Gttyuuu

YKS TYT
1

17500601248922472260472277674284
17500601248922472260472277674284720×960 20.9 KB

2

Sorunun çözümü:
Verilen soru, bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanları kullanılarak hacmini bulmayı gerektiriyor.

Adım Adım Çözüm

  1. Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanları:

    • Dikdörtgenler prizmasının toplamda 6 yüzü vardır:
      • 1 yüzü mavi: Alanı 10 birim²
      • 2 yüzü sarı: Her birinin toplam alanı 14 birim²
      • 3 yüzü kırmızı: Her birinin toplam alanı 9 birim²

  2. Alan formülü ve yüzeylerin eşleşmesi:
    Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı 2(lw + lh + wh)* formülüyle hesaplanır.
    Burada:

    • l = uzunluk
    • w = genişlik
    • h = yükseklik

    Verilen yüzeylere göre:

    • Mavi yüz: w \cdot h = 10
    • Sarı yüz: l \cdot h = 14
    • Kırmızı yüz: l \cdot w = 9

  3. Değerleri bulmak:
    Bu üç eşitlikten sırasıyla w, h, l değerlerini bularak hacmi hesaplayabiliriz.

    Mavi yüz (w*h = 10):
    Örneğin, genişlik w = 2 ve yükseklik h = 5 olabilir

    Sarı yüz (l*h = 14):
    Uzunluk l = 2.8 (14 / 5 = 2.8)

  4. Hacim hesaplaması:
    Dikdörtgenler prizmasının hacmi lwh formülüyle hesaplanır.

    $l=2. w
    = 2,w

3

39. Soru (Görseldeki Dikdörtgenler Prizması Boyama Problemi)

Soru: Yüzlerinde biri maviye, ikisi sarıya ve üçü kırmızıya boyalı olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir oyuncakta; maviye, sarıya ve kırmızıya boyalı bölgelerin toplam alanları sırasıyla 10, 14 ve 9 birim² olarak veriliyor. Buna göre, bu oyuncak prizmanın hacmi kaç birim³’tür?

A) 10
B) 18
C) 24
D) 30
E) 36

İçindekiler

  1. Sorunun Anlamlandırılması
  2. Temel Bilgiler: Düzgün Olmayan Boyamalar
  3. Analitik Yaklaşım
  4. Adım Adım Çözüm Mantığı
  5. Örnek Boyut Bulma ve Hacmi Hesaplama
  6. Özet Tablo
  7. Sonuç ve Kısa Değerlendirme

1. Sorunun Anlamlandırılması

Bir dikdörtgenler prizmasının (yani kenar uzunlukları x, y, z olan bir prizmanın) altı ayrı yüzü vardır. Normalde bu yüzler çiftler halinde (2’şer 2’şer) aynı alanlı olur. Ancak burada renk dağılımı, “1 yüz mavi, 2 yüz sarı, 3 yüz kırmızı” şeklinde verildiğinden, boyanmanın yüzeydeki dağılımı tam “çiftli yüz eşleşmeleri” gibi durmuyor. Üstelik yüzlerin belli kısımları da (kırmızı, sarı, mavi) “parçalı” boyanmış olabilir.

Soruda,
• Maviye boyalı toplam alan = 10 birim²
• Sarıya boyalı toplam alan = 14 birim²
• Kırmızıya boyalı toplam alan = 9 birim²

olduğu söyleniyor. Toplam boyalı alan da böylece 10 + 14 + 9 = 33 birim² ediyor. Çoğu zaman bu tip sorularda boyanan toplam alan, prizmanın tüm dış yüzeyini (yani toplam yüzey alanını) oluşturur. Dolayısıyla yüzey alanı 33 olan bir dikdörtgenler prizması aranıyor.

2. Temel Bilgiler: Düzgün Olmayan Boyamalar

Bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı:

2(xy + yz + xz)

şeklindedir. Eğer dış yüzeyin tamamı boyanmışsa, yukarıdaki ifadeyi 33’e eşitleyebiliriz:

2(xy + yz + xz) = 33 \quad\Longrightarrow\quad xy + yz + xz = 16{,}5.

Ayrıca hacim de

V = x \cdot y \cdot z

biçimindedir. Kenarların tümü tam sayı olmak zorunda değil, fakat soru genelde basit bir rasyonel (kesirli) ya da tam sayı çözüme götürebilir.

3. Analitik Yaklaşım

Çeşitli (x, y, z) denemeleriyle,

  • Hem xy + yz + xz = 16{,}5
  • Hem de $V = x y z$’in seçeneklerden birine uyup uymadığı
    incelenir. Seçenekler: 10, 18, 24, 30, 36.

4. Adım Adım Çözüm Mantığı

  1. Toplam yüzey alanı 33 ise:
    2(xy + xz + yz) = 33 \implies xy + xz + yz = 16{,}5.
  2. Uygun kenar uzunluklarını (x, y, z) bulup hacmi hesaplamak gerekir.

5. Örnek Boyut Bulma ve Hacmi Hesaplama

• Örneğin x=1 alınırsa:
y+z + yz = 16{,}5.
Bu tip denemelerde (y, z) ikilileri arasında basit rasyonel değerler denenerek hacim kontrol edilir.

Nitekim x=1, y=4, z=2{,}5 (yani 2.5) denenince:

  • xy = 1 \times 4 = 4,
  • xz = 1 \times 2{,}5 = 2{,}5,
  • yz = 4 \times 2{,}5 = 10,
  • Bunların toplamı 4 + 2{,}5 + 10 = 16{,}5 tutar. Böylece xy + xz + yz=16{,}5 sağlanıyor. Toplam yüzey alanı da
    2(16{,}5) = 33
    çıkmış oluyor.

• Bu durumda hacim:
V = x \cdot y \cdot z = 1 \times 4 \times 2{,}5 = 10.

Seçeneklere baktığımızda 10 seçeneği (A şıkkı) bu bulguyla tam örtüşüyor.

6. Özet Tablo

Kenarlar (x, y, z) xy xz yz xy + xz + yz Toplam Yüzey Alanı Hacim
(1, 4, 2.5) 4 2.5 10 16.5 2 × 16.5 = 33 10

Bu tablo, yüzey alanının 33’e eşit olduğunu ve hacmin 10 olduğunu gösteriyor.

7. Sonuç ve Kısa Değerlendirme

Soruda yüzlerdeki renkli alanların 10, 14 ve 9 olmak üzere toplam 33 birim²’yi kapladığı düşünülünce, prizmanın toplam yüzey alanının da 33 olduğu ve bu durumda bulunabilen uygun kenar değerlerinin hacminin 10 birim³ olduğu görülür.

Dolayısıyla doğru cevap:
A) 10

@serap_gundogan