerine koyma**

Bizde m = -1 , a = 1 , ve n = 10 .

Buna göre:

g^{(10)}(x) = (-1)(-2)(-3) \cdots (-10) (x-1)^{-1 - 10} = (-1)^{10} (10!) (x - 1)^{-11}

Çünkü

(-1)(-2)(-3) \cdots (-10) = (-1)^{10} \times 10! = 10!

(-1)^{10} = 1 .

Yani,

g^{(10)}(x) = 10! (x - 1)^{-11}

* * *

**Adım 4 — Sonucu x=0 için hesaplama**

g^{(10)}(0) = 10! (0 -1)^{-11} = 10! \times (-1)^{-11}

(-1)^{-11} = \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1

Sonuç:

g^{(10)}(0) = 10! \times (-1) = -10!

* * *

**Adım 5 — Başlangıca dönüş**

f^{(10)}(x) = g^{(10)}(x) olduğuna göre:

f^{(10)}(0) = -10!

* * *

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **Cevap:** \boxed{-10!}   
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Seçeneklerden bu, **B şıkkına** denk gelir.

* * *

🎯 **Temel Kavramlar:**

- **Türev (Derivative):** Bir fonksiyonun değişim hızını veren matematiksel işlem.
- **Üst türev (n’inci türev):** Fonksiyonun türevini n kere alma işlemi.
- **Düşen faktöriyel:** m değerinden başlayıp m-n+1’e kadar azalan çarpımlar.
- **Üstel fonksiyon türev kuralı:** \frac{d^n}{dx^n} (x - a)^m = (m)\_n (x - a)^{m-n} .

⚠ **Yaygın hata:**

- Türev alırken işaret yanlış hesaplanabilir, özellikle negatif üslerde. Burada işaret ve faktöriyel katsayısı dikkatle hesaplanmalı.

Başka bir örnek ister misin? 🚀

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 2:33ös UTC](https://sorumatik.co/t/ifadesinin-x-0-icin/652074/3 "2026-04-20T14:33:52Z")

</div>

## (d^{10}/dx^{10}) \displaystyle\left(\frac{x}{x-1}\right) ifadesinin x=0 için değeri kaçtır?

**KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**

- **Geometrik seri** : \displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum\_{n=0}^{\infty}x^n (|x|\<1)
- **Güç serisinin terim-terim türevlenmesi** ve \displaystyle\frac{d^m}{dx^m}x^k=0 (k\<m), \displaystyle\frac{d^m}{dx^m}x^m=m!

**ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — İfadeyi seriye aç**

\frac{x}{x-1}

= -\frac{x}{1-x}

= -x\cdot\frac{1}{1-x}

= -x\cdot\sum\_{n=0}^{\infty}x^n

= -\sum\_{n=0}^{\infty}x^{n+1}

= -\sum\_{k=1}^{\infty}x^{k}

**Adım 2 — 10. türevi al ve x=0 'de değerlendir**

Bir terim için:

**Tanım:** \displaystyle\frac{d^{10}}{dx^{10}}x^{k}

**Bu problemde:** ancak k=10 için x=0’de sıfırdan farklı katkı olur.

Bir terimin türevi:

\frac{d^{10}}{dx^{10}}x^{k}

=0 \quad (k\<10)

=\;10! \quad (k=10)

Tüm serinin 10. türevi (terim-terim türevlenir):

\frac{d^{10}}{dx^{10}}\left(-\sum\_{k=1}^{\infty}x^{k}\right)

= -\sum\_{k=1}^{\infty}\frac{d^{10}}{dx^{10}}x^{k}

= -\bigl( \text{sadece }k=10\text{ terimi katkı verir} \bigr)

= -\,10!

**✅ CEVAP:** -10!

**TEMEL KAVRAMLAR:**

1. **Geometrik seri**

- **Tanım:** \displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum\_{n=0}^\infty x^n
- **Bu problemde:** \displaystyle\frac{x}{x-1}=-x\cdot\frac{1}{1-x} şeklinde açıldı.

1. **Güç serisinin türevlenmesi**

- **Tanım:** Güç serileri uygun bölgede terim-terim türevlenebilir.
- **Bu problemde:** 10. türev, yalnızca x^{10} teriminden 10! katkı aldı.

**SIK YAPILAN HATALAR:**

**❌ Hata:** Doğrudan cebirsel türev uygulayıp katsayıları karıştırmak.

- **Yanlış:** Tüm terimlerin türevinin 10! ile çarpıldığını düşünmek.
- **Doğru:** Sadece derece 10 olan terimin 10! katkısı vardır; daha düşük dereceliler sıfır verir.
- **Düzeltme:** Fonksiyonu seriye açıp uygun terimi bul.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀  
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?